第一单元、观察物体
根据一个方向观察到的形状摆小正方体，有多种摆法，无法确定立体图形的形状。
根据三个方向观察到的形状摆小正方形，只有一种摆法。
3、想象不出来时，用小正方体摆一摆就简单了。
第二单元、因数与倍数
一、因数和倍数
1、在整数除法中，如果商是整数而没有余数，那么被除数就是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。
2、字母表示：如果a÷b＝c（a，b，c是非0自然数），那么b，c是a的因数，a就是b，c的倍数。
找一个数的因数
1、找一个数的因数的方法
①列除法算式找。用此数分别除以大于等于1且小于等于它本身的所有整数，所得的商是整数且无余数，这些除数和商就是这个数的因数。
②列乘法算式找。把这个数写成两个整数相乘的形式，算式中的每个整数都是这个数的因数。 一个数的因数的求法：成对地按顺序找。
2、表示一个数的因数的方法：①列举法；②集合法。
3、一个数的因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
找一个数的倍数
1、找一个数的倍数的方法
①列除法算式找，看到哪些非0自然数除以这个数商是整数且没有余数，这个数都是这个数的倍数。
②列乘法算式找，用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。
2、一个数的倍数的表示方法：①列举法；②集合法。
3、一个数的倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
4、（请注意）不要认为一个较大数的因数的个数就比一个较小数的倍数的个数多。一个数的因数的个数都是有限的，而一个数的倍数的个数却是无限的。
5、（请注意）在一定的范围内找一个数的倍数时，这个数的倍数的个数就
1
是有限的，在表示时不用加省略号。
7、完全数：除了它本身以外所有的因数的和等于它本身的数叫做完全数。如：6的因数有：1、2、3（6除外），刚好1+2+3=6，所以6是完全数，小的完全数有6、28等。 8.最大、最小
一个数的最小因数是1，一个数的最大因数是它本身；最小的自然数是0，最小的奇数是1；最小的偶数是0。 二、2、5、3的倍数的特征
2、5的倍数的特征
1、个位上是0或5的数都是5的倍数。
2、个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。
3、在整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。 3的倍数的特征
4、一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
（请注意）同时是2、5、3的倍数的特征：个位上是0且各位上的数的和是3的倍数。同时满足2、3、5的倍数，实际是求2×3×5=30的倍数。
三、质数和合数 质数和合数
1、一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。 2、一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。 3、1既不是质数，也不是合数。最小的质数是2，最小的合数是4。 连续的两个质数是2、3
100以内找质数、合数的技巧：看是否是2、3、5、7、11、13…的倍数，是的就是合数，不是的就是质数。
20以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19 。
100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、
43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97 。
（请注意）质数中只有2是偶数，2是唯一的偶质数。除2外，其他质数都是奇数；但奇数不完全是质数。例如：9虽然是奇数，但它不是质数。
（请注意）偶数和合数之间有一定的联系：除2外，所有的偶数都是合数；但合数不完全是偶数。例如：45虽然是合数，但它不是偶数。
奇数和偶数的运算性质
1、和差的奇偶性：奇数±奇数＝偶数；奇数±偶数＝奇数（大数减小数）；偶数±偶数＝偶数。
2、积的奇偶性：奇数×奇数＝奇数；奇数×偶数＝偶数；偶数×偶数＝偶数。
2
第三单元 长方体和正方体
1、长方体是由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。在一个长方体中，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。
相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。 长方体的特点：
有6个面。8个顶点，有12条棱，相对的面的面积相等，相对的棱的长度
相等。
2.由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体。 正方体的特点：
（1）正方体有12条棱，它们的长度都相等。
（2）正方体有6个面，每个面都是正方形，每个面的面积都相等。
（3) 正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是特殊的长方体。 3.长方体、正方体有关棱长的计算公式
长方体的棱长总和：（1）（长+宽+高）×4 L=(a+b+h)×4
（2）长×4+宽×4+高×4 长=棱长总和÷4-宽-高 a=L÷4-b-h
宽=棱长总和÷4-长-高 b=L÷4-a-h
高=棱长总和÷4-长-宽 h=L÷4-a-b
正方体的棱长总和=棱长×12 L=a×12
正方体的棱长=棱长总和÷12 a= L÷12
用棱长1cm的小正方体摆成稍大一些的正方体,至少需要8个小正方体。 4.长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。
长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2 S=2(ab+ah+bh) 无底（或无盖）
长方体的表面积=长×宽+（长×高+宽×高）×2 s=ab+(ah+bh)×2
无底又无盖长方体表面积=（长×高+宽×高）×2 S=(ah+bh)×2
3
贴墙纸
正方体的表面积=棱长×棱长×6 S=6a2
注意1：用刀分开物体时，每分一次增加两个面。
注意2：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大到原来的几倍，表面积会扩大倍数的平方倍。
5. 物体所占空间的大小叫做物体得体积。 长方体的体积=长×宽×高 V=a b h
长=体积÷宽÷高 a=v÷b÷h 宽=体积÷长÷高 b=v÷a÷h
正方体的体积=棱长×棱长×棱长 用字母表示：V=a³
a·a·a·也可以写作“a³”，读作“a的立方”，表示3个a相乘 长方体或正方体底面的面积叫做底面积。
长方体（或正方体）的体积=底面积×高 用字母表示：V=S h
（横截面积相当于底面积，长相当于高）。
6. 箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。 固体一般就用体积单位，计量液体的体积，如水、油等，常用容积单位升
和毫升，也可以写成L和ml。
1L=1 dm³ 1ml=1 cm³ 1L=1000ml 1dm³=1000cm³ 1m³=1000dm³
长方体或正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同。但要从容
器里面量长、宽、高。对于同一个物体，体积大于容积。
注意1：一个长方体和一个正方体的棱长总和相等，但体积不一定相等。 注意2：长方体或正方体的长、宽、高同时扩大到原来的几倍，体积会扩大倍数的立方倍。
形状不规则的物体可以用排水法求体积，形状规则的物体可以用公式直接求体积。
排水法的公式：V物体 =V现在－V原来
也可以 V物体 =S×(h现在- h原来) V物体 = S×h升高
7. 体积单位换算：大单位×进率=小单位 小单位÷进率=大单位
进率：1立方米=1000立方分米=1000000立方厘米（体积相邻单位进率1000） 1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升 1平方米=100平方分米=10000平方厘米
4
1平方千米=100公顷=1000000平方米 1公顷=10000平方米
第四单元 分数的意义和性质
1.分数的意义：一个物体、一个计量单位或者一些物体都可以看作一个整体，把这个整体平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数表示。也就是单位“1”。
2、分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数叫做分数。 3、分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份的数叫做分数单位。 4、分数与除法的关系：
被除数 (1) 被除数÷除数= （除数不能为0）反过来，分数也可以看做两个数相
除数
除，分数的分子相当于被除数，分母相当于除数，分数线相当于除号。
（2)、求一个数是另一个数（0除外）的几分之几的问题的解题方法：一个数÷另一个数＝ ，即比较量÷标准量＝ 。 5.真分数和假分数、带分数
真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。
假分数：分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大于1或等于1。
带分数： 带分数由整数和真分数组成的分数。带分数大于1。 真分数＜1≤假分数
6.假分数与整数、带分数的互化
（1）假分数化成整数或带分数：用分子除以分母，商是带分数的整数部分，余数是分数部分的分子，分母不变。
（2）整数化为假分数，用整数乘以分母得分子。
（3）带分数化为假分数，用整数乘以分母加分子，得数就是假分数的分子，分母不变。
（4）1等于任何分母和分子相同的分数。 7、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变。这叫做分数的基本性质。
8.最简分数：分数的分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数。 9、约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约
分。约分时是根据分数的基本性质。
约分可以一次性约分（用最大公因数分别去除分子、分母） 也可以逐步约分（用公因数分别去除分子、分母）
(1)几个数公有的因数，叫做它们的公因数；其中最大的公因数叫做它们的最大公因数。
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(2)求几个数的最大公因数的方法：①列举法；②筛选法：先找出两个数中较小的数的因数，再圈出另一个数的因数，再看哪一个大；③分解质因数法；④短除法
10、通分：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。
（1）几个数公有的倍数，叫做它们的公倍数。其中最小的公倍数，叫做它们的最小公倍数。两个数的公倍数是它们的最小公倍数的倍数。 （2)两个连续的自然数只有公因数1，它们的最大公因数是1，最小公倍数
是这两个数的积。如：3和4是两个连续的自然数，它们的最大公因数是1，最小公倍数是3×4=12。
⑶ 两个不同的质数只有公因数1，它们的最大公因数是1，最小公倍数是
这两个质数的积。如：5和7是两个不同的质数，它们的最大公因数是1，最小公倍数是35。
⑷一个数是另一个数的倍数，它们的最大公因数是较小数，最小公倍数是较
大数。如：32是8的倍数，它们的最大公因数是8，最小公倍数是32。 11.比较分数的大小
（1） 同分母分数大小的比较方法：分母相同，分子大的分数大； （2）同分子分数大小的比较方法：分子相同，分母小的分数大。
（3）对于分子、分母都不相同的分数大小的比较方法：可以利用通分，变成同分母分数，再比较大小。对于分母比较大而分子比较小的分数比较大小，可以利用分数的基本性质，变成同分子分数再比较。 通常用分子和分母的最小公倍数作公分母比较合适。 12、分数和小数的互化
（1）小数化成分数：看小数的位数，小数表示是十分之几，百分之几，千分之几……的数，所以可以直接写成分母是10、100、1000……的分数，再化简。
（2）分数化成小数的方法：
①分母是10、100、1000……的分数化成小数，可以直接去掉分母，看分母1后面有几个0，就在分子中从最后一位起向左数出几位，点上小数点； ②分母不是10,100,1000，……的分数化成小数，用分子除以分母，除不尽时，要根据需要按“四舍五入”法保留几位小数。一般保留两位小数。 13.两个数互质的特殊判断方法
（1）1和任何大于1的自然数互质。 （2）2和任何奇数都是互质数。 （3）相邻的两个自然数是互质数 （4)相邻的两个奇数互质。
6
（5）不相同的两个质数互质。
（6）当一个是合数，另一个数是质数时（除了合数是质数的倍数情况下），一般情况下这两个数也是互质数。 14.特殊的最小公倍数的求法：
成倍数关系的两个数的最小公倍数是较大数，成互质的两个数的最小公倍数是它们的乘积。
第五单元 图形的运动（三）
1.物体绕着某一个点或轴运动，这种运动现象叫做旋转。旋转的三要素：旋转点、旋转方向、旋转角度。
2.钟表上指针的运动为顺时针旋转；与钟表上指针的反向的运动称为逆时针旋转。
3.图形旋转的特征：图形旋转后，形状、大小都没有发生变化，只是位置变了。 4.图形旋转的性质：图形绕某一点旋转一定的角度，图形中的对应点、对应线段都旋转了度数，对应点到旋转点的距离相等，对应角相等。
5.设计图案的基本方法：利用平移、旋转或轴对称变换，可以设计简单而美丽的图案。
6.运用平移变换设计图案的步骤：（1）选好基本图案；（2）确定平移的方向；（3）确定平移的距离；（4）画出平移后的图形。
7.运用旋转变换设计图案的步骤：（1）选好基本图案；（2）确定旋转点；（3）旋转角度；（4）依次画出每次旋转后的图形。
8.运用轴对称变换设计图案的步骤：（1）选好基本图案；（2）确定对称轴；（3）画出基本图案的轴对称图形。
第六单元分数的加法和减法
1.同分母分数加、减法法则：分母不变，分子相加、减。结果要是最简分数。 2、异分母分数相加、减，要先通分，化成同分母分数，然后按照同分母分数加、减法进行计算。
3、分数加减混合运算的顺序和整数的相同。
整数加法的交换律、结合律对于分数加法同样适用。
第七单元 折线统计图
一、单式折线统计图
1、折线统计图的特点：既可以反映出数量的多少，又能清楚地反映出数量的增减变化。
2、绘制折线统计图的方法：①根据图纸的大小画出两条垂直的射线。（画出横轴和纵轴）；②在横轴上适当分配各点的位置，确定各点的间隔。③在纵轴上根据数据大小的具体情况，确定一个单位长度表示数量多少；④描点，描点时应注意先找准横轴上的点，再找准纵轴上相对应的点，过两点分别做横轴、纵
7
轴的垂线，两条垂线的交点就是所要描的点，在交点处点上实心点；④用线段顺次连接所有点，并标注数据；⑤标注好日期和标题。（日期也可不标注） 3、折线统计图的应用：可以根据折线统计图发现问题、解决问题，并进行合理地推测。
（知识巧记）统计图，类型多，条形、折线一一说。 条形数量好比较，折线增减更明了。 绘制折线较简单，描点连线来解决。 完成绘图细分析，解决问题更容易。 二、复式折线统计图
1、复式折线统计图：如果在统计过程中存在两组（或多组）数据，且需要在一幅统计图中表示这两组（或多组）数据，就要用两种（或多种）不同颜色（或不同形式）的折线来表示不同数量的变化情况，这种统计图就是复式折线统计图。 2、复式折线统计图的特点：复式折线统计图不但能表示出各组数据的多少，数据的增减变化的情况，而且可以比较各组数据的变化趋势。
3、复式折线统计图的绘制方法：与单式折线统计图的绘制方法基本相同，只是用不同的折线表示表示不同的量，需标明图例。
4、运用横向、纵向、综合、对比等不同的观察方法，可以读懂复式折线统计图，从中获取更多的信息，并能根据信息回答或提出相应的问题，同时进行简单地分析和合理地推测。
第八单元 数学广角——找次品
1.利用天平平衡的原理解决找次品（轻或重）问题。
2、解决问题策略的多样性，在找次品的过程中，可以有多种方法找到次品。 3、运用优化策略解决问题：在找次品时，把物体分成3份，每份数量尽量平均时，可以保证找出次品的称量次数最少。
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