高一数学知识点总结

必修一 一、集合

一、集合有关概念 1. 集合的含义

2. 集合的中元素的三个特性：

(1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集

合

3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,

大西洋,印度洋,北冰洋}

(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队

员},B={1,2,3,4,5}

(2)集合的表示方法：列举法与描述法。  注意：常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集） 记作：N

正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R

1）列举法：{a,b,c……}

2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大

括号内表示集合的方法。{xR| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图:

4、集合的分类：

(1)有限集 含有有限个元素的集合 (2)无限集 含有无限个元素的集合

(3)空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=－5｝

二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集

注意：AB有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与

B是同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作

B或BA A2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)

实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”

即：① 任何一个集合是它本身的子集。AA

②真子集:如果AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)

③如果 AB, BC ,那么 AC ④ 如果AB 同时 BA 那么A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。

 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集

二、函数

1、函数定义域、值域求法综合

2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略 3、恒成立问题的求解策略 4、反函数的几种题型及方法

5、二次函数根的问题——一题多解 &指数函数y=a^x

a^a*a^b=a^a+b(a>0,a、b属于Q) (a^a)^b=a^ab(a>0,a、b属于Q) (ab)^a=a^a*b^a(a>0,a、b属于Q) 指数函数对称规律：

1、函数y=a^x与y=a^-x关于y轴对称 2、函数y=a^x与y=-a^x关于x轴对称

3、函数y=a^x与y=-a^-x关于坐标原点对称 &对数函数y=loga^x

如果a0，且a1，M0，N0，那么： 1 loga(M〃N)logaM＋logaN； ○

M2 logalogaM－logaN； ○

N3 logaMnnlogaM (nR)． ○

注意：换底公式

logcbc0，b0） （a0，且a1；且c1；． logablogca幂函数y=x^a(a属于R)

1、幂函数定义：一般地，形如yx(aR)的函数称为幂函数，其中为常数． 2、幂函数性质归纳．

（1）所有的幂函数在（0，+≦）都有定义并且图象都过点（1，1）；

（2）0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,)上是增函数．特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当01时，幂函数的图象上凸； （3）0时，幂函数的图象在区间(0,)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．

方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点。 2、函数零点的意义：函数yf(x)的零点就是方程f(x)0实数根，亦即函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标。 即：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点． 3、函数零点的求法：

1 （代数法）求方程f(x)0的实数根； ○

2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函○

数yf(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 4、二次函数的零点：

二次函数yax2bxc(a0)．

（1）△＞０，方程ax2bxc0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点．

（2）△＝０，方程ax2bxc0有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．

（3）△＜０，方程ax2bxc0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点． 三、平面向量

向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量．

有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量．

单位向量：长度等于1个单位的向量． 相等向量：长度相等且方向相同的向量 &向量的运算 加法运算

AB＋BC＝AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。 已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。

对于零向量和任意向量a，有：0＋a＝a＋0＝a。 |a＋b|≤|a|＋|b|。

向量的加法满足所有的加法运算定律。

减法运算

与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，－(－a)＝a，零向量的相反向量仍然是零向量。

（1）a＋(－a)＝(－a)＋a＝0（2）a－b＝a＋(－b)。

数乘运算

实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，|λa|＝|λ||a|，当λ > 0时，λa的方向和a的方向相同，当λ < 0时，λa的方向和a的方向相反，当λ = 0时，λa = 0。 设λ、μ是实数，那么：（1）(λμ)a = λ(μa)（2）(λ μ)a = λa μa（3）λ(a ± b) = λa ± λb（4）(－λ)a =－(λa) = λ(－a)。

向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。

向量的数量积

已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cos θ叫做a与b的数量积或内积，记作a?b，θ是a与b的夹角，|a|cos θ（|b|cos θ）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影。零向量与任意向量的数量积为0。 a?b的几何意义：数量积a?b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积。

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。 四、三角函数

1、善于用“1“巧解题

2、三角问题的非三角化解题策略 3、三角函数有界性求最值解题方法 4、三角函数向量综合题例析 5、三角函数中的数学思想方法

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： 函 ycosx ytanx 数 ysinx 性

质

图象

定义域 值域 最值

R

R

xxk,k

2R

1,1

当x2k时，ymax1,1

k当x2kk时，

既无最大值也无最小

值

1；当ymax1；当x2k

2x2k2

k时，ymin1．

2

k时，ymin1．

周期性 奇偶性

2



奇函数 偶函数 奇函数

在2k,2k

22在

2k,2kk单k上是增函数；在 上是增函数；在在k,k

22调

2k,2k 3性  2k,2kk上是增函数． 22k上是减函数．

k上是减函数．

对

称

中

心对

称

中

心

对

称

中

心

对k,0k

k,0k k,0k 称2对称轴2性

对称轴xkk xkk 无对称轴

2

必修四

角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．

第二象限角的集合为k36090k360180,k

第三象限角的集合为k360180k360270,k 第四象限角的集合为k360270k360360,k 终边在x轴上的角的集合为k180,k

终边在y轴上的角的集合为k18090,k 终边在坐标轴上的角的集合为k90,k

第一象限角的集合为k360k36090,k

3、与角终边相同的角的集合为k360,k 4、已知是第几象限角，确定

n所在象限的方法：先把各象限均分n等n*份，再从x轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为终边所落在的区域．

n5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度． 口诀：奇变偶不变，符号看象限．

公式一：

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）＝sinα cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα 公式二：

设α为任意角，π α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα

公式三：

任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα

公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα

公式五：

利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα

公式六：

π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα

sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα

sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα

sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotα cot（3π/2－α）＝tanα

(以上k∈Z)

其他三角函数知识： 同角三角函数基本关系

⒈同角三角函数的基本关系式 倒数关系:

tanα •cotα＝1 sinα •cscα＝1 cosα •secα＝1 商的关系：

sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα 平方关系：

sin^2(α)＋cos^2(α)＝1 1＋tan^2(α)＝sec^2(α) 1＋cot^2(α)＝csc^2(α)

两角和差公式

⒉两角和与差的三角函数公式

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tanα＋tanβ

tan（α＋β）＝—————— 1－tanα •tanβ

tanα－tanβ

tan（α－β）＝—————— 1＋tanα •tanβ

倍角公式

⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式） sin2α＝2sinαcosα

cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)

2tanα

tan2α＝————— 1－tan^2(α)

半角公式

⒋半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）

1－cosα

sin^2(α/2)＝————— 2

1＋cosα

cos^2(α/2)＝————— 2

1－cosα

tan^2(α/2)＝————— 1＋cosα

万能公式

⒌万能公式 2tan(α/2)

sinα＝—————— 1＋tan^2(α/2)

1－tan^2(α/2)

cosα＝—————— 1＋tan^2(α/2)

2tan(α/2)

tanα＝—————— 1－tan^2(α/2)

和差化积公式

⒎三角函数的和差化积公式

α＋β α－β

sinα＋sinβ＝2sin—----•cos—--- 2 2

α＋β α－β

sinα－sinβ＝2cos—----•sin—---- 2 2

α＋β α－β

cosα＋cosβ＝2cos—-----•cos—----- 2 2

α＋β α－β

cosα－cosβ＝－2sin—-----•sin—----- 2 2

积化和差公式

⒏三角函数的积化和差公式

sinα •cosβ＝0.5[sin（α＋β）＋sin（α－β）] cosα •sinβ＝0.5[sin（α＋β）－sin（α－β）] cosα •cosβ＝0.5[cos（α＋β）＋cos（α－β）] sinα •sinβ＝－ 0.5[cos（α＋β）－cos（α－β）]