等比数列的前n项和练习含答案

时间：45分钟 满分：100分

课堂训练

1

1．在等比数列{an}(n∈N＋)中，若a1＝1，a4＝8，则该数列的前10项和为( )

1

A．2－28 1

C．2－210 【答案】 B

11－210

11133

【解析】 由a4＝a1q＝q＝8?q＝2，所以S10＝1＝2－29.

1－22．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则此数列奇数项的前n项和为( )

1

A.3(2n＋1－1) 1

C.3(22n－1) 【答案】 C

【解析】 由Sn＝2n－1知{an}是首项a1＝1，公比q＝2的等比数列． 所以奇数项构成的数列是首项为1，公比为4的等比数列． 12n

所以此数列奇数项的前n项和为 3(2－1)．

3．等比数列{an}中，a1＝1，an＝－512，Sn＝－341，则公比q＝________，n＝________.

1

B.3(2n＋1－2) 1

D.3(22n－2) 1

B．2－29 1

D．2－211

【答案】 －2 10

a1－anq1＋512q

【解析】 由Sn＝得＝－341?q＝－2，

1－q1－q再由an＝a1·qn－1?n＝10.

4．已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列． (1)求数列{an}的通项； (2)求数列{2an}的前n项和Sn.

【解析】 本题考查等差与等比数列的基本性质，第一问只需设出公差d，从而得到关于d的方程式求解，第二问直接利用等比数列前n项和公式即可求得．

1＋2d1＋8d

解：(1)由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得1＝，

1＋2d解得d＝1，d＝0(舍去)，故{an}的通项an＝1＋(n－1)×1＝n.

(2)由(1)知2an＝2n，由等比数列前n项和公式得

n

21－2n1

23n

Sn＝2＋2＋2＋…＋2＝＝2＋－2.

1－2

课后作业

一、选择题(每小题5分，共40分)

1．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于( ) A．31 C．35 【答案】 B

B．33 D．37

a11－q5a11－25

【解析】 S5＝＝＝1，

1－q1－21

∴a1＝31.

1101－2a11－q31

∴S10＝＝＝33，故选B.

1－q1－2

10

2．设f(n)＝2＋24＋27＋210＋…＋23n＋1(n∈N＋)，则f(n)等于( ) 2

A.7(8n－1) 2n＋3

C.7(8－1) 【答案】 B

【解析】 依题意，f(n)是首项为2，公比为8的等比数列的前n＋1项和，根据等比数列的求和公式可得．

3．已知等比数列的前n项和Sn＝4n＋a，则a的值等于( ) A．－4 C．0 【答案】 B

【解析】 ∵Sn＝4n＋a， ∴an＝Sn－Sn－1(n≥2) ＝4n＋a－(4n－1＋a) ＝3·4n－1(n≥2)．

当n＝1时，a1＝S1＝4＋a， 又∵{an}为等比数列，

B．－1 D．1 2

B.7(8n＋1－1) 2n＋4

D.7(8－1)

∴3×41－1＝4＋a， 解得a＝－1.

S54．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则S＝( )

2A．11 C．－8 【答案】 D

S5【解析】 设数列的公比为q，则8a1q＋a1q＝0，解得q＝－2，∴S＝

2

4

B．5 D．－11

a11－q5

1－q5＝＝－11，故选D. 22

a11－q1－q1－q1－q

2

5．(2013·新课标Ⅰ文)设首项为1，公比为3的等比数列{an}的前n项和为Sn，则( )

A．Sn＝2an－1 C．Sn＝4－3an 【答案】 D

2n22n－1

1－31－332n－1

【解析】 由题意得，an＝(3)，Sn＝＝3－2an，选2＝1

1－33D.

6．在等比数列{an}中，a9＋a10＝a(a≠0)，a19＋a20＝b，则a99＋a100等于( )

b9

A.a8

bB．(a)9 B．Sn＝3an－2 D．Sn＝3－2an

b10C.a9 【答案】 A

【解析】 由等比数列的性质知

bD．(a)10

a9＋a10，a19＋a20，…，a99＋a100成等比数列． b

且首项为a(a≠0)，公比为a. b10－1b9

∴a99＋a100＝a·(a)＝a8.

7．某商品零售价2008年比2006年上涨25%，欲控制2009年比2006年上涨10%，则2009年应比2008年降价( )

A．15% C．10% 【答案】 B

【解析】 设2006年售价为a元．则2008年售价为a(1＋25%)元，2009年售价为a(1＋10%)元．

则2009年应比2008年降价： a1＋25%－a1＋10%

＝0.12，

a1＋25%∴应降低12%，选B.

8．等比数列{an}共有2n＋1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则an＋1＝( )

6A.5 C．20

5B.6 D．110 B．12% D．5%

【答案】 B

【解析】 设公比为q，由题知：S奇＝a1·a3·…·a2n＋1＝100， S偶＝a2·a4·…·a2n＝120，

S奇a3·a5·a7·…·a2n＋11005∴＝·a1＝120＝6.

a·a·a·…·a2462nS偶

55

∴a1q＝6，即an＋1＝6，故选B.

n

二、填空题(每小题10分，共20分)

1S49．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则a＝________.

4

【答案】 15

【解析】 因为数列{an}是公比为q的等比数列，且S4＝a1＋a2＋a3＋a4

a4a4a4S4111

＝q3＋q2＋q＋a4，所以a＝q3＋q2＋q＋1＝15.

4

1

10．在等比数列{an}中，a1＝4，在前2n项中，奇数项的和为85.25，偶数项的和为170.5时，n的值为________．

【答案】 5

S偶

【解析】 由q＝，得q＝2.

S奇1n1－44341

又S奇＝＝4，∴n＝5.

1－4

三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

39

11．在等比数列{an}中，已知a3＝2，S3＝2，求a1与q.

【分析】 先检验q＝1是否满足；然后列出关于a1，q的方程组进行求解．

39339

【解析】 ∵a3＝2，S3＝2，当q＝1时，a1＝a3＝2，S3＝3a1＝3×2＝2，∴适合题意；

当q≠1时，由通项公式及前n项和公式得



a1－q9

＝2，1－q

21

3

3

a1q＝2，

a1＝6，∴1q＝－2.

31

综上知a1＝2，q＝1或a1＝6，q＝－2. 【规律方法】 解决此类问题，要抓住两个方面，一是注意对公比q的取值进行分类讨论；二是要准确利用相关公式把已知条件转化为关于a1与q的方程或方程组求解．

12．(2013·湖南文，19)设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0,2an－a1

＝S1·Sn，n∈N＋.

(1)求a1，a2，并求数列{an}的通项公式； (2)求数列{nan}的前n项和．

【分析】 (1)用赋值法求出a1、a2，再用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，求出an；(2)用错位相减法可求出{nan}的前n项和．

2【解析】 (1)令n＝1，得2a1－a1＝a1，即a1＝a21，因为a1≠0，所以a1

＝1，令n＝2，得2a2－1＝S2＝1＋a2，解得a2＝2.

当n≥2时，由2an－1＝Sn,2an－1－1＝Sn－1两式相减得2an－2an－1＝an，即

an＝2an－1，

于是数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，因此，an＝2n－1. 所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1. (2)由(1)知，nan＝n·2n－1.

记数列{n·2n－1}的前n项和为Bn，于是 Bn＝1＋2×2＋3×22＋…＋n×2n－1，① 2Bn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n.② ①－②得－Bn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n ＝2n－1－n·2n. 从而Bn＝1＋(n－1)·2n.

【规律方法】 本题主要考查了由递推公式求通项式，由an＝Sn－Sn－

1(n≥2)，求通项及错位相减法．在运用

an＝Sn－Sn－1(n≥2)时，一定别忘记

“n≥2”这一条件．在用错位相减法时别忘记把Sn的系数化为1.