高等数学复习题试题及答案

试

1. limsin(x1)x12 题 一

一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分）

x1( )

(A) 1； (B) 0； (C) 2； (D)

12

2.若f(x)的一个原函数为F(x)，则exf(ex)dx为( ) (A) F(ex)c； (B) F(ex)c；

F(exx (C) F(ex)c； (D )

)c

3.下列广义积分中 ( )是收敛的. (A)sinxdx； (B)11x1dx； (C)

x1x2dx； (D)edx。

0x4. f(x)为定义在a,

b上的函数，则下列结论错误的是( )

(A) f(x)可导，则f(x)一定连续； (B) f(x)可微，则f(x)不一定可导； (C) f(x)可积（常义），则f(x)一定有界； (D) 函数f(x)连续，则f(t)dt在a,axb上一定可导。

5. 设函数f(x)lim1x1x2nn ，则下列结论正确的为( )

(A) 不存在间断点； (B) 存在间断点x1； (C) 存在间断点x0； (D) 存在间断点x1

二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分） 1. 极限limx11x2x0 _____.

x1t22. 曲线在t2处的切线方程为______. 3yt

3. 已知方程y5y6yxe2x的一个特解为为 .

4. 设f(x)在x2处连续，且limf(x)x2x212(x2x)e22x，则该方程的通解

2，则f(2)_____

5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F（牛顿）与伸长量s成正比，即Fks（k为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm时，所作的功为_________焦耳。 6．曲线y

三、设x0时，ex(ax2bxc)是比x2高阶的无穷小，求常数a,b,c的值（6分）

四、 已知函数yarcsinxexcos(32x),求dy.（6分）

五、 设函数yf(x)由方程xyee确定,求

3x2233x2上相应于x从3到8的一段弧长为 .

ydydx2x02.（8分）

六、若有界可积函数f(x)满足关系式f(x)

0tf()dt3x3，求f(x).(8分) 3

七、 求下列各不定积分（每题6分，共12分） （1）

x1,八、设f(x)12x,2x1x1(1sin)d. （2）

3xarctanxdx.

求定积分

20f(x)dx.（6分）

1九、讨论函数f(x)x3x3的单调区间、极值、凹凸区间和拐点坐标.（10分） 十、求方程

12dydxyxy的通解（6分）

十一、求证：1

x1x,x(0,)..（5分）

试 题 一参考答案及评分标准

一、选择题（每题3分，共15分）

1．C 2.B 3.D 4.B 5.D

二、填空（每题3分，共18分）

1．0 ， 2.y3x7， 3.yc1e2xc2e3x5.0.18k 6.三、解：e283x12(x2x)e22x，4. 2 ， (c1,c2为任意常数）

。

2limex0(ax2bxc)0c1……….2分

x2 lim(ax2bxc)2x0x0......lim(ex0x2ab2x)0……..4分

..a1b0………………………………………..6分

四、解：y11x2excos(32x)2exsin(32x)………4分

1xxdyecos(32x)2esin(32x)dx……….6分

21x五、解：yxdydxeydydx0 dydxyxey………………3分

x0,y1dydxx01e

dydx22(xe)ydydxy2(xe)(1eydydx)y…………….6分

x0时,dydx22e2…………………….8分

六、两边求导 f(x)3f(x)3…………..3分

f(x)ce3x1(c为任意常数）…………6分

3xx0,f(0)3 f(x)2e1………..8分

七、解：（1）(1sin3)d. cos133d(1cos)dcos……..3分

2cosc…………………….6分

（2）xarctanxdx12xarctanx22121210xarctanx2121xx22dx……3分

12xarctanxc……………….6分

八、解：f(x)dx0(x1)dx2112xdx…….2分

2 =

83……………6分

23九、解f(x)1xx f(x)23x53 由f(x)0得x1,f(x)不存在x0（3分）

（0，1） 1 — + 0 + (1,) ,1 + — -1 0 — （-1，0） 0 — — 不存在 不存在 f(x) f(x) f(0)0+ + f(1)2f(1)2……………….7分

f(x)在,1与1,上单增,在1,1上单减.x1时有极大值2，

x1,有极小值2。 在,0上是凸的，在0,上是凹的，拐点为（0，0）………10

分

ydydxx1yxdydxuxdudx十、解；...............1…………………..3分

令dudxyxu. 则yux,2代入（1）得

xxu1uu,1lnulnxc1。cyey…………………….6分

12x1x,x0, ………………1 分

十一、证明： 令f(x)1121212f(x)(1x), 又x(0,),f(x)0 …..3分

'f(x)是单调递增的。 f(0)0，所以x(0,),f(x)0………….5分。

试 题 二

一、 单项选择题（15分，每小题3分）

1、当x时，下列函数为无穷小量的是（ ） （A）

xCosxx （B）

Sinxx （C）

21x （D）(1)x

x112．函数f(x)在点x0处连续是函数在该点可导的（ ） （A）必要条件 （B）充分条件

（C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件 3．设f(x)在(a,b)内单增，则f(x)在(a,b)内（ ） （A）无驻点 （B）无拐点 （C）无极值点 （D）f(x)0

4．设f(x)在[a，b]内连续，且f(a)f(b)0，则至少存在一点

（a，b）使（ ）成立。

）0 （A）f（）0 （B）f（（C）f （）0 （D）f（b）f（a）f（）（ba）5．广义积分adxxp(a0)当（ ）时收敛。

（A）p1 (B)p1 (C)p1 (D)p1

二、填空题（15分，每小题3分）

1、 若当x0时，11ax2~x2，则a ； 2、设由方程xy2a2所确定的隐函数yy(x)，则

dy ；

3、函数y2x8x(x0)在区间 单减；

在区间 单增；

4、若f(x)xex在x2处取得极值，则 ； 5、若a0xf(x)dx0f(x)dx，则a ；

211三、计算下列极限。（12分，每小题6分）

1、lim(xx1x) 2、 limx0x0(e1)dtx2xt

四、求下列函数的导数（12分，每小题6分）

1、y14x2，求y

2xln(1t)2、

ytarctant，求

dydx22

五、计算下列积分（18分，每小题6分）

1、1xarctanx1x2dx 2、21cosxcosxdx

323、设f(x)1x2sinttdt，计算0xf(x)dx

六、讨论函数

x2,f(x)cosx2x,x2的连续性，若有间断点，

2x指出其类型。 （7分） 七、证明不等式：当x0时，ln(1x)x八、求由曲线xy

x22 （7分）

2,yx24,y2x(x1)所围图形的面积。

（7分）

试 题 二参考答案及评分标准

课程名称：高等数学

一、单项选择题（15分，每小题3分） 1.B 2.A 3.C 4.A 5.A

二、填空题（15分，每小题3分） 1. a=2 2.dy4.12y2x（，）单增。 dx 3. (0, 2)单减，

5. a=2

三、计算下列极限。（12分，每小题6分 1x 1.解。原式=limxxx1lim1xxx2x12x1e1 （6分）

1.解。原式=lime12xxx0limx0 （6分）

四、求下列函数的导数（12分，每小题6分）

2y4x2121 解。

124x2322x4分x

4x11t2t2236分

dydx1t23分2.解。

dydx221t

2dtdt111tdt2dx2dx4tdt6分五、计算下列积分（18分，每小题6分）

1 解。 原式=

1x1dx21x12xdx22arctanx1x122dxxc3分

2arctanxln1xarctan6分

220cosx1cos2xdx220cosxdcosx3分2.解。原式=

43

43fxcosx32206分223.解显然有：f10,121sinxx22x2sinxx2分10xfxdx12210fxdx122xfx01220xdfx114分22121210x22sinxx10dx20sinxdx6分

cosx212cos11x2,六、讨论函数f(x)cosx2x,（7分）

2解：f0limx12x02x2的连续性，若有间断点，指出其类型。

x2xf0lim212x0cosx

2又：f123分所以当x2时，函数连续。

k2kz时，cosx0，所以xk当xk22k2kz

是函数的间断点。 5分

x2，所以xk2cosx 且 limxk2fxlimxk2k2kz是函数的无穷间

断点。 7分

七、证明不等式：当x0时，ln(1x)xx2x2 （7分）

2证明：设fxln1xx11x1xx222分

且f00fx1x 当x＞0时 fx＞0，所以fx单增。 5分 当x＞0时 fx＞f00，即：

ln(1x)xx2 证毕。 7分

2x2八、求由曲线xy2,y4,y2x(x1)所围图形的面积。

（7分）

解：如图所示：（略）

所求面积A2122xdxx822x2xdx483分x22lnx2132xx126分

2212ln27分九、设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导且

证明：至少存在一点证明：设 Fxfxexf(1)f(0)0.

(0,1)使f()f() （7分）

，显然Fx在在[0,1]上连续，在(0,1)内可导（3分）

并且 F0F10,由罗尔定理：至少存在一点0,1使F0 而 Fxexfxfx ，ex0 （6分）

F0 即：

f()f()

证毕。

试

1. lim1xx( )

x01 题 三

一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内）

(A) e； (B) e1 ； (C) 1 ； (D) 

x0x01xsin2. x0是函数f(x)x1ex的( )

(A) 连续点 ； (B)可去间断点 ； (C)跳跃间断点 ； (D )无穷间断点

3. 设f(x)、g(x)在x0的某邻域内连续，且当x0时f(x)是较g(x)高阶的无穷小，则当x0时f(t)sintdt是较tg(t)dt( )无穷小.

00xx(A) 低阶； (B) 高阶； (C) 同阶非等价； (D)等价。 4. 下列求导正确的是( ) (A) sinx(C) ecosx22xcosx； (B) f(x)0cosxf(x0)；

e11 ； (D) ln5x

x123125. 极限limn12 ( ) (n1)n1(A) 1； (B) ； (C) 0； (D) 

二、填空题（请将正确的结果填在横线上） 1. 设limxaxb1x2x15 则a_____, b_____.

2. 设I

12ex2dx则I的取值范围是 ______I ______.

三、求极限 limx01x（6分） sinx1

四、 已知yxarctanxln21x,求dy.（6分）

五、 设函数yf(x)由方程yxe

2dyxcost六、已知函数yf(x)由参数方程确定，求.(6分)

2dxysinty1确定,求

dydx2x02.（6分）

七、 求下列各不定积分（每题8分，共16分） （1）

11exdx. （2）

sinxdx.

八、求定积分

20xx1dx.（6分）

九、求函数yx3x2x1的单调区间、极值、凹凸区间和拐点坐标.（8分）

十、求位于曲线yex的下方,该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积.（6分）

十一、设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且3123f(x)dxf(0)，求证：存在

(0，1)，使得f()0.（6分）

试 题 三参考答案

一．单选题

题号 答案

二．填空题 1、a=-7；b=6 2、3I3e4 3、m=2

4、y2z25x0 三．解：lim(x01 B 2 C 3 4 B D 5 A 6 C 1x1sinx)limsinxxxsinxx1x2x0limsinx2cosxxsinx2x00

四．解：dyydx(arctanxx1x)dxarctanxdx

五．方程两边关于x求导：yxeyyey0

两边再求一次导：yeyyxeyy2xeyyeyy0

dydx2x022 yx01ydyx0e2e

六．解：

dydx2sintcostsin2tdt 22dx2tsint2tsintdt七．（1）解：11exdx1ee1exxxdxxln(1e)C

x （2）解：令xt(t0),dx2tdt

sin22xdx2tsintdt2tcost2sintC2(sinxxcosx)C

八．解：xx1dx010x(1x)dx21x(x1)dx1

九．解：函数y的单调增区间为,111,，单调减区间为,1， 3313 曲线的凹区间为,，曲线的凸区间为,

31

ymaxx133227,ymin0x11160，拐点坐标为,

327十．解：所求面积sedxx10(eex)dxxe2

十一。证明：f(x)在[0，1]上连续

11f(x0) ,1使得2f(x)dx333 存在x02 又 32f(x)dxf(o)31123f(x)dx13f(0)

f(x0)f(0)

又 f(x)在（0，1）内可导，所以f(x)在0,x0内可导

由罗尔定理得：存在0,x00,1使得

试

得分 sinxx2 题 四

评阅教师

一、填空题（每空3分，共18分） 1、limx ; = .

2、limx12xx12x3、 函数f(x)e2，则f(x) . 4、曲线y5、函数y1在点,2处的切线方程为： . x2x01cos(t1)dt，则

2dydx 。

6、微分方程y2y3y0的通解为 .

二、选择题（每题3分，共12分）

7、f(x)的导函数是sinx，则f(x)的一个原函数为（ ）. A: 1sinx B: 1sinx C: 1cosx D: 1cosx 8、x1是函数f(x)x1x12的 （ ）.

A:可去间断点 B：跳跃间断点 C:无穷间断点 D:连续点

9、函数f(x)x33x在区间0,2上的最小值是 （ ）. A: 0 B: -2 C: -4 D: 2

10、下列错误的是 （ ）.

f(x)dxf(x) B:f(x)dxf(x)c A: f(x)dxf(x)dx C: df(x)f(x)c D:d三、计算下列极限与导数（每题5分，共20分） 11、lim

eexxx0sinx 12、ycosx2，求：y

13、y

14、方程xyexy确定y是x的函数，求：y

四、计算下列不定积分与定积分（每题5分，共20分） 15、cos3xdx 16、x2lnxdx 17、18、40x2(x1)(x1)54 求：y

x22x1dx

112sinx1x2dx

五、综合题（每题8分,共24分） 19、讨论函数yx1x2的单调性、极值.

20、求曲线y24(x1)及y24(1x)所围成图形的面积 21、求微分方程

dydxyex的通解 .

六、证明题（6分） 22、试证：当x0时有

xx1ln(x1)x（6分）

试 题 四参考答案及评分标准

一、填空题（每空3分，共18分） 1、limsinxx2x 0 ; =

122、limx12xx12 .

x3、 函数f(x)e2，则f(x)0 4、曲线y1在点,2处的切线方程为：y4x4 x2x15、函数y0cos(t1)dt，则

2dydxcos(x1)2x 6、微分方程y2y3y0的通解为：c1e3xc2ex 二、选择题（每题3分，共12分）

7、f(x)的导函数是sinx，则f(x)的一个原函数为（ D ）. A: 1sinx B: 1sinx C: 1cosx D: 1cosx 8、x1是函数f(x)x1x12的 （ A ）.

A:可去间断点 B：跳跃间断点 C:无穷间断点 D:连续点

9、函数f(x)x33x在区间0,2上的最小值是 （ B ）. A: 0 B: -2 C: -4 D: 2

10、下列错误的是 （ D ）.

f(x)dxf(x) B:f(x)dxf(x)c A: f(x)dxf(x)dx C: df(x)f(x)c D:d

三、计算下列极限与导数（每题5分，共20分） 11、limeexxx0sinxeexx

(eexx解：limx0sinxlim)x0(sinx) …… 1分

limeexxx0cosx …… 4分

2 …… 5分

12、ycosx2，求：y 解：y(cosx2)(sinx).2x2cosx2212cosx2.(cosx) ……2

2分

 ……4分

2 xsinxcosx22xsinxcosx2 ……5分

13、yx2(x1)(x1)54 求：y

4解：lnylnlnx2(x1)(x1)5 1分

45x2ln(x1)ln(x1)1212ln(x2)4ln(x1)5ln(x1) 2分

(lny)[ln(x2)4ln(x1)5ln(x1)] 3分

1yy12x211.14x145x15 4分

4y(.)2x2x1x1x2(x1)(x1)5 5分

14、方程xyexy确定y是x的函数，求：y

e(xy) ……1分 xyyexy(1y) ……4分 解：(xy)xxyexyyxyxe 5分

四、计算下列不定积分与定积分（每题5分，共20分） 15、cos3xdx 解：cos3xdxcos2xdsinx 2分

(1sin2x)dxsinx 3分 sinxsin3xc 5分

3116、x2lnxdx 解：xlnxdxlnxd2x33 1分

x3x33x3lnxx3x2dlnx 3分

3x3lnx33dx 4分

3lnx9c 5分

17、40x22x1dx

解:设2x1t,则x2t122,dxtdt 1分

t3于是40x22x1dx312t.tdt3t3221dt 4分

331t22 3t2331 5分

18、解: 11112sinx1x2sinx1x22dx dx1121x2dx1111sinx1x2dx1121x2dx 2分

2arctanx 4分

 5分

五、综合题（每题8分,共24分） 19、讨论函数yx1x2的单调性、极值.

(1x)(1x)(1x)2解: 由题知, x(,) , y …… 2分

令y0,得驻点x11,x21 ……3分

x (,1) -1 0 (1,1) 1 0 (1,) y y- + - 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 ……6分 故,函数yx 在(,1],[1,)上单调递减, [1,1]上单调递增. ……7分

1x2 在x1处取得极小值, f11极小2;

在x21处取得极大值, f极大12

20、求曲线y24(x1)及y24(1x)所围成图形的面积

解: 由y24(x1)y2得交点x4(1x)10x20y, 1分

12y22如图

y 2 o -1 1 x -2 2分

由图型对称性，可得 所求图形的面积：A42120(14y)dy 6分

[4y13y3]20

163 8分 21、求微分方程

dyxdxye的通解 .

解:此方程为一阶线性微分方程，对应齐次微分方程为dydxy0分离变量得

dyydx，积分得yc1ex 3

……8分

分

分

1

令yu(x)ex 则yu(x)exu(x)ex 4分 代入原方程，得： u(x)exu(x)exu(x)exex

即 u(x)1 u(x)xc 7分

于是，原方程的通解为 y(xc)ex 8分

六、证明题（6分） 22、试证：当x0时有

xx1ln(1x)x（6

分）

证明：设函数f(x)ln(1x)，当x0时，f(x)在0,x上满足拉格朗日中值定理条件，所以

f(x)f(0)f().(x0) (0x) 2分 又 f(0)0,f(x)11x，所以上式即为

x1 f(x)， 即ln(1x)x1 4分

由于0x， 所以有

xx1xx

1故

xx1ln(1x)x 6分