电感元件电压电流相量关系

第３卷第２期　吕梁学院学报　２０１３年４月　Ｖｏ１．３　Ｎｏ．２　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｌｔｉｌｉａｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ａｐｒ．２０１３　・物理学研究・　电感元件电压电流相量关系　刘爱萍　（晋中职业技术学院基础部，山西晋中０３０６００）　摘要：文章推导出电感元件电压电流相量关系后，分析电压和电流之间的数量、相位关系以及正弦量化为相　量的导数和积分变换法则．　关键词：电感；电压；电流；相量　中图分类号：Ｇ７１２　文献标识码：Ａ　文章编号：２０９５—１８５Ｘ（２０１３）０２—００６３—０２　电路元件的电压电流相量关系式的推导是一　以电感元件为例，如图１为仅有电感参数的交　大难题，分析关系式也不容易．　流电路，图中标出了电压电流的关联参考方向．　１　复数表示正弦量　正弦量　／．ｔ＝√２　Ｕｓｉｎ（ｔｏｔ＋　）　（１）　有三个要素：有效值、初相位和频率．在线性电　路中，如果激励是正弦量，则电路中各支路的电压电　流的稳态效应将是同频率的正弦量．…　如果电路　有多个激励都是同一频率的正弦量，根据叠加定律，　电路全部稳态效应也将是同一频率的正弦量，那么　求解正弦量的三要素可简化为求解两要素，即有效　值和初相位．『２］６　而复数也有两要素，其与正弦量的　两要素有一一对应关系．对于以极坐标形式表示的　复数　图１　Ａ＝ｌ　Ａ　Ｉ　（Ｄ　电感元件时域形式的电压电流关系式为　这两个要素就是复数Ａ的模ｌ　Ａ　Ｉ和辐角　，如　，　“　＝　（３）　果我们以电压的有效值ｕ作为复数的模，初相位作　为辐角，那么就可构成一个复数为　设　＝　（２）　ｉＬ＝√２　ＩＬ　ｓｉｎ（　ｔ＋　）　（４）　就是说正弦量（１）式就可变换为（２）相量式．　则相量式为　＝　／－ｑ￣　任何一个正弦量通过这种变换都可写出对应相　（５）　量．为了把数学上的复数与用来表示正弦量的复数　设“￡＝　Ｕ　ｓｉｎ（ｔｏ　ｔ＋　）　（６）　区分开来，我们把后者叫做相量．　３　Ｊ８　则相量式为　２　电路元件电压电流相量形式　＝ＵＬ厶５ｐ　（７）　２．１　正弦量对时间导数的相量　将（４）式和（６）式代人（３）式，则　收稿日期：２０１２—１０—１８　作者简介：刘爱萍（１９６９一），女，山西平遥人，讲师，研究方向为大学物理　６３　ｕＬ＝　＝　ＵＬ　ｓｉｎ（ｗ　ｔ＋　）　ｕ　丢［　ｓｉｎ（　）］　ｉｎ（∞Ｈ　＋詈）　＝ｃ￡Ｊ　（　＋詈）　由（５）式（７）式可得到其相量关系式为　ＵＬ＝　＝４￣ｗＬｌｔｅｏｓ（ｗｔ＋　）　＝　（１１）　上式是电感元件电压电流相量形式，也叫复数　形式的欧姆定律．它同时表示电压电流之间的数量　由（１）式和（２）式可得　（８）　将（５）式（７）式代入（８）式可得到其相量关系　式为　Ｌ＝　∞Ｌ　ｌ　Ｌ　９、）　（９）式是电感元件电压电流相量形式，也叫复　数形式的欧姆定律．它同时表示电压电流之间的数　量关系为　Ｕ＝ｔｏＬｌ　以及相位的关系为电压　比电流ｔ超前　卫　２　‘　（９）式也体现了将正弦量化为相量的导数变换　法则．从对应关系式　Ｈ　ＵＬ　ｕ　：Ｌ　ｄ　ｉｔｕ　＝Ｌ　”　—Ｕ　：　＝　￡，　￡　可得　ｄ　ｉｔ—　【１）ｉ　Ｌ　即一个正弦量对时间导数的相量，等于该正弦　量的相量乘以如．＿５　。　３　正弦量对时间的积分的相量　由（３）得　＝　Ｊ．　（１０）　将（４）式和（６）式代人（１０）式，则　ｉＬ：　Ｉｔ　ｓｉｎ（ｔｏ　ｔ＋　）　＝一Ｉｆ４￣ｕＬｓｉｎ（∞　＋　）　＝　【一ｃ。ｓ　＋　＝　［＿ｓｉｎ（　ｔ　＋号）】　＝一　１￣ＹＵ￣ｓｉｎ（　＋　＋詈）　由（１）式和（２）式可得　＝一　（　＋号）　关系为　，一　一　以及相位的关系为电压Ｉｔ比电流　滞后　．　（１　１）式体现了将正弦量化为相量的积分变换　法则．从对应关系式　ｔＨ　ｌｔ，　＝丢　：　可得　一　即一个正弦量对时间积分的相量，等于该正弦　量的相量除以知．　电容元件电压电流相量形式同样可推导出，也　体现了将正弦量化为相量的导数变换法则：一个正　弦量对时间导数的相量，等于该正弦量的相量乘以　．积分变换法则：一个正弦量对时间积分的相量，　等于该正弦量的相量除以　．也完整表达了电压电　流之间的数量及相位关系．　电阻元件电流相量形式也体现了将正弦量化为　相量时乘以常数的变换法则：一个正弦量与一常数　相乘之积的相量等于正弦量的相量乘以同一常数．　参考文献：　［１］王兵利．电工基础及测量（第一版）［Ｍ］．西安：西安电子　科技大学出版社，２０１０．　［２］梁南丁．普通电工学（第一版）［Ｍ］．北京：煤炭工业出版　社，２００４．　［３］刘海霞，李锁牢．电工基础［Ｍ］．北京：北京邮电大学出　版社，２０１０．　［４］邢迎春，王　晓，吴宇，等．电工电子技术基础（第三　版）［Ｍ］．大连：大连理工大学出版社，２０１０．　［５］郭木森，廖玄九，张绍南，等．电工学（第二版）［Ｍ］．北　京：高等教育出版社，１９８７．