均值不等式常见题型整理之欧阳法创编

2021.03.09

均值不等式

一、 时间：2021.03.09 创作：欧阳法 二、 基本知识梳理

1.算术平均值：如果a﹑b∈R+，那么叫做这两个正数的算术平均值.

2.几何平均值：如果a﹑b∈R+，那么叫做这两个正数的几何平均值

3.重要不等式：如果a﹑b∈R，那么a2+b2≥(当且仅当a=b时，取“=”) 均值定理：如果

aba﹑b∈R+，那么2≥(当且仅当

a=b时，取“=”) 均值定理可叙述为： 4．变式变形：

5.利用均值不等式求最值，“和定，积最大；积定，和最小”，即两个正数的和为定值，则可求其积的最大值；积为定值，则可求其和的最小值。

注意三个条件：“一正，二定，三相等”即：（1）各项或各因式非负；（2）和或积为定值； （3）各项或各因式都能取得相等的值。

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6.若多次用均值不等式求最值，必须保持每次取“=”号的一致性。

有时为了达到利用均值不等式的条件，需要经过配凑﹑裂项﹑转化﹑分离常数等变形手段，创设一个应用均值不等式的情景。

三、

常见题型：

yf(x)1、分式函数求最值，如果

ymg(x)可表示为

ABg(x)的形式，且g(x)在定义域内恒正或恒

负，A0,m0,则可运用均值不等式来求最值。

ax2x1y(x1且a0)x1例：求函数的最小值。 ax2x11axxayaxax(1a)x1x1x1 解：

当

a(x1)ax1即

x=0时等号成立，ymin1

2、题在给出和为定值，求和的最值时，一般情况都要对所求式子进行变形，用已知条件进行代换，变形之后再利用均值不等式进行求最值。

19a0,b0,且1ab例：已知，求ab的最小值。

解法一：

ab19b9a102916ab

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191ab变形可得(a1)(b9)9,a1,b9,思路二：由

然后将ab变形。 解

法

二

：

ab(a1)(b9)102(a1)(b9)10291016

可以验证：两种解法的等号成立的条件均为

a4,b12。

此类题型可扩展为： 设

Sa1、a2、a3均为正数，且

a1a2a3m，求

111a1a2a3的最小值。

19(3222)mm，等号成立的条件是a1a2a3。

3、题中所求的式子中带有根式，而且不能直接用均值不等式来求解，则可采用逆向思维来求解，对不等式逆向转换，本类题型一般情况都给出来x的取值范围，根据取值范围来进行逆向转换。 例：求函数

y7x31,x[,3]x2的最小值。

思路：由于所给函数的形式为无理式，直接求解较困难，从所给区间

1x[,3]2入手，可得一个不等式

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11(x)(x3)0x2（当且仅当2或x3时取等号），展

开此式讨论即可。

1(x)(x3)0,222x7x30,2x7x3, 2 解：即x0,27x3,x得ymin2

4、不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，如：当ab0时，ababa211abb。 或a2b22ab同时除以ab得

例：已知a,b,c证

明

：

a2b2c2abc均为，求证：bca。

a,b,c均为正数，

a2b2c22ab,2bc,2cabca，

总之，均值不等式是高中数学的重要内容之一，它是求多项式的最值以及函数的值域的常用方法。在应用均值不等式时，不论怎样变形，均需满足“一正二定三相等”的条件。 【巩固练习】

1、若a0,b0,求函数

yminabab,ymax2ab2ab

yxax2b最值。 答案：

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3x(x0)x2x1的值域。

2、求函数3，0]

y 答案：[-

113、已知正数x,y满足x2y1,求xy的最小值。

答案：322

4、已知x,y,z为正数，且

S1119xy2的最小值。答案：2

xyz2，求

1yx[,b](a0)a5、若，求

(1ab)xbx的最小值。

答案：a

6、设

a,b,c为整数，求证：

a2b2c2abcbccaab2。

三、利用不等式解题的典型例题解析： 题型一：利用均值不等式求最值（值域） 例1、（1）已知x0，求

（2）已知x3，求变式1： 1、若xR，求

f(x)123xx的最小值

f(x)4xx3的最大值 4xx3的值域

f(x)2x0的最大值为 yx2x2、函数

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1912：1、已知x0,y0且xy，求xy的最小

变式值

2、xR，求

f(x)sin2x15sin2x1的最小值

a2b2yx1x3、当0x1,a,b为正常数时，求

的最小值

变式3：1、函数yloga(x3)1(a0,a1)的图象恒过

定点，若点A在直线mxny10上，其

12mn0中，则mn的最小值为

2、求

y2(x23)x22的最小值为

0x23、已知

为

,f(x)12009sinx1sinx的最小值

变式4：1、已知x,y都是正实数，且xy3xy50

（1）求xy的最小值 （2）求xy的最小值

题型二：利用均值不等式证明不等式 例2、已知a,b,cR，求证：

222abcabbcca （1）

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（2）（

a2b2b2c2c2a22abc

3）

a4b4c4a2b2b2c2c2a2abcabc

变式

a,b,cR,且a,b,c,不全相等，求证：5：1、已知

bcacababcabc

2、已知

a2b2c213

a,b,cR，且abc1，求证：

11119 3、已知a0,b0,ab1，求证：ab

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