高端讲义复数——教师版

【基础知识】

1.设i为方程x2=-1的根，i称为虚数单位.由i与实数进行加、减、乘、除等运算便产生形如a+bi(a、b∈R) 的数，称为复数.所有复数构成的集合称复数集，通常用C来表示.

2.复数的几种形式

(1)对任意复数z=a+bi(a、b∈R)，a称作实部，记作Re(z)；b称作虚部，记作Im(z).z=a+bi称为代数形 式，它由实部、虚部两部分构成.

1与i分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi就是实数，当b≠0时，a+bi是虚数，其中a=0且 b≠0时称为纯虚数.应当特别注意，a=0仅是复数a+bi为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是 实数.

根据两个复数相等的定义，设a、b、c、d∈R，两个复数a+bi和c+di相等规定为a+bi=c+diac.

bd这个定义得到a+bi=0a0. b0两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等.

两个复数相当的定义实际上给出了将复数问题转化为实数问题的方法，是求复数值、在复数集中解方 程的重要依据.

(2)若将(a，b)作为坐标平面内点的坐标，那么z与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与 坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射.因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平 面，x轴称为实轴，y轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式. ．．．．(3)如果将(a，b)作为向量的坐标，复数z又对应唯一一个向量，因此坐标平面内的向量也是复数的一种 表示形式，称为向量形式. (4)设z对应复平面内的点Z，连接OZ，设∠xOZ=θ，|OZ|=r，则a=rcosθ，b=rsinθ，所以z=r(cosθ+isinθ)， 这种形式叫作三角形式.

(5)若z=r(cosθ+isinθ)，则θ称为z的辐角.若0≤θ<2π，则θ称为z的辐角主值，记作θ=arg(z).r称为z 的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=ab.如果用eiθ表示cosθ+isinθ，则z=reiθ，称之为复数的指数 形式.

3.复数的四种表示形式

代数形式：zabi(a、bR).

几何形式：复平面上的点Z(a，b)或由原点出发的向量OZ. 三角形式：zr(cosisin)，r0，R. 指数形式：zre.

复数的以上几种形式沟通了代数、三角、几何等学科间的联系，使人们应用复数解决相关问题成为现实.

Page 1 of 12

i224.复数的运算法则

两个复数z1=a1+b1i，z2=a2+b2i： (1)加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i. (2)减法：z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i.

(3)乘法：z1z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i. (4)除法：

z1(a1a2b1b2)(a2b1a1b2)i( a2+b2i0). 22z2a2b2nn(5)乘方(棣莫弗定理)：r(cosisin)rcosnisinn(nN).

(6)开方：复数r(cosisin)的n次方根是nrcos2knisin2k(k0，1，，n1).

n22isin，则全部单 nn(7)单位根：若ωn=1，则称ω为1的一个n次单位根，简称单位根，记Z1=cos位根可表示为1，Z1，Z12，Z13，…，Z1n1.

单位根的基本性质有(这里记ZkZ1k，k=1，2，…，n-1)： ①对任意整数k，若k=nq+r，q∈Z，0≤r≤n-1，有Znq+r=Zr. ②对任意整数m，当n≥2时，有1ZZZm1m2mn10nm，特别地，1+Z1+Z2+…+Zn-1=0. nnm③xn-1+xn-2+…+x+1=(x-Z1)(x-Z2)…(x-Zn-1)=(x-Z1)(x-Z12)…(x-Z1n1).

(8)代数基本定理：在复数范围内，一元n次方程至少有一个根(一元n次方程(n≥1)有且仅有n个根——k

重根作k个根计).

实系数方程虚根成对定理：实系数一元n次方程的虚根成对出现，即若z=a+bi(b≠0)是方程的一个根， 则z=a-bi也是一个根. 若a、b、c∈R，a≠0，则关于x的方程ax2+bx+c=0，当Δ=b2-4ac<0时方程的根为x1,2bi.

2a(9)四则运算的交换率、结合率、分配率都适合于复数的情况.

注意：复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别，最主要的是在运算中将i2=-1运用 到实际运算过程中去.

5.特殊复数的运算

(1)i(n为整数)的周期性运算. (2)(1±i)2=±2i. (3)若

Page 2 of 12

n13i，则ω3=1，1+ω+ω2=0. 226.共轭复数

(1)若z=a+bi，则zabi，zz为实数，zz为纯虚数(b≠0).

复数z是实数的充要条件是z=z；z是纯虚数的充要条件是z+z=0(且z≠0). (2)zz|z|2|z|2.

(3)zz2Rez，zz2Imz. (4)zz.

(5)z1z2z1z2. (6)z1z2z1z1. (7)z1z1z20. z2z2

7.复数的模

(1)复数z=a+bi的模za2b2且zzza2b2.

2(2)|z||Rez|，|z|Imz|. (3)|z1z2zn||z1||z2||zn|. (4)|z1|z1|z20. |z2|z2|(5)||z1||z2|||z1z2|，与复数z1、z2对应的向量OZ1、OZ2反向时取等号.

(6)|z1z2zn||z1||z2||zn|，向量OZ1、OZ2、、OZn同向时取等号.

(7)复数a+bi的模的几何意义是表示复数a+bi的点到原点的距离.

8.复数解题的常用方法与思想

(1)两个复数相等的充要条件是它们的实部、虚部对应相等，或者它们的模与辐角主值相等(辐角相差2的 整数倍).利用复数相等的充要条件可以把复数问题转化为实数问题，从而获得解决问题的一种途径. (2)复数的模也是将复数问题实数化的有效方法之一.善于利用模的性质是模运算中的一个突出方面.

Page 3 of 12

【例题精讲】

【例01】设m、n为非零实数，i为虚单位，zC，方程|zni||zmi|n与|zni||zmi|m在

同一复平面内的图形(F1、F2是焦点)是( ).

【例02】若zC，arg(z24)

2【例03】关于x的二次方程x2z1xz2m0中，z1、z2、m均是复数且z14z21620i.设这个方

5，arg(z24)，则z的值是 . 63程的两个根为、且满足||27，求|m|的最大值和最小值.

【例04】复数z1、z2满足|z1||z1z2|3、|z1z2|33，则log2|(z1z2)2000(z1z2)2000| ．

【例05】在复平面上，曲线z4+z=1与圆|z|=1的交点个数为 ．

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

x12x【例06】设x1、x1是实系数一元二次方程axbxc0的根，若x1是虚数、是实数，则11

x2x22x1x1x1x2x2x2231995的值为 ．

A 0 B -998 C 998 D 1

ii()由已知x与x共轭,设xre,xre, 12121、 D.

24iix12x12i3则reR,得或,所以e3或e3,代入s中得s1x233x2

594m1【例07】C1(其中mnCn+CnCn1n1nn22cos4 (C)2



n1，x表示不超过x的最大整数)的值为 ． 41n1nn22sin4 (D)2Page 4 of 12

598522

【例08】已知、是方程ax+bx+c=0(a、b、c为实数)的两根且是虚数、是实数，则的

k1k值是 ． (A)1

(B)2

(C)0

(D)3i

【例09】a为自然数，存在一个以a为首项系数的二次整数系数的多项式，它有两个小于1的不同正根，那

么a的最小值是 ． 2、 5；

【例10】已知复数Z1、Z2满足|Z1|=2、|Z2|=3，若它们所对应向量的夹角为60°，则

Z1Z2 ．

Z1Z2７、如图，由余弦定理可得：|Z1+Z2|=√19， |Z1-Z2|=√7，所以|(Z1+Z2)／(Z1－Z2)|=(√19)/(√7)=(√133)

2【例11】设x是模为1的复数，则函数f(x)x13的最小值为 . x2D．3

A．5 B．1

2C．2

2【例12】若复数z满足关系|z2||z4i|12，则z对应的复平面的点Z的轨迹是 .

A．圆

B．椭圆

C．双曲线

D．直线

【例13】已知复数z满足关系式|z2|3，则复数z的辐角主值的范围是 .

1995、z20，【例14】设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为z1、z2、则复数z1、

A．[0,C．[0,3] ][

B．[5,2] 3D．[0,35,2] 33][5,2] 3、、z1995z1995220所对应的不同的点的个数是 .

A．4

B．5

C．10

D．20

【例15】设n=2001，则

1243610002000(13C2Cn) . n3Cn3Cn3n2323【例16】若虚数z满足z8，那么zz2z2的值是 .

22【例17】若关于x的方程x2axa4a0至少有一个模为3的根，则实数a的值是 .

Page 5 of 12

【例18】给正方体的8个顶点染上k个红点、8k个蓝点(1k8)，凡是两端为红色的棱皆记上数字

13i13i，凡是两端为蓝色的棱皆记上数字，凡是两端异色的棱皆记上数字1.这12个 22数字之积的所有可取值为 .

【例19】关于x的实系数方程x22x20和x22mx10的四个不同的根在复平面上对应的点共圆，

则m的取值范围是 .

2．{m|-1当4m240，即1m1时，方程x22mx10有两个共轭的虚根x3,x4，且x3,x4的实部为m1，这时x1,x2,x3,x4在复平面内对应的点构成等腰梯形或矩形，它们共圆.

22当4m40，即m1或m0时，方程x2mx10有两个不等的实根x3,x4，则x1,x2对

应的点在以x3,x4对应的点为直径端点的圆上，该圆的方程为

(xx3)(xx4)y20，即x2y2(x3x4)xx3x40，将x3x42m,x3x41及x1,x2对应点

的坐标(1，±1)代入方程，即得m

【例20】设复数z1(2a)(1b)i、z2(32a)(23b)i、z3(3a)(32b)i，其中a、bR.

当z1z2z3取得最小值时，3a4b________.

解 易求得z1z2z3，，于是z1z2z3z1z2z=1086i3，z1z2z3取得最小值，当且仅当

【例21】设a、b均为正数且存在复数z满足zzzabi、z1，则ab的最大值等于 ．

3.故m的取值范围是{m|-1【例22】在复平面上，非零复数z1、z2在以i对应的点为圆心、1为半径的圆上，z1z2的实部为零，argz1=

，则z2= ．(A)6

33i22

Page 6 of 12

【例23】已知z1=

322

a+(a+1)i，z2=-33b+(b+2)i(a>0、b>0)，如果3z1+z2=0，求z1和z2. 2

解析：∵3z1+z2=0，∴()2=-3，即=±3i.∴z2=±3iz1.

2

2

z2z1z2z1

当z2=3iz1时，得-33b+(b+2)i=3i[3b＝a＋1，

由复数相等的条件，知3

b＋2＝a，2

33

a+(a+1)i]=-3(a+1)+ai. 22∴

a＝2，b＝1.

∴z1=3+3i，z2=-33+3i.

－3b＝a＋1，3

当z2=-3iz1时，得-33b+(b+2)i=3(a+1)-ai，由复数相等的条件，知3

2b＋2＝－a.210

a＝－，7∴1

b＝7.

【例24】求同时满足下列两个条件的所有复数z：(1)110x(x＋y＋10)y(x＋y－10)

解析：设z=x+yi(x，y∈R)，则z+=+i.

zx2＋y2x2＋y2

2

2

2

2

∵已知a，b∈(0，+∞)，∴此时适合条件的a，b不存在．∴z1=3+3i，z2=-33+3i.

10≤6.(2)z的实部和虚部都是整数． zy(x＋y－10)＝0， ①1022

∵1z1＜≤6. ②x2＋y2

x22

1010

由①得y=0或x2+y2=10，将y=0代入②得1<+x≤6，与+x≥210>6(x>0)矛盾，

x1

∴y≠0.将x2+y2=10代入②得2

x＝1，

又x，y为整数，∴

y＝±3.

x＝3，

或y＝±1.

故z=1±3i或z=3±i.

【例25】设z是虚数，ω=z1是实数，且-1<ω<2. z (1)求z的值及z的实部的取值范围. (2)设u=

1z，求证u为纯虚数. 1z (3)求ω-u2的最小值.

(a解：(1)设z=a+bi (a， b∈R， b≠0)，则ω=

ab)(b)ia2b2a2b2，由于ω是实数且b≠0，∴ a2+b2=1，

Page 7 of 12

1即|z|=1，由ω=2a， -1<ω<2， ∴ z的实部a的的取值范围是(-2， 1).

221z1abi1ab2bi2bi122(1a)ba1，由于a∈(-2， 1)， b≠0，∴ u是纯虚数. (2)u=1z=1abib2(3)ω-u2=2a+(1a)22a1a2(1a)22aa1a12a12a12[(a1)1]3=a1，

1由于a∈(-2， 1)，∴ a+1>0，则ω-u2≥2×2-3=1，

1当a+1=a1， 即a=0时，上式取等号，所以ω-u2的最小值为1.

【例26】关于x的方程a(1+i)x2+(1+a2i)x+a2+i=0(a∈R)有实根，求a的值及方程的根．

Page 8 of 12

【例27】当关于t的一元二次方程t2+(2+i)t+2xy+(x-y)i=0(x、y∈R)有实根时求点(x，y)的轨迹方程．

【例28】已知复数w满足w4(32w)i(i为虚数单位)，复数z 实系数一元二次方程.

解法一：因为 w(12i)43i，得 w5+w2，试确定一个以z为根的 w543i|i|3i. 2i，所以 z2i12i 若实系数一元二次方程有虚根z3i，则必有共轭虚根z3i，

因为zz6，zz10，

故所求的一个一元二次方程可以是x26x100.

解法二：设wabi(a、bR)，则abi43i2ai2b(a4)bi2b(32a)i

a42ba2，∴ w2i，…，以下解法同[解法一]. b32ab1

【例29】若复数z满足z1ti(t∈R)，求z的对应点的轨迹方程． 1ti

解：此题主要考查复数的四则运算，点的轨迹方程的求法等．

(1ti)21t22t1tii221t， 设z=x+yi，(x， y∈R)，∵ z=1ti=(1ti)(1ti)1t1t2x1t2y2t1t2，消去参数 t，得x2+y2= 1，且x≠-1．∴所求方程为x2+y2=1(x≠-1)． ∴  诠释：解此题应抓住复数相等的充要条件，从而得到参数方程，消去参数，或者利用模的定义和性质，

求出|z|即可．

【例30】设

z是纯虚数，求复数z对应的点的轨迹方程． z1

解：此题主要考查复数的有关概念及性质，四则运算和点的轨迹方程的求法．

zzzzz0()0z1z1z1z1∵ 是纯虚数，∴ z1，即， 2zzzz0(z1)(z1)∴ ，∴ 2zz+z+z=0，(z≠0，z≠-1)，

设z=x+yi，(x，y∈R)，2(x2+y2)+2x=0(y≠0)

Page 9 of 12

11∴ (x+2)2+y2=4(y≠0)．它为复数z对应点的轨迹方程．

诠释：解此题应抓住虚数的定义和共扼复数的性质，利用运算法则进行求解.

【例31】设zC且

解：令z=x+yi(x，y∈R)，则

z是纯虚数，求|zi|的最大值. z1zzxyxy，∵是纯虚2222z1(x1)yz1(x1)y22y O －1 P 1/2 x

121x2y2x02数，∴，即(x)y(y0)，由数形结合可知本题是求

y02422圆(x)y12151(y0)上的点到A(0，-1)的最大距离.∴|zi|max=|PA|=. 42

2【例32】z1xx21i、z2(x2a)i对于任意的x∈R均有z1z2成立，试求实数a的取值范围.

解：∵|z1|>|z2|，∴x4x21(x2a)2，∴(12a)x2(1a2)0，对xR成立.

当12a0，即a当12a0时1

时，不等式成立； 2

12a0111aa(1,]. .综上得2224(12a)(1a)0【思维点拨】通过转化将复数问题变为实数问题是常用手段.

【例33】已知复数z1sin2xi，z2m(m3cos2x)i(、m、xR)，且z1z2．

(1)若0且0x，求x的值.

(2)设f(x)，求f(x)的最小正周期和单调递减区间．

sin2xm19. 解：(1)∵z1z2∴  ∴＝sin2x3cos2x------- 2分

m3cos2x若0则sin2x3cos2x0得tan2x3----------------4分

4∵0x, 02x2 ∴2x,或2x

332∴x或 -------------6分

6313(2)∵f(x)sin2x3cos2x2(sin2xcos2x)

22=2(sin2xcoscos2xsin)2sin(2x)------------- 9分

333Page 10 of 12

 ∴函数的最小正周期为T--------------------10分

3511,kZ得kxk,kZ

2321212511,k],kZ.--------------------12分 ∴f(x)的单调减区间[k1212由2k2x2k

【例34】关于x的不等式

xm20的解集为(1，n)．

1x)的值． 4(1)求实数m、n的值.

(2)若z1mni、z2cosisin，且z1z2为纯虚数，求tan(

19．解：(1)原不等式等价于(xm)x20，即x2mx20 ------3分

由题意得，1nm 解得m1，n2． ------5分

1n2(2)z112i，z1z2(cos2sin)i(2cossin) ------7分 若z1z2为纯虚数，则cos2sin0，即tan1 ------9分 21142tan()3----- 12分 141tantan142tantan

m100【例35】设虚数z满足zmz0(m为实常数，m0且m1，t为实数).

42t(1)求z的值.

(2)当tN*，求所有虚数z的实部和.

(3)设虚数z对应的向量为OA(O为坐标原点)，OA(c，d).若cd0，求t的取值范围.

22． (本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.

mtm100m2ti 解：(1)z， ……………2分

2m100m2tim2tm100m2tm50 ………………4分 z442Page 11 of 12

m100m502(或zzz) z42 (2)z是虚数，则m100mt； m0mm，z的实部为22tt50mmm2mm49mm50mmmm当m1,得mmt1,1,得得50tt且5050t且且ttNNNSSS22(2(2()).………7分

222222m11m15151525251mmmmmmmmmmm51当22(.……………10分 0000mmmm1,1,1,得得1,得t得ttt505050且50且且且ttttNNNSSSS2(2())))22222221111mmmmtm100m2t(3)解：c 0,d22100100t2ttmmm22m2① ddd,c,,cdd恒成立，

222mmt0由mtm50得，当m1时，t50；当0m1时，t50 .………………12分

② dm100m2tmt, 如cd,则22m100m2tm100m502ttm即m,

222t5011即50-log2t50……………14分 50log2t50当m1,. 1mm22t50logm22t5011即5022t50logm22

【例36】在复平面上，方程zizi2a0a1所表示的曲线是 .

22【例37】方程4z12z1z2z20的解z1、z2对应的点分别是A、B，如果原点O以及A、B三点构成

三角形，试判断AOB的形状.

【例38】在复平面上有两个集合Mz3z22、Nzargz，那么MN所表示的

6区域的面积是 .

Page 12 of 12