等比数列的一个求和公式

专题突破　做题前，请参考本期文章　《不愿将就，那就活用　——勘｝　吕　谈等比数列的一个求和公式的灵活应用》　圆　等比数列的一个求和公式　１．等比数列｛ｎ　）的公比为２，前　项和为Ｓ　，且Ｓｓ－－５，则Ｓ１ｏ一．　——２。已知Ｓ　为等比数列｛ａ　）的前，２项和，若Ｓ６—１，Ｓ　２－－－３，则Ｓ　。一　．　３．设ｓ　为等比数列｛ｎ　）的前　项和，且　一３，则　一．　——４．等比数列的其前　项和为Ｓ　，若　＋　，Ｓ　，　＋　成等差数列，则公比为　．　Ｃ　５．设ｓ　为等比数列｛ｎ　）的前　项和，若口　＋２ａ　。一０，则　一　．　Ｊ１０————　６．设数列｛ａ　｝是等比数列，其前　项和、前２　项和与前３　项和分别为Ｘ，ｙ，Ｚ，则下　列等式中恒成立的是　．（填序号）　（１）Ｘ４－Ｚ一２ｙ；　（２）Ｙ（ｙ—Ｘ）一Ｚ（Ｚ—Ｘ）；　（３）ｙ２一ＸＺ；　（４）Ｙ（ｙ—Ｘ）＝Ｘ（Ｚ－－Ｘ）．　７．已知数列｛口　）是公比为ｑ的等比数列，Ｓ　是其前　项和，且Ｓ。，Ｓ　，ｓ　成等差数列．　（１）求证：ｎｚ，口。，ａ　也成等差数列；　（２）判断以ｎｚ，ａ　，ａｓ为前三项的等差数列的第四项是否也是数列｛ｎ　）中的一项，若　是，求出这一项；若不是，请说明理由．　８．已知数列｛ａ　｝是等比数列，Ｓ　是其前　项和，且　＋　，　＋。，Ｓ　＋。（志∈Ｎ）成等差　数列．　（１）求该｛　）的公比ｑ，并求证：ａ川，　＋。，ａ抖２（是∈Ｎ）也成等差数列；　（２）试比较ｓ｛＋　＋ｓ；＋　和２Ｓ；＋。与的大小．　（命题人：刘建华）　・　２１　・　回０｝　Ｊ　ｏ７．（１）ａ”一　（过程略）．　（　）ｂｎ＋１＞　等价于３　＋（一１）　・２　＞３　＋（一１）　＾・２　，化简得（～１）”～　＜（喜）　．　当　为奇数时，可得　＜（了３　ｎ－］，即Ａ＜Ｉ；　当　为偶数时，可得一　＜（＿昙－ｎ　１，即　＞一喜，　又Ａ为非零整数，故　一一１．　专题突破１　一厢累加法、累乘法　～　＋１．　（提示：ａ，￣－ａｎ１－丽１　一厢　’用累加法）　２・ｄｎ一—（２—ｎ＋—１　）（—２ｎ～－１），累乘法．　３・口”一　一２＋旁，累加法．　，。。成等比数列，所以（３＋ｃ）　＝３（３￣３ｆ），解得ｆ：ｏ或ｃ一３当　一。时，口ｌ—啦一　ａ３，不符合题意舍去，故ｃ＝３．　：　ａ．１，３２．．（２）　≥２时，ａ　一口　（ｎ－－１）Ｘ　３，累加得口　一　２－－ｎ＋２）（　ＥＮ　）．　５・由（　＋１）　ｎ２＋　一凇：十＆ｎ口ｎ＋ｌ一０因式分解得（ｎ　ｌ＋ａ　）［（　＋１）ｄ　＋ｌ—　Ⅱ　］：０．因为＆　＞０，所以　。¨ｌ＋ｎ　＞ｏ，故（ｎ－ｔ－１）ｉ￣ｎ＋１－加ｎ—ｏ，　，累乘得。　一　１．　６・当　＞１时，由加一＋　一２Ｓ．　①，得（”～１）ａ　＝２　②，①一②得撇　＋２一（ｎ－－１）　：２（Ｓ¨一　ｓ一１’＇化简得　＋１一　＋　’　，所以　“　超　ｎ一ｑ　－１（，ｚ＞１）．所以ｎ。。一　一ｚ一２　门，　　９’一号，　…，’　告：　，～１，　上、ｋ…Ａ上（　一　　）个式子相乘得ａｎ　２×号×…×　一ｎ（ｎ＞１），又ｎ　＝１也符合，所以口　一ｎ（　∈Ｎ＊）．　专题突破１．ｓｌ０一Ｓ５＋矿Ｓ５＝５＋３２×５＝１６５．　得Ｓｌ８—７．　，　等比数列的一个求和公式　２・根据　为等比数列｛ｎ　）的前７２项和，有（ｓ　ｚ—ｓ６）。＝　（ｓ　一ｓ　）将８６　１，Ｓｌ２　３代入，计算　，一……　３．专．　４‘　…　州＋ｓ　２，所以２ｓ：（　＋ｑ　ｓ１）＋（　＋　ｓ２），化衙得ｓｌ＋ｓ　一０即２∞＋口２一ｏ，所　５・由ｎｓ＋２ｎ　。＝ｏ可求得ｇ５＝～　１，　＝１＋　＝｛．　，６・由题可得Ｙ＝Ｘ＋ｑ＂Ｘ，ｚ—ｇ＋ｑ　Ｘ＝Ｘ＋ｑ＇Ｘ＋ｑＺ．Ｘ７‘　代入只有（４）恒成立．　，’由题ｓ＋Ｓ６＝２５ｇ，所以￥３－￣（￥３ｑ－ｑＺＳｚ）一２（Ｓａ＋ｑ。　）所以ｓ３－２Ｓ６：２（Ｓ。＋ｑ３　Ｓ３），解得　．　ｑ３一一专‘所以ｑｚ＋ａｓ－－２３８￣ａ２（１＋　一２ｑ　）一ｏ，所以２ａｓ＝口　＋ｎ　，所以ｎ　，ｎ。，ｎ　成等差数列（２）要以ｎｚ，ｎｓ，口ｓ为前三项的等差数列的第四项是数列｛ｎ　）中的第点项必有　～口　一　一口。，所以　，矿一　～１所以　一　５，所以矿一２—一　４，所以（～　１）宁一一｝，由惫是整数，所以（一告）ｋ丁－２：　．一号不可能成立，所以ａｚ，。ｓ，。ｓ为前三项的等差数列的第四项不可能也是数列（　）中的一项ｆ是≥２时，　１（一　１）。Ｉ≤１，而　＝１时，～　≠～｛１　・　８・　（２）因为Ｓｌ一２　．所以Ｓｊ＋】＋Ｓｌ＋２～２Ｓｌ＋３＝Ｓｌ＋１＋（＆＋ｌ＋矿”Ｓ１）　－－２（　＋】＋　“　）　一２　＋１・　¨Ｓ１＋（矿　Ｓ１）。～４　＋ｌ　州Ｓ２—２（矿ＨＳ２）　＝２　＋ｌ矿¨・２Ｓ２＋（　州・２Ｓ２）。一４　＋１矿　Ｓ２—　２（　州Ｓ２）　＝２（矿州Ｓ１）　＞Ｏ，所以Ｓｌ＋１＋　２＋２／　。　２＋２．　问题巩固　斐波那契数列有关问题　１．Ｌ　＝口　＋　．口＝专（１＋　），卢＝专（１一　）．（下同）　（１）用数学归纳法可证；（２）利用　及Ｆ　的通项公式直接化简即可．Ｌ一（　）”＋（１－２Ｖｒｆ］，　，　１＋　４＇－５）”　（　）　．　２．在斐波那契性质４中，令　一　＋１，我们可以得到Ｆ　＋　＝Ｆ三＋　＋　．　若令ｉｒｌ￣ｍ，我们可以得到Ｆ２　一　（　＋１＋　一１）一（　＋１一Ｆｍ一１）（　＋１＋Ｆ埘一１）一　＋１一　再令ｎ＝２ｍ，我们可以得到Ｆａ　：Ｆ２　Ｆ　＋１＋Ｆ２　～ｌ　一砩＋１一　＋１　一１＋　＋Ｆ埘Ｆ　一１＝　＋１＋　一１（Ｆｍ＋ｌ—　）＝　＋１＋　一　＿１．　３．令口　一（３＋　）　＋（３一　）孙．　注意到　ｚ＝　＋１一　，及　一　１一　．　于是ａ２ｎ＝（２ａｚ）　叫一（２　）　ｎ＝２　（４ｎ＋　”）＝２　Ｌ　这里的｛　）为卢卡斯数列（参见练习１），为正整数，所以ａ２　为正整数，且被２　整除．　另一方面０＜３一　＜１，所以０＜（３一　）。　＜１，所以口　即为大于（３＋√　）孙的最小整数．　４．（１）利用数学归纳法可证得ｎ　一Ｆ４　，故　为正整数．　（２）由题意（２ａ　＋１～７ａ　）。一４５ｎ　－－３６，整理得：４（口抖１＋　）　：３６（ａ　＋１ａ　一１）．　广１　＿１２　进而　＋１口　－－１＝Ｉ专（口　＋１＋ｎ　）Ｉ．　而｛（ｎ　＋　＋ａ　）一了１（Ｆ４　＋ｔ＋Ｆ４　）－￣－＋（Ｆ４　＋。＋Ｆ４　＋ｚ＋Ｆ４　）－＋（２Ｆ４　＋ｚ＋Ｆ４　＋Ｆ４　）一了１（２Ｆ４　２　＋Ｆ４　２）一Ｆ４　２．　所以（ｎ—ｎ　一１）　＝　ｚ为完全平方数．　挑战自我　１．若｛　）是等比数列，６】一１，ｓ，　是互不相等的正整数，则有筹＝１．　２．－　Ｙ－＜Ｉ，　一３，＜　＋３，＜ｚ　，故（１）当Ｘ－－　＜考时，因　—Ｙ，詈，ｘ＋ｙ，ｚ　成等比数列，故－Ｚ　Ｘｘ　（　＋　）　，得ｙ＝ｘ＋ｙ不满足ｘ＞ｙ＞２；（２）￣＃＜ｘ－－ｙ时，因÷，ｘ－－ｙ，ｘ＋ｙ，ｘｙ成等比数列，故÷・ｘｙ　＝（ｚ＋　）（ｚ—　），即ｙ２一　一Ｙ。，即　：　．因［（　一１）　］　＝　１（厶　　＋１）　，故　一去・（Ｖ　６　　＋１）。一　一　，纠＋５　．经检　一７＋５　，　一　满足题意．　３．由题意，ｆ（１，１）一１，，（ｍ＋１，１）一２ｆ（ｍ，１）（ｍＥＮ　）．因为厂（ｍ＋１，１）一２ｆ（ｍ，１），所以数列　｛，（ｍ，１））组成以ｆ（１，１）一１为首项，以２为公比的等比数列，故ｆ（ｍ，１）＝，（１，１）・２一　＝２一　．即输出　的结果为２一　．　４．Ａ点的坐标依次为Ａ】（专，６十号），Ａ２（詈，６＋锄＋詈），…，Ａ（专，ｂ＋ａａ＋…＋　一一＋号），…，　贝　：　：（　一睾，　＋专），　＝１，２，３，…，若Ａ１，Ａ，Ａ，…，Ａ共线，则蕊∥　，即　（专～　，专＋　）∥（　一专，　＋专），即（　一　一・）（ｎ，ｔ＋－＋　）一（　＋　一　）（ａａ－ｂｌ－ａｎ）＝ｏ，（　ｎ＋　～　】　＋】＋　－－ａ．口　一】）－－（ａ．口　＋】＋　一】　＋】一　～　口　一】）＝０，　＝　一】　＋】，所以数列｛　｝是等比数列．　・　９　・