小学奥数 斐波那契数列典型例题

拓展目标：

一：周期问题的解决方法

（1）找出排列规律，确定排列周期。 （2）确定排列周期后，用总数除以周期。

①如果没有余数，正好有整数个周期，那么结果为周期里的最后一个

② 如果有余数，即比整数个周期多n个，那么结果为下一个周期的第n个。 例1：

（1）1，2，1，2，1，2，…那么第18个数是多少？ 这个数列的周期是2，1829，所以第18个数是2． （2）1，2，3，1，2，3，1，2，3，…那么第16个数是多少？

这个数列的周期是3，16351，所以第16个数是1． 二：斐波那契数列

斐波那契是意大利中世纪著名的数学家，他曾提出这样一个有趣的有关兔子的问题：

假设一对刚出生的小兔，一个月后就能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，并且此后每个月都生一对小兔。一年内没有发生死亡。那么，由一对刚出生的兔子开始，12个月后会有多少对兔子呢？

1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 1 1 斐波那契数列（兔子数列）

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, … 你看出是什么规律： 。

【前两项等于1，而从第三项起，每一项是其前两项之和，则称该数列为斐波那契数列】

【巩固】

（1）2，2，4，6，10，16，（ ），（ ） （2）34，21，13，8，5，（ ），2，（ ）

例1：有一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34…..这个有趣的“兔子”数列，在前120个数中有 个偶数？ 个奇数？第2004个数是 数（奇或偶）？

【解析】 120÷3=40 2004÷3=668

【巩固】有一列数按1、1、2、3、5、8、13、21、34……的顺序排列，第500个数是奇数还是偶数？

例2：（10秒钟算出结果！）

（1）1+1+2+3+5+8+13+21+34+55=

（2）1+2+3+5+8+13+21+34+55+89=

数学家发现：连续 10个斐波那契数之和，必定等于第 7个数的 11 倍！

巩固：34+55+89+144+233+377+610+987+1597+2584==

例3： 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, … （1）这列数中第2013个数的个位数字是几？ 分析：相加，只管个位,发现60个数一循环

个位数

F1 - F30:1 1 2 3 5 8 3 1 4 5 9 4 3 7 0 7 7 4 1 5 6 1 7 8 5 3 8 1 9 0

F31-F60:9 9 8 7 5 2 7 9 6 5 1 6 7 3 0 3 3 6 9 5 4 9 3 2 5 7 2 9 1 0

F61-F81:1 1 2 3 5 8 3 1 4 5 9 4 3 7 0 7 7 4 1 5 6

2013 = 60*33 + 33,第33个个位为8

巩固：这列数中第2003个数的个位数字是几？

（2）这列数中第2003个数除以5的余数是几？ 这个数列中的每一项除以5的余数 数列 余数 数89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765 1 1 2 3 0 3 3 1 4 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 列 余数 数10946 17711 28657 46368 列 余数 规律：发现20个数一循环、

1 1 2 3 4 4 3 2 0 2 2 4 1 0