二次函数与平行四边形

二次函数与平行四边形

1．（2016•鄂州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，抛物线C1：y=﹣x2+bx+c过A、B两点，与x轴另一交点为C．

（1）求抛物线解析式及C点坐标．

（2）向右平移抛物线C1，使平移后的抛物线C2恰好经过△ABC的外心，抛物线C1、C2相交于点D，求四边形AOCD的面积．

（3）已知抛物线C2的顶点为M，设P为抛物线C1对称轴上一点，Q为抛物线C1上一点，是否存在以点M、Q、P、B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出P点坐标；不存在，请说明理由．

【分析】（1）先根据直线y=2x+4，求得点A和点B的坐标，再根据抛物线C1过A、B两点，运用待定系数法即可求得抛物线解析式，最后令y=0，求得C点坐标；

（2）先证明△ABC是直角三角形，求得△ABC的斜边BC的中点E的坐标，再结合F点坐标求得抛物线C2的解析式，再联立方程组并解出交点D的坐标，最后根据S四边形

AOCD=S△AOD+S△OCD，即可得出四边形

AOCD的面积；

（3）根据以点M、Q、P、B为顶点的四边形为平行四边形，分情况讨论可能的情形，根据平行四边形顶点的位置即可得出P点坐标．

【解答】解：（1）∵直线y=2x+4与y轴交于A点，与x轴交于B点，

∴令x=0，可得y=4，则点A的坐标为A（0，4），

令y=0，可得x=﹣2，则点B的坐标为（﹣2，0），

将A（0，4），B（﹣2，0）代入y=﹣x2+bx+c，

可得，

解得，

∴抛物线C1的解析式为：y=﹣x2+x+4，

令y=0，则﹣x2+x+4=0，

解得x=8，

∴C点坐标为C（8，0）；

（2）如图1，连接AC，

由（1）知，C（8，0），A（0，4），B（﹣2，0），

∴AC2=AO2+OC2=80，AB2=AO2+OB2=20，BC2=102=100，

∴BC2=AC2+AB2，

∴△ABC是直角三角形．

设△ABC的斜边BC的中点为E，则CE=×（8+2）=5，

∴OE=CO﹣CE=3

∴△ABC的斜边BC的中点E的坐标为（3，0），

∵抛物线C2恰好经过△ABC的外心，E为△ABC的外心，

∴OF=3+10=13，即F（13，0），

由E（3，0），F（13，0），得抛物线C2：y=﹣（x﹣3）（x﹣13）=﹣x2+4x﹣，

联立方程组，

解得，即D（，），

如图2，连接AD，OD，CD，则

S四边形AOCD=S△AOD+S△OCD=×4×+×8×=，

∴四边形AOCD的面积为；

（3）存在．点P的坐标为（3，0）或（3，﹣）或（3，﹣25）．

分3种情况：

①如图，当四边形BPMQ为平行四边形时，BP∥QM，BP=QM，

∵抛物线C1中，Q（3，），抛物线C2中，M（8，）

∴由平移方向可得QM∥x轴，QM=5=BE，

∴BP与x轴重合，

∴点P与点E重合，即P（3，0）；

②如图，当四边形BQPM为平行四边形时，PQ∥MB，

∵根据点M与点P的位置可知，点M与点P的水平距离为8﹣3=5，

∴点Q与点B的水平距离为5，即点Q的横坐标为﹣7，

在抛物线C1中，当x=﹣7时，y=﹣，即Q（﹣7，﹣），

∵根据点M与点B的位置可知，点M与点B的铅垂距离为，

∴点Q与点P的铅垂距离为，即点P离y轴的距离为﹣=，

∴P（3，﹣）；

③如图，当四边形PQMB为平行四边形时，PQ∥BM，

∵根据点B与点P的位置可知，点B与点P的水平距离为3﹣（﹣2）=5，

∴点Q与点M的水平距离为5，即点Q的横坐标为8+5=13，

在抛物线C1中，当x=13时，y=﹣，即Q（13，﹣），

∵根据点M与点Q的位置可知，点M与点Q的铅垂距离为﹣（﹣）=25，

∴点B与点P的铅垂距离为25，即点P离y轴的距离为25，

∴P（3，﹣25）．

【点评】本题主要考查了二次函数的综合运用，综合性较强，需要综合运用待定系数法求函数解析式，平行四边形的判定和性质，直角三角形的判定和性质等知识．在解题时要利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，要注意分类讨论思想的应用．

2.C（0，3），直线BE交y轴正半轴于点E．

（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式及顶点D的坐标；

（2）连接BD、CD，设∠DBO=α，∠EBO=β，若tan （α﹣β）=1，求点E的坐标；

（3）如图②，在（2）的条件下，动点M从点C出发以每秒个单位的速度在直线

BC上移动（不考虑点M与点C、B重合的情况），点N为抛物线上一点，设点M移动的时间为t秒，在点M移动的过程中，以E、C、M、N四个点为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，直接写出所有满足条件的t值及点M的个数；若不能，请说明理由．

【分析】（1）用待定系数法求出求出抛物线解析式，再配成顶点式，求出顶点坐标；

（2）先求出∠DOE=45°，再构造出等腰直角三角形，由两腰相等建立方程求出点E的坐标；

（3）分两种情况讨论计算①CE为平行四边形的边，用MN=CE建立方程求出点M坐标，从而求出时间t，

②利用平行四边形的对角线互相平分，借助中点坐标建立方程组求出点M坐标即可．

【解答】解：（1）经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点的抛物线，

∴设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），

∵点C（0，3）在抛物线上，

∴3=﹣3a，

∴a=﹣1

∴抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣（∴抛物线的顶点坐标为D（1，4），

（2）∵tan （α﹣β）=1，

∴α﹣β=45°，

∵∠DBO=α，∠EBO=β，

∴∠DOE=45°，

如图1，

x﹣1）2+4，

过点E作EF⊥BD于F，

∴EF=BF，

∵B（3，0），D（1，4），

∴直线BD解析式为y=﹣2x+6①，

设点E（0，b），

∵EF⊥BD，

∴直线EF解析式为y=x+b②，

联立①②解方程组得，x=，y=（2b+3），

∴F（，（2b+3）），

∴EF2=[（6﹣B）]2+[（2b+3）﹣b]2=（6﹣b）2，FB2=[（2b+3）]2=[（2b+3）]2，

﹣3]2+[

∵EF=FB，

∴EF2=FB2，

∴（6﹣b）2=[（2b+3）]2，

∴b=﹣9（舍）或b=1，

∴E（0，1），

（3）能，

理由：∵B（3，0），C（0，3），

∴直线BC解析式为y=﹣x+3，

设点M（m，﹣m+3），

∵E、C、M、N四个点为顶点的四边形为平行四边形，

∴分CE为边和CE为对角线进行计算，

①如图2，

当CE是平行四边形的边时，MN∥CE，MN=CE，

过M作MN∥CE交抛物线于N，

∵点N在抛物线上，

∴N（m，﹣m2+2m+3），

∴MN=|﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）|=|m2﹣3m|，

∵C（0，3），E（0，1），

∴CE=2，

∵MN=CE，

∴|m2﹣3m|=2，

∴m=或m=1或m=2，

∴M（，）或（，）或（1，2）或（2，1）；

∵C（0，3）

当M（，）时，CM=，

∴t==，

当M（，）时，

同理：t=，

当M（1，2）时，CM=，

∴t=，

当M（2，1）时，CM=2，

∴t=2=2，

②当CE是平行四边形的对角线时，MN与CE互相平分，

∵C（0，3），E（0，1），

∴线段CE的中点坐标为（0，2），

∵M（m，﹣m+3），

∵点N在抛物线y=﹣x2+2x+3上，

设点N（n，﹣n2+2n+3），

利用中点坐标得，，=2，

∴或，

∴M（﹣，）或（﹣，），

当M（﹣，）时，CM=×，

∴t=

当M（﹣，）时，CM=×，

∴t=；

即：满足条件的t的值为或或1或2．点M共有6个．

【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，配方法，构造直角三角形，两点间的距离公式，平行四边形的性质，中点坐标，绝对值方程，构造直角三角形是解本题的关键，是一道中上难度的中考常考题，计算量较大．