一题多解和一解多题

一　教学经纬ｚ　Ｇ　ＸＵ　ＥＬＩ　ＫＥ一￣　在中学数学教学中，很多学生在思考问题时脑子　经常放不开，跳不出条条框框的束缚，不是围着书本　和教师转，就是陷入题海之中，得不到主动发展，这对　培养学生创造性的思维品质会带来很大的消极作用．　因此，教师要引导学生的思维由封闭状态逐步转化到　开放状态，应当提倡立体思维，也就是多角度、多层次　地思维，引导学生思考问题应多方面进行，既可开阔　学生的思路，又能得到新的启发．　就数学科教学而言，解题教学是必不可少的重要　环节，我在实践中体会到，一题多解与一解多题，是培　养学生创造性的思维品质、形成创新意识的有效途　径．　一、一题多解　这是在数学教学中培养学生思维的广阔性方面　常用的途经，也是切实可行性的方法．　在例题教学中，通过典型例题引导学生开阔思　路，诱导学生积极思维，对各种解法的安排由难到易、　由繁杂到简单、由笨拙到巧妙，这样不仅使学生越听　越爱听，更主要的是学生从中看出解题时的思维之变　化、发展和深化的过程．　主　芬　誉　ａ　牙　学美的真谛．以“椭圆的标准方程”教学为例．①作图：　１．遵循实事求是的原则　用一根细线和两图钉作为工具，在动态运作中展现出　我们要充分考虑现时期职高生的心理结构和知　椭圆的图形．这图形既是动态的美，同时又是那么对　识接受能力，根据不同学生的知识层面科学的制定教　称和谐．②方程的推导：利用椭圆的对称美恰当的建　学目标，安排合适的教学内容．对不同专业的学生，教　立直角坐标系，在方程的推导中更是引入神奇的　学知识面以及数学文化的渗透侧重点应各有不同．如　ｂ　一ｎ　一ｃ。，使得繁杂的方程变成　＋　一１．多么的　对计算机专业的学生多注意理性思维的培养．有点有　面，真正做到因材施教．　简洁、和谐、优美！最后结束时做实验：用一厚纸卷成　２．遵循主动参与的原则　圆筒状后斜割．学生观察截面是椭圆；而拆开圆筒，切　还课堂给学生，还问题的发现权给学生．把学习　Ｅｌ形成的却是正弦曲线．多么的奇妙！这美妙的意境　的主动权交给学生．让学生亲身实践，自主了解知识　充分激发学生的学习兴趣，积极主动地参与知识的探　的来龙去脉．引导学生全面参与知识的探索．对于问　索，同时也提高美的鉴赏力．　题，不是告知结果．而是耐心引导学生找出知识的前　２．加强合作交流，构建以人为本的学生观　后联系，理清脉络．课堂上采取丰富形式调动学生参　课堂是人性化教育实施的场所，是师生交流互动　与学习的积极性．如采用问题的教学．合理设置问题　的舞台．有了数学文化渗透下的学习“内”环境，还要　悬念，激发求知欲望；课堂上，采用直观教具和多媒体　有宽松、和谐、开放的学习“外”环境．我们要建立民主　手段，化抽象为直观，引导学生观察与联想．多让学生　平等的师生关系，以人为本的学生观．发挥表扬激励　参与操作实践．让学生在动态的学习中训练技能技　功能，发现学生的闪光点．当学生遇上困难应给予情　巧，锻炼解决实际问题的能力．　感支持和鼓励．激发求知的欲望．指导学生自主合作　遵循学生的心理特点和认知规律，以知识为载　学习，让学生在交流合作中相互激活思维，相互带动，　体，重视数学蕴涵的独特价值，提升学生的数学素养．　共同进步．　日有所得，循序渐进．新数学课程标准指出：“人人学　三、坚持两个原则优化课堂教学　有价值的数学，人人都获得必需的数学，不同的人在　在教学内容上注意数学文化的渗透，数学思想的　数学上得到不同的发展．”职业高中数学素质教育，任　点拨．还要注意结合学生实际，合理优化教学方法．　重而道远．　呲　教学经纬　【例１】当　一１时，二次函数，（ｚ）有最小值１；　若把，（ｚ）的图象向下移动３个单位，此时函数的图　象与　轴相交，并截得　轴上的一段线段长为４个单　位；求函数－厂（　）的解析式．首先让学生认识到图象　移动前后所对应的两个函数，（　）、ｇ（　）之间的关系　为＿厂（ｚ）一ｇ（　）＋３．其次引导学生具体分析函数　ｇ（ｚ）所满足的三个条件，并从中探索解题的方法．方　法一，如果三个条件理解为图象过三点（１，一２），　（一１，Ｏ），（３，Ｏ），由　—ｇ（ｚ）＝ａｘ。＋　＋ｃ，求出口，ｂ，　取值范围．最后解得　＞一０．５．引导学生能认识到　三种方法的共同特点是力求排除绝对值的记号，把　不会解的不等式转化为会解的不等式这个转化的思　想．　二、一解多题　也就是一法多用，运用解题思路，改变题目的条　件或结论，使所学方法得到广泛的应用，而不限制在　一个小范围内、就事论事式的解题．题目的安排由简　单到复杂，由基础到综合，题题深人．例如，求　＋　４／ｚ。的最小值．利用平均值定理可得：当ｚ：２时，有　ｃ；方法二，如果理解为图象是抛物线，其顶点是（１，　２），且过点（一１，０），由－ｙ—ｇ（　）一ａ（－ｚ一１）　一２，求　最小值４．同样的思路与方法，只要稍作处理，就可解　下列各题：①若ｘ＞Ｏ，求ｚ＋４　的最小值；②若ｚ＜　Ｏ，求　＋４／ｘ的最大值；③若ｘ＞Ｏ，证明　＋４／　。≥　３；又如，在圆ｚ　＋ｙ　一１６上有动点Ｐ，圆内有点Ａ　（一２，０），求线段ＡＰ中点Ｑ的轨迹方程．利用中点坐　标公式可以推导出点Ｑ的轨迹方程（　＋１）。＋ｙ。一　４．利用同样的思路和方法，可解下列各题：①把条件　中的“圆”改为椭圆、双曲线、抛物线；②把条件“圆内　有一定点”改为圆外或圆上有定点；③把结论“中点Ｑ　的轨迹”改为把线段ＡＰ分成比为　的分点Ｑ的轨迹　方程．　出ｎ；方法三，如果理解为方程ｇ（ｘ）一０的两个根为　１，３，且函数　—ｇ（　）的图象过点（１，２），由Ｙ—　ｇ（ｚ）一口（　＋１）（　一３），求出ａ．最后可解得厂（ｚ）一　０．５ｘ　一　＋ｌ＿５．从二次函数ｇ（ｚ）的三种形式的解析　式，引导学生理解与掌握待定系数法这一数学方法，　而不停留在单纯的解题上．　在解题训练时要求学生不能仅满足于一种解法，　鼓励他们进一步思考其他解法．通过讨论与交流，从　中鉴别各种方法的作用与最佳方法，并通过各种方法　引导学生认识解题的核心问题与共同本质．我有时宁　可让学生少做些题，但要求用两种甚至两种以上的方　法做好某些题．　通过这种变换和转化，所学方法可得到广泛应　用，做一题，带动一大片．并引导学生参与变题的活　动，让学生学会“变”的思想，从数学的变换中培养自　己的发散思维，逐步养成以一题多变的练习方式取代　在题海中的盲目多练．　【例２】解不等式ｌ　Ｉ＜ｌ　ｚ＋１　Ｉ．启发学生　用下列方法解题：①可在数轴上分三段或讨论，　＜　一１或一１≤　≤Ｏ或ｘ＞Ｏ讨论，根据符号的变化取　消绝对值记号；②利用不等式的性质，对原不等式两　长期坚持一题多解和一解多题的有机配合，有利　于学生创新意识的培养，从而逐步形成初步的创造能　力．　边平方；③利用两个函数　—Ｉ　ｌ，　—ｌ　＋ｌ　Ｉ的　图像的相关位置，确定满足原不等式的自变量　的