1.(2016·永州)某种商品的标价为400元/件,经过两次降价后的价格为324元/件,并且两次降价的百分率相同. (1)求该种商品每次降价的百分率;
(2)若该种商品进价为300元/件,两次降价共售出此种商品100件,为使两次降价销售的总利润不少于3 210元,问第一次降价后至少要售出该种商品多少件?
解:(1)设该种商品每次降价的百分率为x%,依题意得
2
400×(1-x%)=324,
解得x=10或x=190(舍去).
答:该种商品每次降价的百分率为10%.
(2)设第一次降价后售出该种商品m件,则第二次降价后售出该种商品(100-m)件. 第一次降价后的单件利润为:400×(1-10%)-300=60(元/件); 第二次降价后的单件利润为:324-300=24(元/件).
依题意得:60m+24×(100-m)=36m+2 400≥3 210,解得m≥22.5. ∴m≥23.
答:为使两次降价销售的总利润不少于3 210元,第一次降价后至少要售出该种商品23件.
2.“全民阅读”深入人心,读好书让人终身受益.为打造书香校园,满足同学们的读书需求,学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和科技阅读两类图书.经了解,20本文学名著和40本科技阅读共需1 520元,一本文学名著比一本科技阅读多22元(注:所采购的文学名著书价格都一样,所采购的科技阅读书价格都一样). (1)求每本文学名著和科技阅读各多少元;
(2)若学校要求购买科技阅读比文学名著多20本,科技阅读和文学名著总数不低于72本,总费用不超过2 000元,请你为学校求出符合条件的购书方案;
(3)请你求出此次活动学校最多需投入资金多少元?
解:(1)设每本文学名著x元,每本科技阅读y元.依题意,有
20x+40y=1 520,x=40,解得 x=y+22.y=18.
答:每本文学名著和科技阅读分别是40元,18元.
(2)设购买文学名著m本,则科技阅读(m+20)本,依题意,有
m+m+20≥72,8解得26≤m≤28. 2940m+18(m+20)≤2 000.
由于m为正整数,∴m取值为26,27,28.
也就是说这次购买方案有3种,即文学名著26本,科技阅读46本;文学名著27本,科技阅读47本;文学名著28本,科技阅读48本.
(3)由(2)知,此次活动购买最多图书为文学名著28本,科技阅读48本. ∴28×40+48×18=1 984(元).
答:此次活动学校最多需投入资金1 984元.
3.(2016·孝感)孝感市在创建国家级园林城市中,绿化档次不断提升.某校计划购进A,B两种树木共100棵进行校园绿化升级.经市场调查:购买A种树木2棵,B种树木5棵,共需600元;购买A种树木3棵,B种树木1棵,共需380元.
(1)求A种,B种树木每棵各多少元;
(2)因布局需要,购买A种树木的数量不少于B种树木数量的3倍.学校与中标公司签订的合同中规定:在市场价格不变的情况下(不考虑其他因素),实际付款总金额按市场价九折优惠.请设计一种购买树木的方案,使实际所花费用最省,并求出最省的费用.
解:(1)设A种,B种树木每棵分别为a元,b元,则
2a+5b=600,a=100,解得 3a+b=380.b=80.
答:A种,B种树木每棵分别为100元,80元.
(2)设购买A种树木为x棵,则购买B种树木为(100-x)棵,则 x≥3(100-x),解得x≥75. 设实际付款总金额为y元,则
y=0.9[100x+80(100-x)]=18x+7 200.
∵18>0,y随x的增大而增大,∴x=75时,y最小. 即x=75,y最小值=18×75+7 200=8 550(元).
∴当购买A种树木75棵,B种树木25棵时,所需费用最少,最少费用为8 550元.
4.(2016·龙东)甲、乙两车从A城出发前往B城,在整个行程中,两车离开A城的距离y与时刻t的对应关系,如图所示:
(1)A、B两城之间的距离是多少千米? (2)求乙车出发后几小时追上甲车;
(3)直接写出甲车出发后多长时间,两车相距20千米.
解:(1)由图象知,A、B两城之间的距离是300千米.
(2)设过(5,0),(10,300)的直线表达式为y甲=k1t+b1,则
5k1+b1=0,k1=60,解得∴y甲=60t-300. 10k1+b1=300.b1=-300.
设过(6,0),(9,300)的直线表达式为y乙=k2t+b2,则
6k2+b2=0,k2=100,解得∴y乙=100t-600. 9k2+b2=300.b2=-600.
当y甲=y乙,即60t-300=100t-600.解得t=7.5. ∴7.5-6=1.5.
答:乙车出发后1.5小时追上甲车.
1
(3)①当y甲=20,即60t-300=20,解得t=5.
311
∴5-5=(小时); 33
②当y甲=y乙+20,即60t-300=100t-600+20,解得t=7.∴7-5=2(小时); ③当y乙=y甲+20,即100t-600=60t-300+20,解得t=8.∴8-5=3(小时); 222
④当y甲=300-20,即60t-300=300-20,解得t=9.∴9-5=4(小时).
33312
答:甲车出发后小时或2小时或3小时或4后,两车相距20千米.
33
5.(2016·泰安)某学校是乒乓球体育传统项目学校,为进一步推动该项目的开展,学校准备到体育用品店购买直
拍球拍和横拍球拍若干副,并且每买一副球拍必须要买10个乒乓球,乒乓球的单价为2元/个,若购买20副直拍球拍和15副横拍球拍花费9 000元;购买10副横拍球拍比购买5副直拍球拍多花费1 600元. (1)求两种球拍每副各多少元;
(2)若学校购买两种球拍共40副,且直拍球拍的数量不多于横拍球拍数量的3倍,请你给出一种费用最少的方案,并求出该方案所需费用.
解:(1)设直拍球拍每副x元,横拍球拍每副y元,由题意得
20(x+20)+15(y+20)=9 000,x=220,解得 5(x+20)+1 600=10(y+20).y=260.
答:直拍球拍每副220元,横拍球拍每副260元.
(2)设购买直拍球拍m副,则购买横拍球拍(40-m)副,由题意得 m≤3(40-m).解得m≤30.
设买40副球拍所需的费用为w元,则
w=(220+20)m+(260+20)(40-m)=-40m+11 200. ∵-40<0,∴w随m的增大而减小.
∴当m=30时,w取最小值,最小值为-40×30+11 200=10 000(元).
答:购买直拍球拍30副,购买横拍球拍10副时,费用最少,最少为10 000元.
6.(2016·武汉)某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售,每年产销x件.已知产销两种产品的有关信息如下表: 产品 甲 乙 每件售价 (万元) 6 20 每件成本 (万元) a 10 每年其他费用 (万元) 20 40+0.05x 2每年最大产 销量(件) 200 80 其中a为常数,且3≤a≤5. (1)若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元,直接写出y1、y2与x的函数关系式; (2)分别求出产销两种产品的最大年利润;
(3)为获得最大年利润,该公司应该选择产销哪种产品?请说明理由. 解:(1)y1=(6-a)x-20(0 y2=(20-10)x-(40+0.05x)=-0.05x+10x-40(0 22