山西省2012届高三四校第四次联考数学理

数学（理）试题

（满分150分，考试时间120分钟）

命题： 长治二中 康杰中学 临汾一中 忻州一中

第Ⅰ卷

一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的) 1. 已知z1i(i为虚数单位）,z2A. 1i

2z

B. 1i C. 1i D. 1i

2. 各项都是正数的等比数列{an}中,a12,a6a1a2a3，则公比q A.

2

2B. 2



C. 3 D. 3

3.

(1cosx)dx2A. 2 B. 2 4. 若(x+1xnC. 2 D. 

)展开式中第四项与第六项的系数相等，则展开式中的常数项的值等于

A. 8 B. 16 C. 80 D. 70

2x,x015. 函数f(x)，若f(a)，则实数a的值是

2log2x,x0A. 2 B.

x2 C. 1或

12D. 1或2

6. 命题p：命题q：若函数yf(x1) xR,使得3x；为偶函数，则函数yf(x) 关于直线x1对称 A. pq真

B. pq真 D. q假

C. p真 A. 3 C. 2

7. 执行右图所给的程序框图，则运行后输出的结果是

B. 3 D. 2

xy508. 由不等式组y5围成的三角形区域有一个外接

0x2圆，在该圆内随机取一点，该点落在三角形内的概率是 A.

2 B. （3-22） C.

1

D.

12

22uuruuuruuuruuuruur9. 已知A、B、C是圆O：xy1上三点，且OAOBOC,则ABOA=

210. 已知三棱锥OABC中，A、B、C三点在以O为球心的球面上， 若ABBC1，

0ABC120，三棱锥OABC的体积为

A. 32 B.

32 C. 32 D.

3

54，则球O的表面积为

D. 544

A.

323 B. 16 C. 64

a11

11. 已知数列{an}为等差数列，若<－1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使Sn>0的n的最大

a10

值为

A. 11 12. 过双曲线

xa22

yb22B. 19 C. 20 D. 21

221(a0,b0)的左焦点F(c,0)(c0)，作圆：xya24的切线，切

uuurruuur1uuu点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若OE(OFOP)，则双曲线的离心率为

2A.

102 B.

105 C. 10 D. 2

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22—24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分)

1),则sin2=___________。 13. 若sin(4314. 已知A,B为抛物线y4x上不同两点，且直线AB倾斜角为锐角，F为抛物线焦点，若FA4FB, 则直线AB斜率为 。

15. 某几何体的三视图如图所示，其正视图为矩 形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯 形，则这个几何体的体积为 。

1x2x,16. 已知函数f(x)2ln(x1),x0,x0,2若函数

yf(x)kx有三个零点，则k的取值范围

为 。

三、解答题（解答应给出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分）

17.（本小题满分12分）

ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且

bcbca222tanA.

（1）求角A；

（2）设函数f(x)sinx2sinAcosx,将函数yf(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的

12，把所得图象向右平移

6个单位，得到函数yg(x)的图象，求函数

yg(x)的对称中心及单调递增区间.

18.（本小题满分12分）

在三棱锥MABC中，AB2AC2,

MAMB52，AB4AN，ABAC,

平面MAB平面ABC，S为BC的中点. （1）证明：CMSN；

平面CMN所成角的大小. （2）求SN与19.（本小题满分12分）

某单位为了提高员工素质，举办了一场跳绳比赛，男员工12人，女员工18人，其成绩编成如图所示的图（单位：分），分数在175分以上（含175分）者“运动健将”，并给予特别奖励，其他人员则给予“运动分子”称号.

（1）若用分层抽样的方法从“运动健将”和“运动积极分子”中抽取10人，然后再从这10人中选4人，求至少有1人是“运动健将”的概率；

（2）若从所有“运动健将”中选3名代表，用表示所选代表中女“运动健将”的人数，试写出的分布列，并求的数学期望.

20.（本小题满分12分）

已知椭圆C：

xa22其中茎叶定为积极

yb221(ab0)的离心率为

22，且过点Q(1，

22）．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若过点M(2，0)的直线与椭圆C相交于A，B两点，设P点在直线xy10

上，且满足OAOBtOP (O为坐标原点），求实数t的最小值． 21.（本小题满分12分）

设函数f(x)ax2xlnx(2a1)xa1(aR). （1）当a0时,求函数f(x)在点P(e,f(e))处的切线方程； （2）对任意的x[1,)函数f(x)0恒成立，求实数a的取值范围.

请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑． 22. (本题满分10分)

选修4-1：几何证明与选讲

如图，ABC为直角三角形，ABC90，

AB为直径的圆交AC于点E，点D是BC边的中

以点，连

OD交圆O于点M.

（1）求证：O,B,D,E四点共圆； （2）求证：2DE2DMACDMAB.

23. (本题满分10分)

选修4-4：坐标系与参数方程

x1在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为y135(t为参数）.若以坐标原点O为极4t52sin(t点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为（1）求曲线C的直角坐标方程; （2）求直线l被曲线C所截得的弦长.

24.（本题满分10分）

选修4－5：不等式选讲

函数f(x)|x1||x2|

（1）画出函数yf(x)的图象；

4).

（2）若不等式|ab||ab||a|f(x)(a0,a,bR)恒成立，求实数x的范围.

高三第四次四校联考理科数学答案

1-5. CBADD 6-10. ABCAC 11-12. BA

13.79 14.

432 15.

221603 16.12cosA1,1 217.解：（1）因为cosAsinA12bca2bc,bcbca222,即tanA12cosA,

---------------3分

6或56又0A,A -------------------5分

2sin(x（2）由（1）得： f(x)sinxcosx由题可得g(x)令2x2sin(2x4）， ----------------6分

12) --------------------8分 k212k(kZ),得x24,函数yg(x)的对称中心为(k224,0)(kZ)

------------------10分

572x2k,得kxk,(kZ) 令2k2122242457,k],(kZ) ---------------12分 即函数yg(x)的单调递增区间为[k242418.解：（1）取AB的中点O，连接MO,CO,SOMOAB，平面MAB平面ABC，

MO平面ABC,又ACAB，OS//AC,OSAB,以O为坐标原点，OB为x轴，OS为y轴，OM为z轴建立空间直角坐标系， ---------------2分

1110）则C(1,1,0),M(0,0,),N(,0,0),S(0,，，

222111所以CM(1,1,),SN(,,0)，

222故CMSN0，即CMSN --------6分

111（2）由（1）知，CN(,1,0),NM(,0,), -----------------8分

222设平面CMN的法向量为1yxCNn0n(x,y,z),则，得2,令x2,

zxMNn0则得平面CMN的一个法向量为则cosn,SN22n(2,1,2) ---------------10分

，所以SN与平面SMN所成角为1030134 ------------------12分

19.解：（1）根据茎叶图，有“运动健将”12人，“运动积极分子”18人------------1分 用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率为积极分子有1813，所以选中的运动健将有12134人，运动

6人 -----------------3分

设事件A：至少有1名‘运动健将’被选中，则P(A)1C64C10411141314

-----------5分 （2）由茎叶图知男“运动健将有”8人，女“运动健将”有4人，故的取值为0,1,2,3 ------------7分

P(0)C8C33121455,P(1)C8C4C312212855,P(2)C8C4C312121255,P(3)C4C3312155

----------9分

的分布列为：

 P 0 14551 28552 12553 155 ---------------10分

E01455128552125531551 -------------- 12分

20. 解：（1）设椭圆的焦距为2c，因为离心率为--------------2分

设椭圆方程为

x2222，()ac212，所以a22c2,b2c2

2c2yc221,又点Q(1,222)在椭圆上，c1--------------3分

22（2）由已知直线AB的斜率存在，设AB的方程为：yk(x2)

yk(x2)2222由x2 得(12k)x8kx8k20 2y1264k4(12k)(8k2)0，得：k4222所以椭圆方程为

xy1 --------------4分

12，即k(2222,222) -------6分

设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y)， x1x28k12k1t,x1x28k2212k

OAOBtOP,(x1x2,y1y2)t(x,y)，显然k0时t0；当t0时， xx1x2t8k22t(12k)，yy1y2t8k2k(x1x2)4k4kt(12k)2-------8分

因为点P在直线xy10上所以即t8k24kt(12k)2t(12k)k112k2210

4k212k44(k1)12k24(1) ------9分

因为

k112k622k12(k1)4(k1)3212(k1)3k141264（当且仅当

264 -------11分

k（因为k(1时取等号）

22,22)）t4426

综上：tmin26 -------12分

21解：（1）当a0时,f(x)xlnxx1

由f'(x)lnx，则kf(e)1,f(e)1 ---------3分

函数f(x)在点P(e,f(e))处的切线方程 为y1(xe) 即xy1e0 ---------4分 (2)f(x)2ax1lnx(2a1)2a(x1)lnx ---------5分 易知，lnxx1，则f'(x)2a(x1)(x1)(2a1)(x1) 当2a10即a12时，由x1,得f(x)0恒成立，

12f(x)在1,上单调递增， f(x)f1)0符合题意。所以a ---------7分

当a0时，由x1,得f(x)0恒成立，f(x)在1,上单调递减，

f(x)f1)0显然不成立，a0舍去。 ---------8分 当0a12xx1x1')(2ax1) 则f(x)2a(x1)(1)(xx1时，由lnxx1，得ln111即lnx11x

11。x1,时，f(x)0恒成立， 22a2a1f(x)在1,上单调递减，f(x)f1)0显然不成立，0a舍去。---------11分

2因为0a，所以

1综上可得:a, ---------12分

222. 解：（1）连接BE，则BEEC ----------------1分

又D是BC的中点，所以DEBD ----------------3分

又OEOB,ODOD，所以ODEODB，所以OBDOED90

故D,E,O,B四点共圆. -------------5分(2) 延长

DO交圆于点H，DE212DMDHDM(DOOH)DMDODMOH

------------8分

DEDM(12AC)DM(12AB)，即2DE2DMACDMAB--------10分

www.zgxzw.com 中国校长网 23. 解：(1) 由2sin(4)得：cossin

两边同乘以得：2cossin -------------3分 ∴x2y2xy0 即 (x12)(y212)212 -----------5分

（2）将直线参数方程代入圆C的方程得：5t221t200 ------------6分 t1t2215,t1t24 ------------8分

|MN|t1t2(t1t2)4t1t22415 ------------10分

y

2x3 (x2)24．解：(1)f(x)1 (1x2) 32x (x1)1 1 |ab||abO |(2) 由ababaf(x) 得f(x) |a|---------5分

2 x 又因为

|ab||ab||a||abab||a|12x2 则有2f(x)--------8分

--------10分

解不等式2x1x2， 得

52

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