高中高考数学公式大全

高中高考数学公式大全

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高考基础知识（公式）

一、集合

元素与集合的关系:xAxCUA,xCUAxA.AA

子集：一般地，A,AA,若AB,BC则AC 真子集：一般地，A,若AB,BC 则AC

交集：一般地，AAA,ABBA,AA 并集：一般地，AAA,ABBA,AAA

集合{a1,a2,,an}的子集个数共有2n 个子集（包括空集）；非空子集有

2n1个；即真子集有2n1个；非空的真子集有2n2个.

充要条件：1、pq，则p是q的充分条件；反之（若qp），q是p的必要条件；

2、pq，且qp，则p是q的充要条件；

3、pq，且q≠>p，则p是的q充分不必要条件； 4、p≠>q ，且qp，则p是q的必要不充分条件； 5、p≠>q ，且q≠>p，则是p是q的既不充分又不必要条

件。

二、指数与对数

指数性质：(1)1、apamn(am)n

1 ； （2）、a01（a0） ； (3)、pa(4)、arasars(a0,r,sQ) ；(5)、(na)na（a0,m,nN，

n1）(6)、anam（a0,m,nN，且n1）

a,a0(7)当n为偶数时，nana； 当n为奇数时，nan|a|

a,a0对数性质：

若a0,a1,M0,N0,nN且n2则

1

mn(1)、loga(MN)logaMlogaN; (2)、

logaMlogaMlogaN N(3)、logaMnnlogaM(nR); (4) 、logamNn(5)、 loga10 (6)、 alogablogmN（8）、换底：logaN (a0,a1,m0,m1,N0)

logma(9)、推论：logab•logba1;

nlogaN mb (7)、 logaa1

logaNloga2N2logaN 指数与对数的关系: logaNbabN (a0,a1,N0)

三、数列：

等差数列：

通项公式：（1）ana1(n1)d；（2）anak(nk)d （其中a1为首项，d为公差，n为项数，an末项）；（3）anSnSn1(n2) （注：该公式对任意数列都适用） 前n项和：（1）Snn(a1an) ；其中a1为首项，n为项数，an为末项。 2n(n1)（2）Snna1d

2（3）SnSn1an(n2) （注：该公式对任意数列都适用）

常用性质：（1）、若mnpq，则有 amanapaq

（2）、apq,aqp,则apq0 ；

（3）、若an、bn为等差数列，则anbn为等差数列。 （4）、an为等差数列，Sn为其前n项和，则

Sm,S2mSm,S3mS2m也成等差数列。

（5）、若am是an,ap的等差中项，则有2amanapn、m、

p成等差。

2

注意：已知Sn求a1和公差d：S1=a1 求出a1再S2=a1+a2 求出a2然后d=a2-a1

等比数列：

通项公式：（1） ana1qn1a1nq(nN*) ；（2）anakqnk（其中a1q为首项，n为项数，q为公比）； （3）anSnSn1(n2) （注：该公式对任意数列都适用）

前n项和：（1）SnSn1an(n2) （注：该公式对任意数列都适用）

na1 （2）Sna1(1qn)1q(q1)(q1)

常用性质：（1）、若mnpq，则有 amanapaq ；

（2）、若an、bn为等比数列，则anbn为等比数列。 （3）、若am是an,ap的等比中项，则有 am2anapn、m、p

成等比。

四、三角公式：

诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）

公式一： 公式二：

sin（π+α）=－sinα sin（－α）=－sinα cos（π+α）=－cosα cos（－α）=cosα 公式三： 公式四：

sin（π－α）=sin sin（2π－α）=－sinα cos（π－α）=－cosα cos（2π－α）=cosα 公式六： 公式七：

sin（π/2+α）=cosα sin（π/2－α）=cosα

cos（π/2+α）=—sinα cos（π/2－α）=sinα 公式七： 公式八：

sin（3π/2+α）=－cosα sin（3π/2－α）=－cosα cos（3π/2+α）=sinα cos（3π/2－α）=－sinα 上面这些诱导公式可以概括为：

3

对于kπ/2±α(k∈Z)的三角函数值，

①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；

②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos; cos→sin; （奇变偶不变）

（符号看象限）

例如：sin(2π－α)=sin(4·π/2－α)，k=4为偶数，所以取sin；令α为锐

角，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)<0，符号为“－”。所以sin(2π－α)=－sinα

k总结记忆：将α看成是锐角，奇变偶不变，符号看象限。奇偶是针对而言

2的，变与不变是针对三角函数名而言。 和差公式：

sin2cos21； sinacosa2sin(a45o)2cos(a45o)

sin()sincoscossin; cos()coscossinsin

tantan asinbcos=a2b2sin()； tan()1tantanb(辅助角所在象限由点(a,b)的象限决定,tan ).

aaaaa sinasin2sincossinasin2cossin2222aa cosacos2coscos22aa cosacos2sinsin22二倍角公式：

2tan sin2a2sinacosa1tan21tan22222cos2cossin2cos112sin 21tan2tansin21cos2 tan2tan1tan21cos2sin21cos21cos2 cos2 sin222

解斜三角形：

abc2R（R为ABC外接圆的半径）. 正弦定理 ：

sinAsinBsinCa2RsinA,b2RsinB,c2RsinCa:b:csinA:sinB:sinC 余弦定理：

a2b2c22bccosA; b2c2a22cacosB; c2a2b22abcosC 面积定理：

4

111ahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高） 222111（2）SabsinCbcsinAcasinB

222内角和定理 ：在△ABC中，有ABCC(AB)

CAB2C22(AB) 222ABC)cos；sin(AB)sinC；cos(AB)cosC；sin(22ABCcos()sin

22

（1）S五、向量：

实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数，那么： (1) 结合律：λ(μa)=(λμ) a;

(2)第一分配律：(λ+μ) a=λa+μa; (3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.

（4）a与b的数量积(或内积)：a·b=|a||b|cos 平面向量的坐标运算：

(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a+b=(x1x2,y1y2). (2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a-b=(x1x2,y1y2). (3)设A(x1,y1)，B(x2,y2), 则ABOBOA(x2x1,y2y1).

(4)设a=(x,y),R， 则a=(x,y).

(5)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=(x1x2y1y2)是一个数值 两向量的夹角：

cosab|a||b|x1x2y1y2xyxy21212222(a=(x1,y1),b=(x2,y2)).

平面两点间的距离：

dA,B=|AB|ABAB=(x1x2)2(y1y2)2 (A(x1,y1)，B(x2,y2)). 向量的平行与垂直 ：设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，则：

a||bb=λa x1y2x2y10.（交叉相乘差为零）

ab (a0) a·b=0x1x2y1y20.（对应相乘和为零） 线段定比分点：设P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)是线段P1P2的分点,PP1PP2

xx2yy2y1则x1

11

六、不等式：

5

（1）a,bRa2b22ab(当且仅当a＝b时取“=”号)．

ab（2）a,bRab(当且仅当a＝b时取“=”号)．

2（3）a3b3c33abc(a0,b0,c0) （4）ababab

2ababa2b2（5）(当且仅当a＝b时取“=”号) abab22aa(a0)（6）aa0(a0)

aa(a0)不等式解法：

一元二次不等式ax2bxc的解 ○当(a0,b24ac0)时

ax2bxc0的解x1xx2 (x1x2) ax2bxc0的解xx1,或xx2 (x1x2)

○当(a0,b24ac0)时 ax2bxc0的解（无解）

bax2bxc0的解x

2a○当(a0,b24ac0)时 ax2bxc0的解（无解） ax2bxc0的解全体实数

注：当a0时，两边乘以-1即可。解一元二次不等式的时候画出函数图像以免解错。

含有绝对值的不等式 ：当a0时，有 xax2a2axa.

xax2a2xa或xa.

七、排列组合以及概率：

分类计数原理（加法原理）：Nm1m2mn. 分步计数原理（乘法原理）：Nm1m2mn.

n！排列数公式 ：Anm=n(n1)(nm1)=.(n，m∈N*，且

(nm)！mn)．规定0!1.

n！Anmn(n1)(nm1)组合数公式：C=m==(n∈N*，mN，且

m！(nm)！12mAmmn).

mnnm01. 组合数的两个性质:(1)Cnm=Cn ;(2) Cnm+Cnm1=Cnm1.规定Cn互斥事件：不可能同时发生的事件。

6

A,B分别发生的概率的和：P(AB)P(A)P(B) n个互斥事件分别发生的概率的：

P(A1A2...An)P(A1)P(A2)...P(An)

独立事件：事件A（或B）是否发生对事件B（A）发生的概率没有影响。

A,B同时发生的概率：P(AB)P(A)P(B)

n个独立事件同时发生的概率：P(A1A2...An)P(A1)P(A2)...P(An) 独立重复试验：一系列的重复实验

kkP(1P)nk. n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率：Pn(k)Cn八、统计：

1平均数：x(xx...x)

n1方差：S2[(x1x)2(x2x)2...(xnx)2]

n

函数与几何

一、函数基本知识

函数单调性:

增函数：设f(x)在xD上，若对任意的x1,x2D且x1x2，都有

f(x1)f(x2)成立，则f(x)在xD上是增函数。D则是f(x)的递增区

间。

减函数：设f(x)在xD上，若对任意的x1,x2D且x1x2，都有

f(x1)f(x2)成立，则f(x)在xD上是减函数。D则是f(x)的递减区

间。

单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数；（2）、减函数+减函数=减函数；

(3)、增函数-减函数=增函数；(4)、减函数-增函数=减函数；

单调性解法：

（1）根据定义求解

7

（2）设x1,x2a,b,x1x2那么

(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是增函数；

x1x2f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是减函数. (x1x2)f(x1)f(x2)0x1x2(3)导数法：设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f(x)0，则f(x)为增函数；如果f(x)0，则f(x)为减函数.（常用）

函数奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称） 奇函数：定义：在前提条件下，若有f(x)f(x)，则f(x)就是奇函数。 性质：（1）、奇函数的图象关于原点对称；

（2）、奇函数在x>0和x<0上具有相同的单调区间； （3）、定义在R上的奇函数，有f(0)0 .

偶函数：定义：在前提条件下，若有f(x)f(x)，则f(x)就是偶函数。 性质：（1）、偶函数的图象关于y轴对称；

（2）、偶函数在x>0和x<0上具有相反的单调区间； 奇偶函数间的关系：

(1)、奇函数·偶函数=奇函数； （2）、奇函数·奇函数=偶函数； (3)、偶奇函数·偶函数=偶函数； (4)、奇函数±奇函数=奇函数（也可能偶函数）

(5)、偶函数±偶函数=偶函数； (6)、奇函数±偶函数=非奇非偶函数 奇偶性解法：

（1）前提条件下（定义域必须关于原点对称）如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．

8

（2）定义法：f(x)f(x)，则f(x)就是奇函数；f(x)f(x)，则f(x)就是偶函数。 函数的周期性：

定义：对函数f(x)，若存在T0，使得f(xT)f(x)，则就叫f(x)是周

期函数。

周期函数几种常见的表述形式：

(1)、f(xT)f(x)，此时周期为2T ；

（2）、 f(xm)f(xn)，此时周期为2mn ；

(3)、f(xm)1，此时周期为2m f(x)2 ||（4）、函数ysin(x)，或者ycos(x)，此时周期为T函数ytan(x)，xk

y2,kZ，此时周期T ||k<0ok>0x二、直线（一次函数）：y=kx+b

直线的方程：（1）点斜式 yy1k(xx1) (直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为k)．

（2）一般式 AxByC0(其中A、B不同时为0).

斜率公式 ：tan=ky2y1（P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、为倾斜角）. x2x1两直线夹角：tan|k2k1|.

1k2k1两直线平行：k1=k2 两直线垂直：k1*k2=-1 点线距离：d|Ax0By0C|AB22

9

线段A(x1,y1),B(x2,y2)的中点坐标（

yx1x2yy2，1） 22a<0oxa>0三、二次函数(特殊抛物线):f(x)ax2bxc(a0)

2y=ax2+bx+c

bb24ac①若b4ac0,则x1,2

2ab②若b24ac0,则x1x2

2a③若b24ac0，它在实数集R内没有实数根

b24acb2yaxbxca(x)(a0)也可看成抛物线

2a4ab4acb2b4acb214acb21) 焦点(,) 准线：y顶点(,.

2a4a2a4a4a

2yy=ax01四、指数函数：ox (1)、 yax(a1)在定义域内是单调递增函数； （2）、 yax(0a1)在定义域内是单调递减函数。 注：指数函数图象都恒过点（0，1）

yy=logax01x五、对数函数：

(1)、 ylogax(a1) 在定义域内是单调递增函数； （2）、ylogax(0a1)在定义域内是单调递减函数

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(3)、 logax0a,x(0,1)或a,x(1,)

(4)、logax0a(0,1)则x(1,) 或 a(1,)则x(0,1) 注： 对数函数图象都恒过点（1，0）

y=sinx-π/2y1六、三角函数：

-2π-3π/2-πo-1π/2π3π/22πx

f(x)sinx 定义域R，值域[1,1]，

单调性：x[2k,2k](kz)单增

223 x[2k,2k](kz)单减

22 奇偶性：奇函数 周期：T2最小正周期为2 ||y=cosx-2π-3π/2-π-π/2y1o-1π/2π3π/2 2πx

f(x)cosx 定义域R，值域[1,1]，

单调性：x[(2k1),2k](kz)单增 x[2k,(2k1)](kz)单减 奇偶性：偶函数 周期：T2最小正周期为2 ||最值（值域）问题：1、当f(x)asinxbcosx类型要化为

f(x)Asin(x)或者f(x)Acos(x)的形式，sin和cos的值域是[1,1]即可求的最值（以及周期）。

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2、当f(x)asinxbsin2x或者f(x)asinxbcos2x时，化为顶

点式的二次函数即可求得最值（若出现的是f(x)asinxbcos2x，把

cos2x升幂为2cos2x1即可）

总之，不管一个三角函数式子有多复杂，借助公式化为单个同名三角函数即可求得最值（值域）、周期、奇偶性。奇偶性一般直接用f(x)f(x)和

f(x)f(x)求解。

七、圆：

圆的方程：

1、圆的标准方程 (xa)2(yb)2r2.（圆心（a，b）半径r）

DE2、圆的一般方程 x2y2DxEyF0(圆心为（,），半径

22D2E24Fr)

23、两点式：(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0(已知圆上两点求圆的方程) 圆与点：点P(x0,y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系有三种： 若d(ax0)2(by0)2，则dr点P在圆外;

dr点P在圆上; dr点P在圆内.

圆与直线：1、在x2y2r2（圆心在原点）的圆上一点P(x1,y1)引一条直线的方程是xx1yy1r2

2、在(xa)2(yb)2r2（圆心不在原点）外面的一点P(x1,y1)引出的切线有2条，解法：令直线方程为：yy1k(xx1)化为一般式后为

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kxyy1kx10， 圆心（a，b）到该直线的距离等于半径：

dkaby1kx1k212r即 dkaby1kx1rk212两边平方解得

2个解即为此2切线。

直线与圆的位置关系：直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系有三种(dAaBbC22ABdr相离0;dr相切0;dr相交0.

):

两圆位置关系:设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，O1O2d，则：

dr1r2外离4条公切线; dr1r2外切3条公切线;

内含内切r2-r1相交外切相离r1+r2r1r2dr1r2相交2条公切线; dr1r2内切1条公切线;

odddd八、椭圆：

定义一：MF1MF22a|F1F2|2c

x2y2标准方程：221(ab0) 长轴长2a 短轴长2b

abc定义二：M到同边焦点的距离与M到准线距离的比等于e (0e1)

aa2c222离心率：e 关系：abc 准线：x(y)

ca

九、双曲线：

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定义一：|MF1MF2|2a|F1F2|2c

x2y2标准方程：221(ab0) 长轴长2a 短轴长2b

abc定义二：M到同边焦点的距离与M到准线距离的比等于e (e1)

aa2c222离心率：e 关系：cab 准线：x(y) 渐近线：

caybx a22xyxyb若渐近线方程为yx0双曲线可设为22

ababax2y2x2y2若双曲线与221有公共渐近线，可设为22

abab任何情况下，焦点到渐近线的距离等于b

十、抛物线：

定义：M到焦点的距离与M到准线距离相等

方程：右开口：y22px 左开口：y22px 上开口：x22py下开口：x22py

pp离心率：e1 (右开口)焦点：(,0) 准线：x(y)

22注：直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB(x1x2)2(y1y2)2（弦端点

ykxbA(x1,y1),B(x2,y2)，由方程 消去y得到ax2bxc0方

F圆锥(x,y)0程的解是的A,B横坐标.再带入直线方程解得A,B纵坐标即可解得弦长。

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