(完整版)关于绝对值的几种题型与解题技巧

关于绝对值的几种题型及解题技巧

所谓绝对值就是只有单纯的数值而没有负号。即a0。但是，绝对值里面的数值可以是正数也可以是负数。怎么理解呢？绝对值符号就相当于一扇门，我们在家里面的时候可以穿衣服也可以不穿衣服，但是，出门的时候一定要穿上衣服。

所以，a0，而a则有两种可能：ao和a0。如：a5，则a5和

a5。合并写成：a5。 于是我们得到这样一个性质：

0 a a0 a0

a

a a0

很多同学无法理解，为什么a0时，开出来的时候一定要添加一个“负号”呢？

a。因为此时a0，也就是说a是一个负数，负数乘以符号就是正号了。如

(2)2。因此，当判断绝对值里面的数是一个负数的时候，一定要在这个式

子的前面添加一个负号。

例如：ab0，则ab(ab)。

绝对值的题解始终围绕绝对值的性质来展开的。我就绝对值的几种题型进行详细讲解，希望能对你们有所帮助。 绝对值的性质：

（1） 绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性

质；

a （a＞0）

参考材料

.. .. ..

（2） |a|= 0 （a=0） （代数意义） -a (a＜0)

（3） 若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0；

（4） 任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数， 即|a|≥a，且|a|≥-a；

（5） 若|a|=|b|，则a=b或a=-b；（几何意义）

a|a|（6） |ab|=|a|·|b|；|b|=|b|（b≠0）；

（7） |a|=|a|=a；

（8） |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a-b|

222一：比较大小

典型题型：

【1】已知a、b为有理数，且a0，b0，ab，则 （ ） A：abba； B：baba； C：abba； D：bbaa

这类题型的关键是画出数轴，然后将点按照题目的条件进行标记。

参考材料

.. .. ..

因为是a0，b0，ab，所以我们就在原点的左边标记。

0 a b 如果你不知道谁在前面，你就自己找一个数字。如：a4 ，

b3。

43，又

因为它们都是负数，所以

a4。

b3

当我们把条件都标记好了，并假设了一个数值带入其中，我们就能准确地判断它们的大小了。

二：判断点的位置或者原点的位置

经典题型

【1】不相等的有理数a、b、c在数轴上的对应点分别为A、B、C，如果

abbcac，那么，点B在（ ）

A：在A、C点的右边； B：在A、C点的左边； C：在AC点之间； D：上述三种均可能 ·

这个题目要求从已知条件入手，判断各自的大小关系。首先将题目进行变形：

abbcac abbcac0

观察一下，三个式子最后的结果是“0”，而三个式子中刚好是2个a，2个b，2个c。只有它们相互抵消了才可能为0.由此得到

ab0。

bc0，

ac0

abbcacabbcac0所以有：

ab。

bc，

acc 。

b a 画出数轴：

参考材料

.. .. ..

由此可以得出B点在AC之间。但是原点呢？

abc。A可以是正数也可以是负数。因此原点可以在a的左边也可以在右边。这

样原点可以在AB之间，也可以在CB之间，还可以在C的左边。

三：已知点在数轴上的位置，简化或者计算。

典型题型

【1】实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么，化简aba的结果是：

A：2a-b ; B：b ； C：-b ； D： -2a+b

从图中我们可以很准确地知道：a0，b0，而且点b到原点的距离比点a 到原点的距离还长，所以我们可以判断出ab0。如果你不知道自己是否判断对了，就采用数值法。设a2。b4。ab2(4)2460

b 0 a ab0直接开出来。于是，原式aba=abab

【2】已知ac0b，且bc；化简bcbcacacab

虽然条件中没有给出各点所在的位置，但是我们可以通过画数轴来确定各自的位置关系。

a c 0 b 甚至你可以标记具体的数值帮助我们分析。如b2。c4，a5

参考材料

.. .. ..

从数轴上可以看出，bc0。bc0。ac0，ac0。ab0。由绝对值的性质可以得到bcbcacacab(bc)(bc)(ac)(ac)(ab)

bcbcacacab

3b3a

【3】若1a3，则3a1a

这个题目给了a的取值范围，因此我们要对绝对值中的式子进行判断。

1a3，所以3a0值，

，而

1a0。如果你怕自己判断错误，不妨设一个数

a2。记住一定是在1和3之间取数值。这样你就能知道自己是否判断正

确了。

3a1a(3a)(1a)3a1a2

如果没有给定区间，我们应该如何解答呢？ 【4】化简3x12x1

这个题型，首先要在数轴上找出它们的零值点，也就是绝对值里面的式子必须

11xx3x102x10等于“0”，由此得到：，解得2x13 。，解得2。 负 正 3x1正 负

  0  1 21 3

画数轴，然后将零值点标出，并延长其线段，再将属于零值点的式子标记上去。以零值点为分界线，数轴右边为正，左边为负。这样数轴就被分割成了三个部分。

第一部分：x1 3由图上箭头方向可知：3x10。2x10

参考材料

.. .. ..

3x12x1(3x1)(2x1)5x11x第二部分：32

由图上箭头方向可知：3x10。2x10

3x12x1(3x1)(2x1)x2第三部分：

x

1

2

由图上箭头方向可知：3x10。2x10

3x12x1(3x1)(2x1)5x千万记住：取零值点

四：最小值或者最大值

经典题型 【1】

设a，b是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？

我们知道：绝对值是大于零的数，正数加正数会越来越大，所以，它会有最小值，而这个最小值是9+0=9. 所以ab0。 即|a+b|+9有最小值为9；

如果是9-|a+b|呢？因为绝对值出来的数都是非负数，9减去一个非负数只能越来越小，所以，它就会有最大值9-0=9 。

【2】设a，b是有理数，则-8-|a-b|是有最大值还是最小值？其值是多少？

这个题目是一个负数减去一个正数相等于加上一个数，这样所得出来的数值会越来越小。因此它会有一个最大值-8。

参考材料

.. .. ..

小结：这类题目关键是加法还是减法。正数+绝对值时有最小值；正数-绝对值时有最大值；负数-正数时有最大值。 【3】求|x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|的最小值

这里我们可以把小学奥数中的相关知识联系到一起讲解：

如图，在接到上有A、B、C、D、E五栋居民楼，现在设立一个邮筒，为使五栋

楼的居民到邮筒的就努力之和最短，邮局应立于何处？

A

B C

D E

分析：我们来分析以下A、E两个点，不论这个邮筒放在AE之间的哪一点，A

到邮筒的距离加上E到邮筒的距离就是AE的长度。也就是说邮筒放在哪不会影响这两个点到邮筒的距离之和。那么我们就使其他的3个点到邮筒的距离之和最短，再看为了使B、D两个到邮筒的距离之和也是不变的，等于BD。最后，只需要考虑C点到邮筒的距离最近就行了。那么当然也就是把邮筒放在C点了。这里就体现了一个“向中心靠拢的思想”

找出零值点，3,5,2，-1，-7 |x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|

这个式子有5项，以此排序-7，-1，2，3，5，故取中间项：x=2 |x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|=232522212716

题后小结论：

求|x-a1|+|x-a2|+…+|x-an|的最小值：

当n为奇数时，把a1、a2、…an从小到大排列，x等于最中间的数值时，

参考材料

.. .. ..

该式子的值最小。

当n为偶数时，把a1、a2、…an从小到大排列，x取最中间两个数值之间

的数（包括最中间的数）时，该式子的值最小。

五：求值 经典题型

【1】已知x3；y4，且xy，则xy 解：x3所以：x3。y4，所以y4

xy，所以y4

y4

x3

解得：

y4x3

这类题目注意条件。

xy。只要y比x大就可以，这里y只能取4.而x可

以取3和-3.因此就会有两个答案。

【2】已知

abc0，若

m2a3b4c••m1 abc则

解：因为一正。

abc0，故此存在四种可能：同为正，同为负，二正一负，二负

（1）同为正，则

m124+1=25

参考材料

.. .. ..

（2）同为负，则

m1-24+1=-23 -24+1=-23 24+1=25

（3）二正一负，则（4）二负一正，则综合：

【3】已知

m1m1m125或者

m1-23

abc0，若

m2a3b4cm1 abc则

这个题目将乘法改成加法，这时，我们需要讨论的情形就要多一些。 （1）同为正数。

m2a3b4cm110 abc=2+3+4=9.所以，

（2）同为负数。

m2a3b4cm18=-2-3-4=-9 所以， abc（3）a为正，b、c为负数

m2a3b4c2345m14。 所以， abc（4）a为正，b为正、c为负数

m2a3b4c2341m12， 所以， abc（5）a为正，b为负、c为正数

m2a3b4c2343m14， 所以， abc（6）a为负，b为正、c为负数

参考材料

.. .. ..

m2a3b4c2343m12所以， abc

（7）a为负，b为正、c为正数

m2a3b4c2345m16所以， abc（8）a为负，b为负、c为正数

m2a3b4c2341m10所以， abc这类题目一定要分别讨论。最好的办法就是逐一排除。

【4】已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值等于1，求

x2(ab)xcd

解：

a、b互为相反数，所以：a+b=0. c、d互为倒数,所以：cd=1 x的绝对值等于1,所以x21

x2(ab)xcd1010

六：0+0型

0+0型有集中很典型的题型 第一类：绝对值+绝对值：

若|x-a|+|x-b|=0，则x-a=0且x-b=0；

因为绝对值出来的数都是非负数，而两个非负数相加要等于0.唯有绝对值里面的数等于0.

参考材料

.. .. ..

【1】已知x4y20，求解：x4y20xy= xy，所以有：x-4=0.解得：x=4；y+2=0解得：y=-2

xy243则：xy24

【2】若xy3与xy1999互为相反数，求解：互为相反数的两个数之和等于0. 因此有：

xy= xyxy3+

xy1999=0 解得：x-y=-3 ;x+y=1999

xy19991666xy33

第二类：绝对值+平方

若|x-a|+(x-b)=0,则x-a=0且x-b=0；

2

因为绝对值出来的数都是非负数，而平方数也是一个非负数，两个非负数相加等于0，则各自为0.

4n()2yx的值

【2】若|x+3|+(y-1)=0，求

解：x+3=0,所以：x=-3； y-1=0。所以：y=1

4n4n()()(1)nyx13讨论：

当n为偶数时：

4n4n()()(1)n1yx13 (4n4n)()(1)n1yx13

当n为奇数时，

参考材料

.. .. ..

第三类：平方+平方

若(x-a)+(x-b)=0,则x-a=0且x-b=0； 【3】已知

(x2)2(y4)2022，求

xy(xy)

解：x-2=0。所以x=2 ；y+4=0，所以：y=-4

xy(xy)2(4)(24)826

七：分数求和

【1】 已知ab2与b1互为相反数，求代数式

1111 ab(a1)(b1)(a2)(b2)（a1999）(b1999)解：

ab2+

b1=0 解得：ab=2,b=1.a=2

1111ab(a1)(b1)(a2)(b2)（a1999）(b1999)

111120002001 =22334111111120002001 =223341120002001=2001

=

【2】化简

111111200420032003200210031002

参考材料

.. .. ..

111111200420032003200210031002 111111200320042002200310021003

1111111120032004200220032001200210021003 11300720041003 =20041003分式求和常用解法就是裂项。

裂项、裂项，就是将一个因式分裂成两个部分，它的原理是根据异分母相

11加减，必须通分来分裂的。如：23 因为分母不同，所以要通分。分子分母同时扩大相同的倍数，其值是不变的。一般来说，最简单的通分方法就是分母互相扩大倍数。“2”要扩大“3”倍，而“3”要扩大“2”倍。这样一来该题就可以变成：

323211123= 2323=2323。

例题分析

111199100 【1】23344511111111（-）（-）（-）-344599100 =2311=2100。

由此，我们得到一个结论：如果因式分母之间的差为“1”的时候，裂项成两个分式之间相减，其分子也是“1”.最后得到第一项减去最后一项。通项公式：

参考材料

.. .. ..

11111n(n1)nn1 其和为：n1nn。也就是“首项—末项”。

11111299302 【2】25588111114111111299302）×3 ×3 解：原式=（25588111114333331)2993023 =25588111114(111111111()2993023 =2558811111() =23023

m11从而我们得出一个通项公式：n(nm)nnm 。

参考材料