一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分。下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的） 1．（4.00分）下列计算A．4
B．3
C．2
﹣ D．
的结果是（ ）
2．（4.00分）下列对一元二次方程x2+x﹣3=0根的情况的判断，正确的是（ ） A．有两个不相等实数根 C．有且只有一个实数根
B．有两个相等实数根 D．没有实数根
3．（4.00分）下列对二次函数y=x2﹣x的图象的描述，正确的是（ ） A．开口向下 C．经过原点
B．对称轴是y轴
D．在对称轴右侧部分是下降的
4．（4.00分）据统计，某住宅楼30户居民五月份最后一周每天实行垃圾分类的户数依次是：27，30，29，25，26，28，29，那么这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．25和30 B．25和29 C．28和30 D．28和29
5．（4.00分）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（ ）
A．∠A=∠B B．∠A=∠C C．AC=BD D．AB⊥BC
6．（4.00分）如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是（ ）
A．5＜OB＜9 B．4＜OB＜9
C．3＜OB＜7 D．2＜OB＜7
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．（4.00分）﹣8的立方根是 ． 8．（4.00分）计算：（a+1）2﹣a2= ． 9．（4.00分）方程组
的解是 ．
10．（4.00分）某商品原价为a元，如果按原价的八折销售，那么售价是 元．（用含字母a的代数式表示）． 11．（4.00分）已知反比例函数y=象限，那么k的取值范围是 ．
12．（4.00分）某校学生自主建立了一个学习用品义卖平台，已知九年级200名学生义卖所得金额的频数分布直方图如图所示，那么20﹣30元这个小组的组频率是 ．
（k是常数，k≠1）的图象有一支在第二
13．（4.00分）从，π，率为 ．
这三个数中选一个数，选出的这个数是无理数的概
14．（4.00分）如果一次函数y=kx+3（k是常数，k≠0）的图象经过点（1，0），那么y的值随x的增大而 ．（填“增大”或“减小”）
15．（4.00分）如图，已知平行四边形ABCD，E是边BC的中点，联结DE并延长，与AB的延长线交于点F．设
=，=那么向量
用向量、表示为 ．
16．（4.00分）通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题．如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是 度．
17．（4.00分）如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是 ．
18．（4.00分）对于一个位置确定的图形，如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上，且该图形与矩形的每条边都至少有一个公共点（如图1），那么这个矩形水平方向的边长称为该图形的宽，铅锤方向的边长称为该矩形的高．如图2，菱形ABCD的边长为1，边AB水平放置．如果该菱形的高是宽的，那么它的宽的值是 ．
三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（10.00分）解不等式组：
，并把解集在数轴上表示出来．
20．（10.00分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中a=．
21．（10.00分）如图，已知△ABC中，AB=BC=5，tan∠ABC=． （1）求边AC的长；
（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．
22．（10.00分）一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． （1）求y关于x的函数关系式；（不需要写定义域）
（2）已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？
23．（12.00分）已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F． （1）求证：EF=AE﹣BE； （2）联结BF，如课
=
．求证：EF=EP．
24．（12.00分）在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处． （1）求这条抛物线的表达式；
（2）求线段CD的长；
（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．
25．（14.00分）已知⊙O的直径AB=2，弦AC与弦BD交于点E．且OD⊥AC，垂足为点F．
（1）如图1，如果AC=BD，求弦AC的长；
（2）如图2，如果E为弦BD的中点，求∠ABD的余切值；
（3）联结BC、CD、DA，如果BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边，求△ACD的面积．
2018年上海市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分。下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的） 1．（4.00分）下列计算A．4
B．3
C．2
﹣ D．
的结果是（ ）
【分析】先化简，再合并同类项即可求解． 【解答】解：=3=2
﹣．
﹣
故选：C．
2．（4.00分）下列对一元二次方程x2+x﹣3=0根的情况的判断，正确的是（ ） A．有两个不相等实数根 C．有且只有一个实数根
B．有两个相等实数根 D．没有实数根
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=13＞0，进而即可得出方程x2+x﹣3=0有两个不相等的实数根． 【解答】解：∵a=1，b=1，c=﹣3，
∴△=b2﹣4ac=12﹣4×（1）×（﹣3）=13＞0， ∴方程x2+x﹣3=0有两个不相等的实数根． 故选：A．
3．（4.00分）下列对二次函数y=x2﹣x的图象的描述，正确的是（ ） A．开口向下 C．经过原点
B．对称轴是y轴
D．在对称轴右侧部分是下降的
【分析】A、由a=1＞0，可得出抛物线开口向上，选项A不正确；
B、根据二次函数的性质可得出抛物线的对称轴为直线x=，选项B不正确；
C、代入x=0求出y值，由此可得出抛物线经过原点，选项C正确；
D、由a=1＞0及抛物线对称轴为直线x=，利用二次函数的性质，可得出当x＞时，y随x值的增大而增大，选项D不正确． 综上即可得出结论．
【解答】解：A、∵a=1＞0， ∴抛物线开口向上，选项A不正确； B、∵﹣
=，
∴抛物线的对称轴为直线x=，选项B不正确； C、当x=0时，y=x2﹣x=0， ∴抛物线经过原点，选项C正确；
D、∵a＞0，抛物线的对称轴为直线x=，
∴当x＞时，y随x值的增大而增大，选项D不正确． 故选：C．
4．（4.00分）据统计，某住宅楼30户居民五月份最后一周每天实行垃圾分类的户数依次是：27，30，29，25，26，28，29，那么这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．25和30 B．25和29 C．28和30 D．28和29 【分析】根据中位数和众数的概念解答．
【解答】解：对这组数据重新排列顺序得，25，26，27，28，29，29，30， 处于最中间是数是28， ∴这组数据的中位数是28，
在这组数据中，29出现的次数最多， ∴这组数据的众数是29， 故选：D．
5．（4.00分）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为
矩形的是（ ）
A．∠A=∠B B．∠A=∠C C．AC=BD D．AB⊥BC 【分析】由矩形的判定方法即可得出答案．
【解答】解：A、∠A=∠B，∠A+∠B=180°，所以∠A=∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；
B、∠A=∠C不能判定这个平行四边形为矩形，错误；
C、AC=BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确； D、AB⊥BC，所以∠B=90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确； 故选：B．
6．（4.00分）如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是（ ）
A．5＜OB＜9 B．4＜OB＜9 C．3＜OB＜7 D．2＜OB＜7
【分析】作半径AD，根据直角三角形30度角的性质得：OA=4，再确认⊙B与⊙A相切时，OB的长，可得结论．
【解答】解：设⊙A与直线OP相切时切点为D，连接AD， ∴AD⊥OP， ∵∠O=30°，AD=2， ∴OA=4，
当⊙B与⊙A相内切时，设切点为C，如图1， ∵BC=3，
∴OB=OA+AB=4+3﹣2=5；
当⊙A与⊙B相外切时，设切点为E，如图2， ∴OB=OA+AB=4+2+3=9，
∴半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是：5＜OB＜9， 故选：A．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．（4.00分）﹣8的立方根是 ﹣2 ． 【分析】利用立方根的定义即可求解． 【解答】解：∵（﹣2）3=﹣8， ∴﹣8的立方根是﹣2． 故答案为：﹣2．
8．（4.00分）计算：（a+1）2﹣a2= 2a+1 ．
【分析】原式利用完全平方公式化简，合并即可得到结果． 【解答】解：原式=a2+2a+1﹣a2=2a+1， 故答案为：2a+1
9．（4.00分）方程组
的解是 ， ．
【分析】方程组中的两个方程相加，即可得出一个一元二次方程，求出方程的解，再代入求出y即可．
【解答】解：②+①得：x2+x=2， 解得：x=﹣2或1，
把x=﹣2代入①得：y=﹣2， 把x=1代入①得：y=1， 所以原方程组的解为
，
，
故答案为：
，．
10．（4.00分）某商品原价为a元，如果按原价的八折销售，那么售价是 0.8a 元．（用含字母a的代数式表示）． 【分析】根据实际售价=原价×
即可得．
【解答】解：根据题意知售价为0.8a元， 故答案为：0.8a．
11．（4.00分）已知反比例函数y=
（k是常数，k≠1）的图象有一支在第二
象限，那么k的取值范围是 k＜1 ． 【分析】由于在反比例函数y=k的取值范围即可．
【解答】解：∵反比例函数y=∴k﹣1＜0， 解得k＜1． 故答案为：k＜1．
12．（4.00分）某校学生自主建立了一个学习用品义卖平台，已知九年级200名学生义卖所得金额的频数分布直方图如图所示，那么20﹣30元这个小组的组频
的图象有一支在第二象限，
的图象有一支在第二象限，故k﹣1＜0，求出
率是 0.25 ．
【分析】根据“频率=频数÷总数”即可得．
【解答】解：20﹣30元这个小组的组频率是50÷200=0.25， 故答案为：0.25．
13．（4.00分）从，π，率为
．
共2种情况，
这三个数中选一个数，选出的这个数是无理数的概
【分析】由题意可得共有3种等可能的结果，其中无理数有π、则可利用概率公式求解． 【解答】解：∵在，π，
这三个数中，无理数有π，
这2个，
∴选出的这个数是无理数的概率为， 故答案为：．
14．（4.00分）如果一次函数y=kx+3（k是常数，k≠0）的图象经过点（1，0），那么y的值随x的增大而 减小 ．（填“增大”或“减小”）
【分析】根据点的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征可求出k值，再利用一次函数的性质即可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y=kx+3（k是常数，k≠0）的图象经过点（1，0）， ∴0=k+3， ∴k=﹣3，
∴y的值随x的增大而减小． 故答案为：减小．
15．（4.00分）如图，已知平行四边形ABCD，E是边BC的中点，联结DE并延长，与AB的延长线交于点F．设
=，=那么向量
用向量、表示为 +2 ．
【分析】根据平行四边形的判定与性质得到四边形DBFC是平行四边形，则DC=BF，故AF=2AB=2DC，结合三角形法则进行解答． 【解答】解：如图，连接BD，FC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB，DC=AB． ∴△DCE∽△FBE． 又E是边BC的中点， ∴
=
=，
∴EC=BE，即点E是DF的中点， ∴四边形DBFC是平行四边形， ∴DC=BF，故AF=2AB=2DC， ∴
=
+
=
+2
=+2．
故答案是：+2．
16．（4.00分）通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角形内角和问题．如果从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，那么该多边形的内角和是 540 度．
【分析】利根据题意得到2条对角线将多边形分割为3个三角形，然后根据三角形内角和可计算出该多边形的内角和．
【解答】解：从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有2条，则将多边形分割为3个三角形．
所以该多边形的内角和是3×180°=540°． 故答案为540．
17．（4.00分）如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是
．
【分析】作AH⊥BC于H，交GF于M，如图，先利用三角形面积公式计算出AH=3，设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=3﹣x，再证明△AGF∽△ABC，则根据相似三角形的性质得=
，然后解关于x的方程即可．
【解答】解：作AH⊥BC于H，交GF于M，如图， ∵△ABC的面积是6， ∴BC•AH=6， ∴AH=
=3，
设正方形DEFG的边长为x，则GF=x，MH=x，AM=3﹣x， ∵GF∥BC， ∴△AGF∽△ABC， ∴
=
，即=
，解得x=
．
，
即正方形DEFG的边长为故答案为
．
18．（4.00分）对于一个位置确定的图形，如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上，且该图形与矩形的每条边都至少有一个公共点（如图1），那么这个矩形水平方向的边长称为该图形的宽，铅锤方向的边长称为该矩形的高．如图2，菱形ABCD的边长为1，边AB水平放置．如果该菱形的高是宽的，那么它的宽的值是
．
【分析】先根据要求画图，设矩形的宽AF=x，则CF=x，根据勾股定理列方程可得结论．
【解答】解：在菱形上建立如图所示的矩形EAFC， 设AF=x，则CF=x，
在Rt△CBF中，CB=1，BF=x﹣1， 由勾股定理得：BC2=BF2+CF2，
，
解得：x=
或0（舍），
，
即它的宽的值是故答案为：
．
三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（10.00分）解不等式组：
，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集． 【解答】解：
解不等式①得：x＞﹣1， 解不等式②得：x≤3，
则不等式组的解集是：﹣1＜x≤3，
不等式组的解集在数轴上表示为：
20．（10.00分）先化简，再求值：（
﹣
）÷
，其中a=
．
【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．
【解答】解：原式=[==当a=原式=
， 时，
=
=5﹣2
．
•
﹣]÷
21．（10.00分）如图，已知△ABC中，AB=BC=5，tan∠ABC=． （1）求边AC的长；
（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求
的值．
【分析】（1）过A作AE⊥BC，在直角三角形ABE中，利用锐角三角函数定义求出AC的长即可；
（2）由DF垂直平分BC，求出BF的长，利用锐角三角函数定义求出DF的长，利用勾股定理求出BD的长，进而求出AD的长，即可求出所求． 【解答】解：（1）作A作AE⊥BC， 在Rt△ABE中，tan∠ABC=∴AE=3，BE=4， ∴CE=BC﹣BE=5﹣4=1，
在Rt△AEC中，根据勾股定理得：AC=（2）∵DF垂直平分BC， ∴BD=CD，BF=CF=， ∵tan∠DBF=∴DF=
，
=
，
=，
=
；
=，AB=5，
在Rt△BFD中，根据勾股定理得：BD=∴AD=5﹣则
=．
=
，
22．（10.00分）一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y（升）与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． （1）求y关于x的函数关系式；（不需要写定义域）
（2）已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？
【分析】根据函数图象中点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征即可求出剩余油量为5升时行驶的路程，此题得解．
【解答】解：（1）设该一次函数解析式为y=kx+b， 将（150，45）、（0，60）代入y=kx+b中，
，解得：
∴该一次函数解析式为y=﹣（2）当y=﹣解得x=520．
即行驶520千米时，油箱中的剩余油量为8升． 530﹣520=10千米，
油箱中的剩余油量为8升时，距离加油站10千米．
x+60=8时，
， x+60．
∴在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是10千米．
23．（12.00分）已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F． （1）求证：EF=AE﹣BE； （2）联结BF，如课
=
．求证：EF=EP．
【分析】（1）利用正方形的性质得AB=AD，∠BAD=90°，根据等角的余角相等得到∠1=∠3，则可判断△ABE≌△DAF，则BE=AF，然后利用等线段代换可得到结论； （2）利用
=
和AF=BE得到
=
，则可判定Rt△BEF∽Rt△DFA，所以∠4=
∠3，再证明∠4=∠5，然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=AD，∠BAD=90°， ∵BE⊥AP，DF⊥AP， ∴∠BEA=∠AFD=90°，
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠3， 在△ABE和△DAF中
，
∴△ABE≌△DAF， ∴BE=AF，
∴EF=AE﹣AF=AE﹣BE； （2）如图，∵
=
，
而AF=BE， ∴∴
==
， ，
∴Rt△BEF∽Rt△DFA， ∴∠4=∠3， 而∠1=∠3， ∴∠4=∠1， ∵∠5=∠1， ∴∠4=∠5， 即BE平分∠FBP， 而BE⊥EP， ∴EF=EP．
24．（12.00分）在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处． （1）求这条抛物线的表达式； （2）求线段CD的长；
（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）利用配方法得到y=﹣（x﹣2）2+，则根据二次函数的性质得到C点坐标和抛物线的对称轴为直线x=2，如图，设CD=t，则D（2，﹣t），根据旋转性质得∠PDC=90°，DP=DC=t，则P（2+t，﹣t），然后把P（2+t，﹣t）代入y=﹣x2+2x+得到关于t的方程，从而解方程可得到CD的长；
（3）P点坐标为（4，），D点坐标为（2，），利用抛物线的平移规律确定E点坐标为（2，﹣2），设M（0，m），当m＞0时，利用梯形面积公式得到•（m++2）•2=8当m＜0时，利用梯形面积公式得到•（﹣m++2）•2=8，然后分别解方程求出m即可得到对应的M点坐标．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0）和点B（0，）代入y=﹣x2+bx+c得，
解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+； （2）∵y=﹣（x﹣2）2+，
∴C（2，），抛物线的对称轴为直线x=2， 如图，设CD=t，则D（2，﹣t），
∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处， ∴∠PDC=90°，DP=DC=t， ∴P（2+t，﹣t），
把P（2+t，﹣t）代入y=﹣x2+2x+得﹣（2+t）2+2（2+t）+=﹣t， 整理得t2﹣2t=0，解得t1=0（舍去），t2=2， ∴线段CD的长为2；
（3）P点坐标为（4，），D点坐标为（2，）， ∵抛物线平移，使其顶点C（2，）移到原点O的位置， ∴抛物线向左平移2个单位，向下平移个单位，
而P点（4，）向左平移2个单位，向下平移个单位得到点E， ∴E点坐标为（2，﹣2）， 设M（0，m），
当m＞0时，•（m++2）•2=8，解得m=，此时M点坐标为（0，）； 当m＜0时，•（﹣m++2）•2=8，解得m=﹣，此时M点坐标为（0，﹣）； 综上所述，M点的坐标为（0，）或（0，﹣）．
25．（14.00分）已知⊙O的直径AB=2，弦AC与弦BD交于点E．且OD⊥AC，垂足为点F．
（1）如图1，如果AC=BD，求弦AC的长；
（2）如图2，如果E为弦BD的中点，求∠ABD的余切值；
（3）联结BC、CD、DA，如果BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内
接正（n+4）边形的一边，求△ACD的面积． 【分析】（1）由AC=BD知而得案；
（2）连接BC，设OF=t，证OF为△ABC中位线及△DEF≌△BEC得BC=DF=2t，由DF=1﹣t可得t=，即可知BC=DF=，继而求得EF=AC=义可得答案；
（3）先求出BC、CD、AD所对圆心角度数，从而求得BC=AD=而根据三角形面积公式计算可得． 【解答】解：（1）∵OD⊥AC， ∴
=
，∠AFO=90°，
、OF=
，从
，由余切函数定
=
=
+
=
+
，得
=
，根据OD⊥AC知
=
，从
，即可知∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，利用AF=AOsin∠AOF可得答
又∵AC=BD， ∴∴∴
===
，即， =
，
+
=
+
，
∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°， ∵AB=2， ∴AO=BO=1， ∴AF=AOsin∠AOF=1×则AC=2AF=
=，
；
（2）如图1，连接BC，
∵AB为直径，OD⊥AC， ∴∠AFO=∠C=90°， ∴OD∥BC， ∴∠D=∠EBC，
∵DE=BE、∠DEF=∠BEC， ∴△DEF≌△BEC（ASA）， ∴BC=DF、EC=EF， 又∵AO=OB，
∴OF是△ABC的中位线， 设OF=t，则BC=DF=2t， ∵DF=DO﹣OF=1﹣t， ∴1﹣t=2t， 解得：t=， 则DF=BC=、AC=∴EF=FC=AC=∵OB=OD， ∴∠ABD=∠D，
，
=
=
，
则cot∠ABD=cot∠D===；
（3）如图2，
∵BC是⊙O的内接正n边形的一边，CD是⊙O的内接正（n+4）边形的一边， ∴∠BOC=
、∠AOD=∠COD=
，
则+2×=180，
解得：n=4，
∴∠BOC=90°、∠AOD=∠COD=45°， ∴BC=AC=
，
∵∠AFO=90°， ∴OF=AOcos∠AOF=则DF=OD﹣OF=1﹣∴S△ACD=AC•DF=×
， ， ×（1﹣
）=
．
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