沁水县实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

沁水县实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 用反证法证明命题：“已知a、b∈N*，如果ab可被5整除，那么a、b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（ ）

A．a、b都能被5整除 B．a、b都不能被5整除 C．a、b不都能被5整除 D．a不能被5整除

f(x5)x2x2． 已知函数f(x)e2x2，则f(2016)（ ）

f(x)x212A．e B．e C．1 D．

e【命题意图】本题考查分段函数的求值，意在考查分类讨论思想与计算能力．

3． 已知圆M过定点(0,1)且圆心M在抛物线x22y上运动，若x轴截圆M所得的弦为|PQ|，则弦长

|PQ|等于（ ）

A．2 B．3 C．4 D．与点位置有关的值

【命题意图】本题考查了抛物线的标准方程、圆的几何性质，对数形结合能力与逻辑推理运算能力要求较高，难度较大.

4． 在ABC中，tanAsinBtanBsinA，那么ABC一定是（ ）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 5． “x＞0”是“

＞0”成立的（ ）

B．必要非充分条件

A．充分非必要条件

22C．非充分非必要条件 D．充要条件 人的不同保送的方法数为（ ）

6． 将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学等三所大学就读，则每所大学至少保送一（A）150种 （ B ） 180 种 （C） 240 种 （D） 540 种

x2y27． 双曲线221a0,b0的左右焦点分别为F1、F2，过F2的直线与双曲线的右支交于

abA、B两点，若F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2（ ）

A．122 B．422 C．522 D．322 8． 下列关系式中正确的是（ ） A．sin11°＜cos10°＜sin168°

B．sin168°＜sin11°＜cos10°

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C．sin11°＜sin168°＜cos10° D．sin168°＜cos10°＜sin11°

9． 如图所示，程序执行后的输出结果为（ ）

A．﹣1 B．0 C．1 C．5

D．2

10．设向量，满足：||=3，||=4， =0．以，，﹣的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（ ） A．3

11．若复数z=

B．4

D．6

（其中a∈R，i是虚数单位）的实部与虚部相等，则a=（ ）

A．3 B．6 C．9 D．12

12．某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天． 甲说：我在1日和3日都有值班； 乙说：我在8日和9日都有值班；

丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是（ ） A．2日和5日

B．5日和6日

C．6日和11日 D．2日和11日

二、填空题

13．若实数a,b,c,d满足ba24lna2cd20，则acbd的最小值为 ▲ ． 14．已知含有三个实数的集合既可表示成{a,22b,1}，又可表示成{a2,ab,0}，则 aa2003b2004 .

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15．已知函数f（x）=

16．已知函数f(x)sinxa(0x恰有两个零点，则a的取值范围是 ．

5)的三个零点成等比数列，则log2a . 217．已知随机变量ξ﹣N（2，σ2），若P（ξ＞4）=0.4，则P（ξ＞0）= ．

18．下列命题：

①函数y=sinx和y=tanx在第一象限都是增函数；

②若函数f（x）在[a，b]上满足f（a）f（b）＜0，函数f（x）在（a，b）上至少有一个零点； ③数列{an}为等差数列，设数列{an}的前n项和为Sn，S10＞0，S11＜0，Sn最大值为S5； ④在△ABC中，A＞B的充要条件是cos2A＜cos2B；

⑤在线性回归分析中，线性相关系数越大，说明两个量线性相关性就越强． 其中正确命题的序号是 （把所有正确命题的序号都写上）．

三、解答题

19．在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（0，4）；B（﹣3，0），C（1，1） （1）求点C到直线AB的距离； （2）求AB边的高所在直线的方程．

20．若函数f（x）=ax（a＞0，且a≠1）在[1，2]上的最大值比最小值大，求a的值．

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21．已知数列{an}的首项a1=2，且满足an+1=2an+3•2n+1，（n∈N*）． （1）设bn=

，证明数列{bn}是等差数列；

（2）求数列{an}的前n项和Sn．

22．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|． （1）当a=3时，求不等式f（x）≥2的解集；

（2）若f（x）≥5﹣x对∀x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

23．某港口的水深y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，下面是每天时间与水深的关系表： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 10 13 9.9 7 10 13 10.1 7 10

经过长期观测，y=f（t）可近似的看成是函数y=Asinωt+b （1）根据以上数据，求出y=f（t）的解析式；

（2）若船舶航行时，水深至少要11.5米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港？

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24．已知数列{an}共有2k（k≥2，k∈Z）项，a1=1，前n项和为Sn，前n项乘积为Tn，且an+1=（a﹣1）Sn+2（n=1，2，…，2k﹣1），其中a=2（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；

（Ⅱ）若|b1﹣|+|b2﹣|+…+|b2k﹣1﹣|+|b2k﹣|≤，求k的值．

，数列{bn}满足bn=log2

，

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沁水县实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】B

【解析】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证． 命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”． 故选：B．

2． 【答案】B

【解析】f(2016)f(2016)f(54031)f(1)e，故选B． 3． 【答案】A

【解析】过M作MN垂直于x轴于N，设M(x0,y0)，则N(x0,0)，在RtMNQ中，|MN|y0，MQ为圆的半径，NQ为PQ的一半，因此

222|PQ|24|NQ|24(|MQ|2|MN|2)4[x0(y01)2y0]4(x02y01)

222又点M在抛物线上，∴x02y0，∴|PQ|4(x02y01)4，∴|PQ|2.

4． 【答案】D 【解析】

试题分析：在ABC中，tanAsinBtanBsinA，化简得

22sinAsinBsin2Bsin2A，解得 cosAcosBsinBsinAni2Asni2sinAcosAsinBcosB，即scosAcosBB，所以2A2B或2A2B，即AB或

AB2，所以三角形为等腰三角形或直角三角形，故选D．

考点：三角形形状的判定．

【方法点晴】本题主要考查了三角形形状的判定，其中解答中涉及到二倍角的正弦、余弦函数公式、以及同角三角函数基本关系的运用，其中熟练掌握三角恒等变换的公式是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答

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问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中得出sin2Asin2B，从而得到AB或AB题的一个难点，属于中档试题． 5． 【答案】A

∴“x＞0”是“但

2

2是试

＞0

【解析】解：当x＞0时，x＞0，则

＞0”成立的充分条件；

2

＞0，x＞0，时x＞0不一定成立

∴“x＞0”不是“故“x＞0”是“故选A

＞0”成立的必要条件；

＞0”成立的充分不必要条件；

【点评】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断 命题p与命题q的关系．

6． 【答案】A

【解析】5人可以分为1,1,3和1,2,2两种结果，所以每所大学至少保送一人的不同保送的方法数为

C52C323CAA3150种,故选A． 2A235337． 【答案】C 【解析】

试题分析：设

A1F则B1F2AB，mm,2AF2m,2，2因aBF2m为a21m，在直角ABAF2BF2m，所以m2a2m2am，解得4a2m，所以AF225252224a2m三角形AF中，由勾股定理得，因为，所以4c2m4cF1228a，所以

22e2522. 考点：直线与圆锥曲线位置关系．

【思路点晴】本题考查直线与圆锥曲线位置关系，考查双曲线的定义，考查解三角形.由于题目给定的条件是等腰直角三角形，就可以利用等腰直角三角形的几何性质来解题.对于圆锥曲线的小题，往往要考查圆锥曲线的定义，本题考查双曲线的定义：动点到两个定点距离之差的绝对值为常数.利用定义和解直角三角形建立方

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程，从而求出离心率的平方.111.Com]

8． 【答案】C

【解析】解：∵sin168°=sin（180°﹣12°）=sin12°， cos10°=sin（90°﹣10°）=sin80°． 又∵y=sinx在x∈[0，故选：C．

]上是增函数，

∴sin11°＜sin12°＜sin80°，即sin11°＜sin168°＜cos10°．

【点评】本题主要考查诱导公式和正弦函数的单调性的应用．关键在于转化，再利用单调性比较大小．

9． 【答案】B

【解析】解：执行程序框图，可得 n=5，s=0

满足条件s＜15，s=5，n=4 满足条件s＜15，s=9，n=3 满足条件s＜15，s=12，n=2 满足条件s＜15，s=14，n=1 满足条件s＜15，s=15，n=0 故选：B．

不满足条件s＜15，退出循环，输出n的值为0．

【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确判断退出循环时n的值是解题的关键，属于基础题．

10．【答案】B 【解析】解：∵向量ab=0，∴此三角形为直角三角形，三边长分别为3，4，5，进而可知其内切圆半径为1，

∵对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点， 对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况， 但5个以上的交点不能实现． 故选B

【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系．可采用数形结合结合的方法较为直观．

11．【答案】A

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【解析】解：复数z=由条件复数z=解得a=3． 故选：A．

==．

（其中a∈R，i是虚数单位）的实部与虚部相等，得，18﹣a=3a+6，

【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力．

12．【答案】C

【解析】解：由题意，1至12的和为78， 因为三人各自值班的日期之和相等， 所以三人各自值班的日期之和为26，

根据甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，

据此可判断丙必定值班的日期是6日和11日， 故选：C．

【点评】本题考查分析法，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．

二、填空题

13．【答案】5 【解析】

考

点：利用导数求最值

【方法点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用f′（x）＞0或f′（x）＜0求单调区间；第二步：解f′（x）＝0得两个根x1、x2；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小． 14．【答案】-1 【解析】

试题分析：由于a,2003b,1a2,ab,0，所以只能b0，a1，所以a2003b200411。 a第 9 页，共 14 页

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考点：集合相等。

15．【答案】 （﹣3，0） ．

【解析】解：由题意，a≥0时，

x＜0，y=2x3﹣ax2﹣1，y′=6x2﹣2ax＞0恒成立， f（x）在（0，+∞）上至多一个零点； x≥0，函数y=|x﹣3|+a无零点， ∴a≥0，不符合题意；

﹣3＜a＜0时，函数y=|x﹣3|+a在[0，+∞）上有两个零点，

32

函数y=2x﹣ax﹣1在（﹣∞，0）上无零点，符合题意；

a=﹣3时，函数y=|x﹣3|+a在[0，+∞）上有两个零点， 函数y=2x﹣ax﹣1在（﹣∞，0）上有零点﹣1，不符合题意；

3

2

a＜﹣3时，函数y=|x﹣3|+a在[0，+∞）上有两个零点，

32

函数y=2x﹣ax﹣1在（﹣∞，0）上有两个零点，不符合题意；

综上所述，a的取值范围是（﹣3，0）． 故答案为（﹣3，0）．

16．【答案】1 2考点：三角函数的图象与性质，等比数列的性质，对数运算．

【名师点睛】本题考查三角函数的图象与性质、等比数列的性质、对数运算法则，属中档题．把等比数列与三角函数的零点有机地结合在一起，命题立意新，同时考查数形结合基本思想以及学生的运算能力、应用新知识解决问题的能力，是一道优质题． 17．【答案】 0.6 ．

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【解析】解：随机变量ξ服从正态分布N（2，σ），

2

∴曲线关于x=2对称，

∴P（ξ＞0）=P（ξ＜4）=1﹣P（ξ＞4）=0.6， 故答案为：0.6．

【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题．

18．【答案】 ②③④⑤

【解析】解：①函数y=sinx和y=tanx在第一象限都是增函数，不正确，取x=

，

，

，但是

，因此不是单调递增函数；

②若函数f（x）在[a，b]上满足f（a）f（b）＜0，函数f（x）在（a，b）上至少有一个零点，正确； ③数列{an}为等差数列，设数列{an}的前n项和为Sn，S10＞0，S11＜0，∴

=11a6＜0，

∴a5+a6＞0，a6＜0，∴a5＞0．因此Sn最大值为S5，正确；

④在△ABC中，cos2A﹣cos2B=﹣2sin（A+B）sin（A﹣B）=2sin（A+B）sin（B﹣A）＜0⇔A＞B，因此正确；

⑤在线性回归分析中，线性相关系数越大，说明两个量线性相关性就越强，正确． 其中正确命题的序号是 ②③④⑤．

【点评】本题综合考查了三角函数的单调性、函数零点存在判定定理、等差数列的性质、两角和差化积公式、线性回归分析，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

=5（a6+a5）＞0，

三、解答题

19．【答案】 【解析】解（1）∵

∴根据直线的斜截式方程，直线AB：

，

，化成一般式为：4x﹣3y+12=0，

； ，

∴根据点到直线的距离公式，点C到直线AB的距离为

（2）由（1）得直线AB的斜率为，∴AB边的高所在直线的斜率为由直线的点斜式方程为：

∴AB边的高所在直线的方程为3x+4y﹣7=0．

，化成一般式方程为：3x+4y﹣7=0，

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20．【答案】

【解析】解：由题意可得：

∵当a＞1时，函数f（x）在区间[1，2]上单调递增，

2

∴f（2）﹣f（1）=a﹣a=a，解得a=0（舍去），或a=．

∵当 0＜a＜1时，函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，

2

∴f（1）﹣f（2）=a﹣a=

，解得a=0（舍去），或a=．

故a的值为或．

【点评】本题主要考查指数函数的单调性的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．

21．【答案】 【解析】解：（1）∵∴数列{bn}是以（2）由（1）可知∴

①

②

①﹣②得：

，

∴

．

为首项，3为公差的等差数列．

，

=

，

【点评】本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解，利用定义法和错位相减法是解决本题的关键．

22．【答案】

【解析】解：（1）a=3时，即求解|2x﹣3|+|x﹣1|≥2， ①当x≥时，不等式即2x﹣3+x﹣1≥2，解得x≥2， ②当1＜x＜时，不等式即3﹣2x+x﹣1≥2，解得x＜0． ③当x≤1时，3﹣2x+1﹣x≥2，解得2x≤2，即x≤．

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∴综上，原不等式解集为{x|x≤或x≥2}． （2）即|2x﹣a|≥5﹣x﹣|x﹣1|恒成立 令g（x）=5﹣x﹣|x﹣1|=

，

则由函数g（x）的图象可得它的最大值为4，

故函数y=|2x﹣a|的图象应该恒在函数g（x）的图象的上方， 数形结合可得≥3，

∴a≥6，即a的范围是[6，+∞）．

【点评】本题考查了绝对值不等式问题，考查函数的最值问题，是一道中档题．

23．【答案】

【解析】解：（1）由表中数据可以看到：水深最大值为13，最小值为7， ∴

=10，

且相隔9小时达到一次最大值说明周期为12， 因此故

，

， （0≤t≤24）

（2）要想船舶安全，必须深度f（t）≥11.5，即∴

，

解得：12k+1≤t≤5+12k k∈Z 又0≤t≤24

当k=0时，1≤t≤5；

当k=1时，13≤t≤17；

故船舶安全进港的时间段为（1：00﹣5：00），（13：00﹣17：00）． 注意由题中条件求出周期，最大最小值等．

24．【答案】

【解析】（本小题满分13分） 解：（1）当n=1时，a2=2a，则

；

【点评】本题主要考查三角函数知识的应用问题．解决本题的关键在于求出函数解析式．求三角函数的解析式

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当2≤n≤2k﹣1时，an+1=（a﹣1）Sn+2，an=（a﹣1）Sn﹣1+2， 所以an+1﹣an=（a﹣1）an，故

n1+2+…+（n﹣1）

=∴Tn=a1×a2×…×an=2a

=a，即数列{an}是等比数列，

，

．…

*

，

bn=（2）令当n≥k+1时，

=

，则n≤k+，又n∈N，故当n≤k时，

．…

，

|b1﹣|+|b2﹣|+…+|b2k﹣1﹣|+|b2k﹣| =

=（k+1+…+b2k）﹣（b1+…+bk） =[=由

，

2

，得2k﹣6k+3≤0，解得*

+（）+…+（）…

+k]﹣[]

，…

又k≥2，且k∈N，所以k=2．…

【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质和构造法的合理运用．

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