二年级奥数知识要点整理汇总及典型练习题

二年级奥数知识要点整理汇总及典型练习题

目 录

1.二年级奥数.几何

1.1.二年级奥数.几何.巧求周长 1.2.二年级奥数.几何.数形结合 1.3.二年级奥数.几何.一笔画问题 1.4.二年级奥数.几何.找规律 2.二年级奥数.计算

2.3.二年级奥数.计算.等式加减 2.4.二年级奥数.计算.巧填算式 2.5.二年级奥数.计算.竖式谜 2.6.二年级奥数.计算.数阵图 2.7.二年级奥数.计算.算得快的奥妙 3.二年级奥数.应用题

3.1.二年级奥数.应用题.倍数问题 3.2.二年级奥数.应用题.倒推法 3.3.二年级奥数.应用题.对号入座 3.4.二年级奥数.应用题.和差问题 3.5.二年级奥数.应用题.间隔与分段 3.6.二年级奥数.应用题.两步应用题 3.7.二年级奥数.应用题.平均数 4.二年级奥数.杂题

4.1.二年级奥数.杂题.操作与应用 4.2.二年级奥数.杂题.等量代换 4.3.二年级奥数.杂题.逻辑推理 4.4.二年级奥数.杂题.时间与日期 4.5.二年级奥数.杂题.数字游戏 4.6.二年级奥数.杂题.重重叠叠 4.7.二年级奥数.杂题.最大与最小

几何专题

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巧求周长

知识框架

把下面图形的边框勾成蓝色．

封闭图形一周的长度，就是这个图形的周长．

让学生更直观的来认识什么是图形的周长，然后让学生把图形的周长画一画，更能加深对“周长”这 个抽象概念的理解．

怎样才能知道图形 的周长是多少？怎样来求呢？这节课我们就先从简单的长方形和正方形的周长开始研究吧！

例题精讲

【例1】小精灵来到篮球场打球，发现篮球场是一个长方形的，他和小朋友量了量，这个篮球场长28米，宽15米．这个篮球场的周长是多少米？

【例2】打完球小精灵累的满头大汗，这时小白兔送上来了一个手帕为他擦擦汗．这个手帕是正方

形的，量了量每条边的长是2分米，这个正方形手帕的周长是多少？

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【例3】比一比，赛一赛．下面图形的周长，看谁算得快

【例4】Hello Kitty去商场买回来一面镜子．她要沿镜子的四边做一个铝合金的边框，请你帮助算

一算，大约需要多少米长的铝合金材料？

【例5】明明用一根长30分米的黑线，给自己的照片镶了一条黑边，这个长方形相框的宽是 6分米，

你知道这个相框的长是多少分米？

【例6】小明家有一个正方形的花坛，这个正方形的花坛边长是 6米，在这个正方形花坛的四周围

上栏杆，栏杆长多少米？

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【例7】红红用一根28厘米的铁丝，围成了一个正方形，这个正方形的边长是多少？

【例8】两个大小相同的正方形，拼成一个长方形后，周长比原来两个正方形周长的和减少了 4 厘

米，原来一个正方形的周长是多少厘米?

【例9】如下图，你能求出这些图形的周长吗？

【例10】求下图的周长

课堂检测

【随练1】 一个模型，如图，外形是两个重叠的正方形，正方形的边长是2分米，两个正方形重叠

的相交点是正方形边的中点．求这个模型的周长是多少分米?

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【随练2】 如下图是一个长宽分别为 60 厘米和 50 厘米的长方形．甲、乙两只小蚂蚁同时从 A 出

B 点，问：哪只蚂蚁先到达？两只蚂蚁共爬发，以同样的速度分别沿图中虚线爬行到达 行了多少路程？

家庭作业

【作业1】 求下面图形的周长．

50 厘米，宽是 10厘米，长是多少厘米？ 【作业2】 一个长方形的周长是

44 厘米的绳子围成一个正方形，这个正方形的边长是多少？ 【作业3】 用一根长

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【作业4】 下图是一个游乐场的平面图，你跟根据已知条件，求出这个游乐场的周长是多少？

【作业5】 求下面图形的周长．

【作业6】 一个长 12分米，宽 5分米的长方形，如图在它的两个角上各减去一个小长方形，现在这

个新的图形的周长是多少？

【作业7】 计算下面各图的周长．（单位：厘米）

【作业8】 下图的周长是多少厘米?

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数形结合

知识框架

最初的数和最简的图相对应． 1 和·(点)

2 和3 和4 和

形和数的密切关系，在古代就被人们注意到了．古希腊人发现的形数就是非常有趣的例子．

(线：两点连成一条直线) (平面：三点确定一个平面)

(立体：不在同一平面上的四个点构成一个四面体)

这是古希腊人的观点，他们说一切几何图形都是由数产生的．

例题精讲

【例11】我国在春秋战国时代就有了“洛图”(见下图)．图中也是用“圆点”表示数，而且还区分了偶

数和奇数，偶数用实心点表示，奇数用空心点表示．你能把这张图用自然数写出来吗?

【例12】古希腊数学家毕达哥拉斯发现了“形数”的奥秘．比如他把l，3，6，10，15，…叫做三角

形数．因为用圆点按这些数可以堆垒成三角形，见下图．请写出第100个三角形数。

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【例13】三角形数的奇偶性是很有规律的，1，3，6，10，15，2l，28，36，…奇、奇、偶、偶、

奇、奇、偶、偶……想一想，这是为什么?

【例14】毕达哥拉斯还发现了四角形数，见下图．因为用圆点按四角形数可以堆垒成正方形，因

此它们最受毕达哥拉斯及其弟子推崇．第25个四角形数是多少？

【例15】第8个三角形数恰是第6个四角形数，因为

还能试着找到一个这样的例子吗?

【例16】类似地，还有四面体数见下图．第七个四面体数是多少？

你

【例17】五面体数，见下图．第五个五面体数是多少？

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【例18】按不同的方法对图中的点进行数数与计数，可以得出一系列等式，进而可猜想到一个重

要的公式．由此可以使人体会到数与形之间的耐人导味的微妙关系．

方法l：先算空心点，再算实心点：(22)(221)．

方法2：把点图看作一个整体来算33．因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：2222133

用上述同样的方法推导一下接下去的两个图

课堂检测

【随练3】请你试着画一画五角形数和六角形数的图形．并试着把第，n个五(六)角形数拆成以1

为首页、有n项的等差数列之和的形式．

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【随练4】按不同的方法对下图中的点进行数数与计数，得出一系列等式，进而猜想出一个公式来，

从中体会数与形之间的微妙关系．如：

方法l：先算空心点，再算实心点，得：2(21)2(21) 方法2：把点图看成一个整体来算，得：3(31)2

因为点数不会因计数方法不同而变，所以得出：2(21)2(21)3(31)2 请你照此继续做下去．

【随练5】模仿，用不同的方法分别对下两图中的点进行数数与计数，先得出一系列等式，进而猜

想出一个重要的公式．

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家庭作业

【作业9】 第25个三角形数是几?

【作业10】第50个三角形数是几?

【作业11】第1000个三角形数是几?

【作业12】观察下列图形，你能发现什么?

【作业13】第99个与第100个三角形数的和等于多少?

【作业14】每一个四角形数(或叫正方形数)(除1外)都能拆成两个三角形数吗?比如，100是哪两个

三角形数的和?

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【作业15】写出前10个四面体数．

【作业16】写出前10个五面体数．

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一笔画问题

知识框架

如果用笔在纸上连续不断又不重复，一笔画成某种图形，这种图形就叫一笔画。那么是不是所有的图形都能一笔画成呢？这一讲我们就一起来学习一笔画的规律。

能否一笔画成，先看是不是连通图形，不连通图形一定不能一笔画成。 连通图形，关键在于判别奇点、偶点的个数。

一、只有偶点，可以一笔画，并且可以以任意一点作为起点。

二、只有两个奇点，可以一笔画，但必须以这两个奇点分别作为起点和终点。

三、奇点超过两个，则不能一笔画。对于一些比较复杂的路线问题，可以先转化为简单的几何图形，然后根据判定是否能一笔画的方法进行解答。

例题精讲

【例19】下面这些图形，哪个能一笔画？哪个不能一笔画？

（1） （2） （3） （4）

【例20】下面这些图形，哪个能一笔画？哪个不能一笔画？

（1） （2） （3） （4）

【例21】下面的各个小图形都是由点和线组成的．请你仔细观察后回答：

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①与一条线相连的有哪些点? ②与二条线相连的有哪些点? ③与三条线相连的有哪些点?

④与四条线或四条以上的线相连的有哪些点?

【例22】下面各图能否一笔画成？

（1） （2） （3）

【例23】下面这几个字都能一笔写出来吗?

【例24】下面这几个字母都能一笔写出来吗?

【例25】下面的图形，哪些能一笔画出？哪些不能一笔画出？

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【例26】下图中，至少要画几笔才能画成？

A O B

C

课堂检测

【随练6】 德国有个城市叫哥尼斯堡．城中有条河，河中有个岛，河上架有七座桥，这些桥把陆地

和小岛连接起来，这样就给人们提供了一个游玩的好去处(见下图)．俗话说，“人是万物之灵”，他们就是在游玩时候想出了这样一个问题：

如果在陆地上可以随便走，而对每座桥只许通过一次，那么一个人要连续地走完这七座桥怎么个

走法?

D

好动脑筋的小朋友请先不要接着往下读，你也试一试，走一走．

【随练7】 在我国著名数学家陈景润写的《数学趣谈》一书中，有下面的这样一道题，大意是说：

在法国的首都巴黎有一条河，河中有两个小岛，那里的人们建了15座桥把两个小岛和河岸连接起来，如下图所示，请你说一说，从任一岸出发，一次连续地通过所有的桥到达另一岸，可能吗?(每座桥只能走一次)

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家庭作业

【作业17】下面的图形都是由点和线组成的．请你仔细观察后回答：

①与一条线相连的有哪些点? ②与三条线相连的有哪些点?

③与四条线或四条以上的线相连的有哪些点?

NOKFGCEBAHDLJIMP

【作业18】下面各图能否一笔画成？

（1） （2） （3） （4）

【作业19】下面这几个字母都能一笔写出来吗?

【作业20】下面这几个字都能一笔写出来吗?

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【作业21】下图中，至少要画几笔才能画成？

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找规律

知识框架

小朋友，这一讲我们来学习图形的规律。根据前后几个图形的排列，找出图形的个数或图形的形状变化规律，推算出所缺的图形。

有些图形的变化比较复杂，不能一下看出它们的变化规律，我们必须仔细观察，从它们的形状、大小、数量、方向、位置、顺序、色彩等变化多角度的分析、比较、找出规律后，再按规律填出图形来。

例题精讲

【例27】 仔细观察，“？”处填什么图形？

【例28】有一堵墙上的砖坏了一部分，现在请你仔细观察排列规律，猜一猜要补上多少块同样的

砖，才能把墙补好？

【例29】仔细观察，寻找规律，在空白处填上合适的图形.

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【例30】观察下列图形的变化,按照规律补充完整.

【例31】找出下面图形的变化规律，并按其规律在“？”处填上适当的图形：

【例32】找出下面图形的变化规律，并按其规律在“？”处填上适当的图形，并在下面括号里填上

每个图有几个不重叠的三角形组成。

( 1 )个 ( 7 )个 ( )个 ( 4 )个

【例33】找出下面图形的变化规律，并按其规律在“？”处填上适当的图形

( )个

【例34】观察下面图形的变化,找出图形变化的规律,然后按照这个规律在小树上画出合适的图形。

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【例35】观察下面图形的变化，请你接着画出第四幅图来，请问第十幅图有几个骨头？

【例36】仔细观察，寻找规律，在问号处填上合适的图形。

【随练8】 观察下面图形的变化,找出图形变化的规律,然后按照这个规律在空格中画出应画的图

课堂检测

形。

【随练9】 观察下面图形的变化,找出图形变化的规律,然后按照这个规律在问号处画出合适的图

形。并且再继续画出第四行。

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【作业22】找出下面图形的变化规律，并按其规律在“？”处填上适当的图形：

家庭作业

【作业23】仔细观察，“？”处填什么图形？

【作业24】 仔细观察，“？”处填什么图形？

【作业25】观察下列图形的变化，想一想，按图形变化的规律，在空白处应画什么样的图形？

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【作业26】先看一看9个小雪人的排列规律，再将答案填入空白处。

【作业27】按顺序观察下列图形的变化,然后按照规律在空白处填上合适的图形。

【作业28】小红在院子里采了许多花,把它们整整齐齐的排列着.下面这个空圈中应摆什么花?

【作业29】观察下面图形的变化,找出图形变化的规律,然后按照这个规律在空格中画出应画的图

形。

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计算专题

等式加减

知识框架

计算是数学的基础，在计算中，我们既要做到正确合理，还要做到快速、巧妙。这样不仅能节省时间，还能提高分析问题的能力，促进智力发展。首先，我们来学习加、减法中的一些简便运算的方法。 平时注意积累，记住一些有趣的和重要的运算结果，非常有助于速算。请同学们记住这几个算式的和： 自然数列：1＋2＝3

1＋2＋3＝6 1＋2＋3＋4＝10 1＋2＋3＋4＋5＝15 1＋2＋3＋4＋5＋6＝21 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝55

奇数数列：1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＝100 偶数数列：2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＋16＋18＋20＝110

例题精讲

【例37】大、小二数之和等于10，之差等于2，求二数．

【例38】已知：□+△＝10 □－△＝2 求：口＝? △＝?

【例39】已知：□+△=16 □+△+△=18 求：□＝? △＝?

【例40】已知：□+□+△＝16 □+△+△=14 求：□＝? △＝?

【例41】已知：□+□+△+△+△＝21 □+□+△+△+△+△+△＝27 求△＝?

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【例42】已知：□+△＝22 □+□+△+△+△+△+△＝50 求△＝?

【例43】小明买1支铅笔和2块橡皮共用去2角4分钱，又知1支铅笔比2块橡皮贵4分钱．问小明买的

铅笔每支多少钱?

【例44】已知：□+△+☆＝22 □+□+□+△+△+△+☆＝50 求☆＝?

【例45】在一次数学考试中，小玲和小军的成绩加起来是195分，小玲和小方的成绩加起来是198分，小

军和小方的成绩加起来是193分．问他们三人各得多少分?

【例46】在一次数学考试中，小玲和小军的平均成绩是97分，小玲和小方的平均成绩是99分，小军和小

方的平均成绩是96分．问他们三人各得多少分?

课堂检测

【随练10】有白、红、黑三色的球．白的和红的合在一起有10个；红的和黑的合在一起有7个；黑的和白

的合在一起有5个．问三种球合在一起共多少个?

【随练11】百货商店中两支圆珠笔与三支蘸水笔共值7角8分；三支圆珠笔与两支蘸水笔共值7角2分．问

一支圆珠笔值多少钱?

家庭作业

【作业30】已知：x+y=18 (1) x-y=14 (2) 求：x=? y=?

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【作业31】下面式中：△、□、○各代表一个数，请问他们各代表什么数?

【作业32】下式中梨、苹果和香蕉各代表一个数，请你把它们算出来．

梨+梨+柿子+香蕉＝17 梨+柿子+柿子+香蕉＝14 梨+柿子+香蕉+香蕉＝13

【作业33】小军家养了一只大白兔和一只小花猫。有一天，小军抱着大白兔站在体重计上称一称，正好是

33斤；后来小军放下大白兔又抱起小花猫，站在体重计上一称，正好是31斤；最后小军把大白兔和小花猫一起放在体重计上称一称是4斤。请你算一算，小军、大白兔和小花猫各是多少斤?

【作业34】一盒精装的笔，连盒共值18元，笔比盒贵14元，盒和笔的价钱各是多少?

【作业35】饲养场出售鸡、鸭，以只数计价，爸爸买1只鸡、2只鸭共付25元；如果买2只鸡、1只鸭要

付27元2角．问鸡、鸭各多少钱一只?

【作业36】三头牛和八只羊一天共吃青草93斤．五头牛和十五只羊一天共吃青草]65斤．问一头牛和一只

羊一天共吃青草多少斤?

【作业37】加工一批零件，师徒二人合作2小时可加工34个．已知师傅加工3小时比徒弟加工4小时多做

2个．问师傅每小时加工多少个?

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巧填算式

知识框架

小朋友们，你听过“江南四大才子”之一祝枝山的故事吗？他写得一手好字。有一次过年，一个人请祝枝山写了一张条幅：“今年正好晦气全无财帛进门。”主人一看：“今年正好晦气，全无财帛进门。”差一点气昏过去，大骂祝枝山是个“大混蛋”。祝枝山不慌不忙，笑嘻嘻地说：“你听我念：‘今年正好，晦气全无，财帛进门。’这是多么好的好彩。”主人一听，马上转怒为喜。

古人的断句，体现了标点符号的作用。数学中的运算符号也能发挥类似的作用。

根据题目给定的条件和要求添运算符号和括号，没有固定的法则。解决这类问题，一般的方法有试验法、凑整法、逆推法。如果题中的数字较简单，可以采用试验的方法，找到答案。如果题中结果较大，可以把数字先分组，然后每组再试验。

凑整法常用于题中数字较多、结果较复杂的时候。这时要先凑出一个与结果较接近的数，然后再对算式中算式的数字做适当的安排，即增加或减少，使等式成立。

例题精讲

_【例47】在（ ）里填上合适的“+”、“”、“”、“”符号，使等式成立：

18()35()1

【例48】下面有两道有趣的算式，每道算式左、右两边的数字相同，运算符号不同，但计算结果相同。

（1）2222； （2）123123； 请你在下面的（ ）中填上和左边不同的运算符号使等式成立：

（1）2412()4()1 （2）2832()8()3

【例49】请你在下面的（ ）中填数，在□里填“＋”、“－”、“×”、“÷”，使算式成立。

（1）()□()= 6 ……1 （2）()□ 5 =()……2

【例50】在下面4个4中间，添上适当的运算符号＋、－、×、÷和（ ），组成3个不同的算式，使得数

都是2。

4 4 4 4 ＝ 2 4 4 4 4 ＝ 2 4 4 4 4 ＝ 2

【例51】在批改作业时，张老师发现小明抄题时丢了括号，但结果是正确的。

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请你给小明的算式添上括号：4＋28÷4－2×3－1＝4

【例52】在下面的数字之间添上运算符号，使等式成立。

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ＝60

【例53】在下面算式适当的地方添上加号，使等式成立。

8 8 8 8 8 8 8 8 ＝ 1000

【例54】在下面式子的适当地方添上＋、－、×，使等式成立。

1 2 3 4 5 6 7 8＝1

【例55】在下面5个3中间，添上适当的运算符号＋、－、×、÷和（ ），使等式成立。

3 3 3 3 3 ＝ 0 3 3 3 3 3 ＝ 1 3 3 3 3 3 ＝ 2 3 3 3 3 3 ＝ 3 3 3 3 3 3 ＝ 4 3 3 3 3 3 ＝ 5 3 3 3 3 3 ＝ 6 3 3 3 3 3 ＝ 7 3 3 3 3 3 ＝ 8 3 3 3 3 3 ＝ 9 3 3 3 3 3 ＝ 10

【例56】在下面等式左边填上适当的运算符号＋、－、×、÷和（ ），使等式成立。

1 2 3＝ 1 1 2 3 4＝ 1 1 2 3 4 5＝ 1 1 2 3 4 5 6＝ 1 1 2 3 4 5 6 7＝ 1 1 2 3 4 5 6 7 8＝1

课堂检测

【随练12】把1-9这九个数字填入（ ）里，在□里填“＋”、“－”、“×”、“÷”，使算式成立。

()□()=()

□ (()□()□()=()=() )

‖

【随练13】4乘以4得16，但16不一定只能分解为4乘以4.请你在下面的方框中填上除4以外的数字，在

□里填上同一种运算符号。

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16=(16=(

)□()□() 16=() 16=()□()□() )

家庭作业

_【作业38】 在（ ）里填上合适的“+”、“”、“”、“”符号，使等式成立：

（1）24()62()2 （2）36()65()6

_【作业39】 在（ ）里填上合适的“+”、“”、“”、“”符号，使等式成立：

（1）3()18()2 （2）7()64()3

（3）12(

【作业40】 在下面的（ ）内填“＋”、“－”、“×”、“÷”，使算式成立。

（1）18()81100()1 （2）85()8030()6

【作业41】 请你在下面的（ ）中填上和左边不同的运算符号使等式成立：

（1）126212()6()2 （2）2010420()10()4

)35()4 （4）9()418()2

_【作业42】 把“+”、“”、“”、“”四个运算符号分别填入下面两个等式的4个（ ），使等

式成立。

（1）9()13(

【作业43】 在下面算式适当的地方添上加号，使等式成立。

1 2 3 4 5 6＝ 57

【作业44】 在下面算式适当的地方添上“+”和“”，使等式成立。

9 8 7 6 5 4 3 2 1＝ 31

)7100 （2）14()2()52

_【作业45】 在下面算式左边填上适当的运算符号“+”、“”、“”、“”，使等式成立。

4 4 4 4 4 ＝ 4 4 4 4 4 4 ＝ 5 4 4 4 4 4 ＝ 6 4 4 4 4 4 ＝ 11 4 4 4 4 4 ＝ 12 4 4 4 4 4 ＝ 13

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竖式谜

知识框架

在这一节课中，教材内容中主要是通过不同的符号，汉字或字母来组成各种不同的竖式数字谜，让学生根据竖式的结构来计算（求出）这些未知的数字.弄清楚加减法各部分之间的数量关系是我们学习数字谜的基础.解答数字谜的关键是找准突破口.通过这节课的学习，要使学生掌握解答竖式数字谜的一般技巧.先要观察数字的特点，然后找出“关键位置”认真分析，一般可以引导学生从各个不同的数位进行考虑.解答完题目以后，教师还要培养学生验算的好习惯.

我们经常会看到一些残缺不全的算式，要求我们在方格内填上合适的数字，使算式成立.我们也经常看到在一个算式里面有很多的汉字或字母，要我们猜猜它们代表几，像这样的问题都是数字谜问题.在填数字时，要认真分析数字的特点，充分运用加、减法之间的关系，巧妙地安排每一个数，很快就能求出方格里应填的数字.今天这节课我们就一起来解答数字谜问题. 解这种题应按三个步骤分析思考：

（1）审题 审题就是找出算式中数字之间的关系和特征，挖掘题目中的隐含条件，它是确定各空格内应该填什么数字的主要依据．

（2）选择解题突破口 在审题的基础上，认真思考找出算式中容易填出或关键性的空格，做为解题的突破口．这一步是填空格的关键．

（3）确定各空格填什么数字 从突破口开始，依据竖式的已知条件，逐个填出各空格中的数字．

例题精讲

【例57】在“庆元旦”晚会上，主持人小丽出了这样两道题目：

请大家想一想，被纸片盖住的是什么数字?

【例58】在下面算式的空格内，各填上一个合适的数字，使算式成立．

【例59】用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字组成下面的加法算式，每个数字只许用一次，现已

写出3个数字，请把这个算式补齐．

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【例60】在下面算式的空格内，各填入一个合适的数字，使算式成立．

【例61】把数字1～5分别填写在下面算式中的口里．

【例62】下面的算式里四个小纸片各盖住一个数字，问被盖住的四个数字的和是多少?

【例63】在下面算式的空格内，各填入一个合适的数字，使算式成立．

【例64】算下面竖式中的汉字各代表多少?

我=( ) 爱=( ) 数=( ) 学=( )

【例65】求当它们各代表什么数字时，能够使算式成立?

【例66】请你猜一猜，每个算式中的汉字各表示几

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【例67】相同的英文字母代表相同的数字，你知道下面A、B、C代表几？

课堂检测

【随练14】请你算一算，下面竖式中每个字各代表几？

兵炮马卒

+ 兵炮车卒

车卒马兵卒

【随练15】下面各数字表示几？

【随练16】在下面的加法算式中，第—个加数的各位数字之和恰好是和的各位数字之和的2倍．则第一个

加数是多少?

【随练17】下面的算式里，每个方框代表一个数字，问：这6个方框中数字的总和是多少?

家庭作业

【作业46】 在下列竖式的空格内，各填入一个合适的数字，使竖式成立.

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【作业47】 填一填.

【作业48】 下面方框可以填什么数？

【作业49】 下面的方框各应该填几？

【作业50】 下面的符号和汉字各代表几？

【作业51】 下面竖式中的字母和符号各代表多少?

【作业52】 在下列竖式的空格内，各填入一个合适的数字，使竖式成立.

【作业53】 下面的符号各表示几？

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【作业54】 请你猜一猜，每个算式中的汉字各表示几?

【作业55】 下边的加法算式中，□内这四个数字之和是多少?

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数阵图

知识框架

数阵图是小学奥数阶段一个很重要的专题。在这节课中，我们的教学目标就是让学生初步认识数阵，并能通过一系列的练习，找到解数阵的一般方法。今天我们重点研究的方法，就是通过找中心数来解题，会根据题目中给出的已知条件来求中心数。在例题的设计中，我们也是层层深入，让学生能通过简单的例题来发现规律找到解题的方法，通过例题难度的加深来拓展应用。希望这节课的学习能使学生的思维能力得到培养，能让学生对数阵产生兴趣，为今后的继续学习奠定基础。

在神奇的数学王国里，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜， 奇妙无穷．它就是数阵图．到底什么是数阵图呢？我们先观察下面两个图：

数阵图就是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形．它一般分为辐射型(图1)和封闭型(2)两种．要把一些数字按一定的规则填入图形中，并不是一件容易的事，这需要我们多观察，找关系，仔细推理才能完成．下面我们就一起来找一找数阵图的秘密吧

例题精讲

【例68】把1，2，3，4，5这 5个数分别填入图中的圆圈内，（1）使得横行 3个数的和与竖列 3个数的和都

10。（2）使得横行3个数的和与竖列3个数的和都相等.一共有多少种不同的填法？ 等于

【例69】把4～8这五个数填入图中(已填入6)，使两条直线上的三个数之和相等.

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【例70】把 1，2，3，4，5，6，7 这 7 个数分别填入圆圈中，使得每条直线上的 3 个数的和等于 12．

【例71】把1～9这九个数字填入下列圆圈内，使每条线上的三个圆圈内的数之和都等于 15。

【例72】 1～7这七个数分别填入图中的各○内，使每条直线上三个○里数的和相等．一共有多少种方法？

【例73】把1～9这9个数分别填入下图的圆圈中，使得每条直线上的3个数的和都等于15。

【例74】将1，2，3，4，5，6这6个数分别填入下图中，使两个大圆上4个数的和都等于14.

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【例75】把1，2，3，4，5，6这6个数分别填入右图的6个圆圈中，（1）使得三角形每条边上的3个数的

和都等于10.（2）使得三角形每条边上的三个数之和都相等.还有几种不同的填法？

【例76】将1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字分别填入图中的小圆圈里，使得每条边上4个数字的

和是17.

【例77】把1～8这八个数分别填入图中的圆内，使每条线上的三个数相加的和等于12.

课堂检测

【随练18】将1、2、3、4、5、6六个数填在图中的空灯里，使每个大圆上的四盏灯里的数相加都等于14.

【随练19】把2、3、4、5、6、7、8、9、10填入方格里，使每一横行、每一竖行、每一斜行的3个数的和

都是18.

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家庭作业

【作业56】 在下面的○里填上适当的数，使每条线上的三个数之和都是16.

【作业57】 在空格内填入适当的数，使得每行、每列和两条对角线上的三个数的和都为18.

【作业58】 在空格内填上适当的数，使得图中每行、每列及两对角线上四个数的和都是64.

【作业59】 把数字1、2、3、4、5分别填入下图中的方格内，使横行3个数的和与竖列3个数的和都等于

9.

【作业60】 把5，6，7，8，9这5个数填在下图的◇内，使横行、竖列3个数的和都相等.

【作业61】 将1～9填入小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等.

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【作业62】 把10，20，30，40，50，60，70这7个数填在圆圈里，使每条直线上和每个圆周上的三个数的

和都是120.

【作业63】 把3、5、7、9、11、13、15这7个数分别填入图中的圆圈内，使每条直线上的3个数都等于

27.

【作业64】 把1～6填入○里，使每个圆圈上的四个数之和都相等16.

【作业65】 把4～9这6个数分别填入下图的6个圆圈中，使得三角形每条边上的3个数的和都等于21.

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算得快的奥妙

知识框架

计算是数学的基础，在计算中，我们既要做到正确合理，还要做到快速、巧妙。这样不仅能节省时间，还能提高分析问题的能力，促进智力发展。首先，我们来学习加、减法中的一些简便运算的方法。

平时注意积累，记住一些有趣的和重要的运算结果，非常有助于速算。请记住这几个算式的和：＋２＝３

１＋２＋３＝６ １＋２＋３＋４＝１０ １＋２＋３＋４＋５＝１５ １＋２＋３＋４＋５＋６＝２１ １＋２＋３＋４＋５＋６＋７＝２８ １＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＝３６ １＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＝４５ １＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９＋１０＝５５

奇数数列： １＋３＋５＋７＋９＋１１＋１３＋１５＋１７＋１９＝１００ 偶数数列： ２＋４＋６＋８＋１０＋１２＋１４＋１６＋１８＋２０＝１１０

例题精讲

【例78】计算：59+18+41

【考点】速算巧算 【难度】1星 【题型】解答题

【例79】计算：21＋22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＋29

【考点】速算巧算 【难度】1星 【题型】解答题

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１

【例80】计算：76-23-17

【考点】速算巧算 【难度】1星 【题型】解答题

【例81】计算：83-（23+19）

【考点】速算巧算 【难度】1星 【题型】解答题

【例82】计算：22－20＋18－16＋14－12＋10－8＋6－4＋2－0 【考点】速算巧算 【难度】1星 【题型】解答题

【例83】计算：9898＋203；

【考点】速算巧算 【难度】2星 【题型】解答题

【例84】计算： 1302－（308－149）；

【考点】速算巧算 【难度】2星 【题型】解答题

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【例85】计算：（4256+125+825）－256。

【考点】速算巧算 【难度】2星 【题型】解答题

【例86】计算：9＋99＋999＋9999＋99999；

【考点】速算巧算 【难度】2星 【题型】解答题

【例87】1－2＋3－4＋5－6＋...-1992+1993。

【考点】速算巧算 【难度】2星 【题型】解答题

课堂检测

【随练20】1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20 【考点】速算巧算 【难度】2星 【题型】解答题

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【随练21】星期天小红家来了7个客人。小红拿出一包糖，里面有３５块。小红说：“咱们一共

8个人，每人都要分到糖，但每个人分到的糖数不能一样多，谁会分？”结果大家都无法分，你能帮他们分好吗？

【考点】速算巧算 【难度】2星 【题型】解答题

家庭作业

【作业66】计算：2+4+6+8+10。

【考点】速算巧算 【难度】1星

【作业67】计算：13+14+15+16+17+25

【考点】速算巧算 【难度】1星

【作业68】计算：10-9+8-7+6-5+4-3+2-1

【考点】速算巧算 【难度】1星

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【题型】解答题

【题型】解答题

【题型】解答题

【作业69】计算：1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11

【考点】速算巧算 【难度】2星 【题型】解答题

【作业70】计算：5＋6＋7＋8＋9＋10

【考点】速算巧算 【难度】2星

【作业71】 21-19+17-15+13-11+9-7+5-3

【考点】速算巧算 【难度】2星

【作业72】 8+98+998+9998+99998

【考点】速算巧算 【难度】2星

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【题型】解答题 【题型】解答题 【题型】解答题

【作业73】三个小朋友分５块糖。要求每人都分到糖，但每人分到的糖块数不能一样多,你能分

吗？

【考点】速算巧算 【难度】2星 【题型】解答题

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应用题专题

倍数问题

知识框架

小朋友们，你见过关于倍数的问题吗？那么，你知道什么是倍数问题吗？

倍数问题是指已知一个数或者几个数的和（差）及相互之间的倍数关系，求其中一个数或者几个数的问题。它包括求1倍数或几倍数问题、和倍问题、差倍问题等。现在我们就来学习一些比较简单的倍数问题。

解答求1倍数或几倍数的问题时，特别要注意分清是属于求几倍数的题，还是求1倍数的题。求几倍多几或几倍少的量，都要先求出几倍数，然后再加或减，即先乘再加或减。反之，已知几倍多几或几倍少几的量，而求1倍数，应先减或加，求出几倍的对应量，再除以倍数。

“和倍问题”的特点是：已知两个数的和与两个数间的倍数关系，求两个数各是多少。解答时，我们采用代换的思路，用1倍数去代替几倍数，看和相当于1倍数的几倍，即除以几，先求出1倍数，然后再求出几倍数。解题公式是：

和÷（倍数＋1）＝1倍数 1倍数×几倍＝几倍数 或 和－1倍数＝几倍数

例题精讲

少个？

【例89】妈妈买回一些苹果和桔子，平平数了数，其中有11个苹果，桔子的个数比苹果的3倍多5个。桔

子有多少个？

【例90】妈妈买回一些苹果和桔子，平平数了数，其中有13个苹果，桔子的个数比苹果的4倍少5个。桔

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【例88】妈妈买回一些苹果和桔子，平平数了数，其中有12个苹果，桔子的个数是苹果的3倍。桔子有多

子有多少个？

【例91】果园有苹果树1200棵，梨树的棵数比苹果树的2倍多80棵。梨树有多少棵？

【例92】妈妈买回一些苹果和桔子，平平数了数，其中有27个桔子，桔子的个数是苹果的3倍。苹果有多

少个？

【例93】妈妈买回一些苹果和桔子，平平数了数，其中有40个桔子，桔子的个数是苹果的3倍多4个。苹

果有多少个？

【例94】妈妈买回一些苹果和桔子，平平数了数，其中有43个桔子，桔子的个数是苹果的6倍少5个。苹

果有多少个？

【例95】果园有梨树2480棵，梨树的棵数比苹果树的2倍多80棵。苹果树有多少棵？

【例96】小白兔有胡萝卜和大白菜共54棵，胡萝卜的棵数是大白菜的5倍。胡萝卜和大白菜各有多少棵？

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【例97】学校图书馆有科技书和文艺书共2400本，文艺书的本数是科技书的4倍。两种书各有多少本？

课堂检测

【随练22】体育室有足球和篮球共76只，足球的只数比篮球的3倍还多4只，足球和篮球各有多

少只？

【随练23】两箱鸡蛋共重72千克，如果从第一箱取出13千克放入第二箱，那么第二箱鸡蛋的重

量是第一箱的2倍。原来第一箱和第二箱各有鸡蛋多少千克？

家庭作业

【作业74】大家去野餐，各自带不一样的食品，小红带了13个鸡腿，小林带的面包个数是小红带

的鸡腿的2倍，小林带了多少个面包？

【作业75】熊妈妈买回一些香蕉和蜂蜜，小熊数了数，其中有23根香蕉，妈妈告诉他蜂蜜的罐数

比香蕉根数的5倍多18罐。请帮小熊算算一共有多少罐蜂蜜？

【作业76】熊妈妈买回一些香蕉和蜂蜜，小熊数了数，其中有21根香蕉，妈妈告诉他蜂蜜的罐数

比香蕉根数的6倍少18罐。请帮小熊算算一共有多少罐蜂蜜？

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【作业77】冬天来了小白兔储存了一些大白菜和胡萝卜，其中有78棵胡萝卜，胡萝卜的棵数是大白菜的6

倍，小白兔有多少棵大白菜？

【作业78】学校买来了一些篮球和排球，体育老师数了数，其中有50个篮球，篮球的个数是排球的4倍多

2个。排球有多少个？

【作业79】大家去野餐，各自带不一样的食品，小丽带了40个鸡蛋，小丽带的鸡蛋个数比小明带

的火腿肠3倍少5个，小明带了多少根火腿肠？

【作业80】小白兔和大白兔共存284根胡萝卜，大白兔的胡萝卜的根数是小白兔的3倍。大白兔

和小白兔各有多少根胡萝卜？

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倒推法

知识框架

什么是倒推法，什么样的情况下可以利用倒推法来解决问题。 在加减乘除运算中，引导学生利用倒推法来求未知的数。 学会利用倒推法来解决一些简单的还原问题的应用题。

在我们解答问题的时候，我们往往知道了问题可能发生的结果，但是却不知道为什么会发生这样的结果，这个时候只要我们顺着答案往前一步步进行推理，就可以找到问题发生的原因。这种方法就叫做倒推法，倒推法就是调过头来往前想，在我们解决很多数学问题的时候也要 用到这种方法，这节课就让我们一起学一学用倒推法来解决问题。 例题1

例题精讲

（ （

）＋27=98 ）×2=18

（ 2×( (

）－32=100

)=20 )×2×3=60

86－（ ( (

）=24 )÷3=11 )÷4÷5=2

【例98】按要求画图形.

81÷( )=9

【例99】你知道下面每个起点上的数字各是几吗

【例100】在小聪下面图中

、

、

各代表一个数，算一算它们各是几？

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【例101】大

雄

问小“今年

【例102】你6，减去 6，乘以 6，除以 6，最后结果等于 6．问这个数是几？ 有一个数加上

几

5【例103】小聪明拿了妈妈给的零花钱去买东西．他先用这些钱的一半买了一把尺子，之后又买了一枝1元 岁

3 角钱．你知道妈妈给小聪明多少钱吗? 角钱的铅笔，最后还剩下 ？”小丸子

2，2，2，2， 恰好等于 5．“用我的年龄减去 乘以 减去 再除以 ”你能帮大雄算一下，小丸子今年多少

岁吗？

【例104】馋嘴和尚吃一堆馒头．第一次吃了一半，觉得不够；第二次又吃了剩下的一半，觉得差不多了；第

5个，觉得饱了．他发现还剩下 5个，干脆又吃光了．这一堆馒头有多少个? 三次又吃了

分给了他一半；过一会儿又遇见好朋友B，把剩下的糖的一半分【例105】小亮拿着1包糖，遇见好朋友A，

给了他；后来又遇到了好朋友C，把这时手中所剩下的糖的一半又分给了C，这时他自己手里只有一块了．问在没有分给A以前，小亮这包糖有几块?

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【例106】猪八戒化斋讨来了一篮果子．吃了一半，觉得不够，又吃了剩下的一半，还是觉得不够，又吃

了剩下的一半，最后还是有点馋又偷偷吃了2个果子，觉得饱了．把剩下的给唐僧吃，孙悟空一4个果子了．猪八戒一共吃了多少个果子？ 看发现篮子里只剩下

【例107】在高家庄猪八戒干了很多活，但同时也很能吃．高老太太拿来一篮烧饼，八戒吃了一半又半个，

又吃了剩下的一半又半个，再吃了剩下的一半又半个．最后只剩下一个，他连这一个也不放过，也吃了进去．高老太太的这篮烧饼有多少个?你能把猪八戒 4 次吃的烧饼画出来吗？

课堂检测

【随练24】有一桶油，甲过来买走了一半又半升；乙过来买走了剩下的一半又半升；丙买走了最后剩下的6

升．则这桶油原有多少升？

【随练25】小明有几本小人书自已记不清楚了，只知道：小芳借走一半加 1 本；小容又借走剩下的书的一

2 本；再剩下的书，小军借走一半加 3 本，最后小明还有 2 本书．请问小明原有几本小人半 加 书?

【随练26】现有一堆棋子，把它分成三等份后还剩一颗；取出其中的两份又分成三等份后还剩一颗；再取

出其中的两份再分成三等份后还剩一颗．问原来至少有多少颗棋子?

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家庭作业

【作业81】一个数加上 8，乘以 8．减去 8，除以 8，结果还是 8，求这个数?

【作业82】小

聪 问 “

你

今

20 元【作业83】有一次明明去买玩具，他买了一架小飞机用去了他带去的钱的一半；之后他又用

年

5 元钱．问明明最初带了多少钱? 钱买了一个小汽车，最后还剩下

几

岁

？

”

小小刚去银行取款，第一次取了存款的一半，第二次取了余下的一半，这时存折上还剩下【作业84】

明元，小刚原来存款有多少钱？ 100

回

4．请你算一算，我今年几岁？” 8，“用我的年龄数减去 乘以7 ，加上6 ，除以5 ，正好等于

【作业85】爸爸给小红买了一袋糖，小红决定把糖分给大家吃．第一个看见了妹妹，就把糖的一半

5分给了妹妹； 第二个看见了哥哥，又把剩下的糖的一半分给了哥哥，这时她自己还剩 块糖．请问，爸爸给小红的这袋糖共有多少块?

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【作业86】猪八戒化斋讨来一些馒头．第一次吃了一半，觉得不够，第二次又吃了剩下的一半，

3 个馒头，还是觉得不够，第三次又吃了一半，最后还是有点馋又偷偷吃了 觉得饱了．把5个馒头了．剩下的给师傅们吃，孙悟空一看发现篮子里只剩下 猪八戒一共讨回来多少个馒头？

12 本；这一周售出的本【作业87】文化用品店新到一批日记本，上一周售出本数比总数的一半少

12 本；结果还有 19 本．问这批日记本有多少? 数比所剩的 一半多

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对号入座

知识框架

生活中我们经常遇到这样的问题，去看电影你要根据电影票来找你的位置，上课的时候你要根据老师的要求找对自己的座位等.这些问题里面也蕴涵着一些数学问题，如根据自己座位的位置怎样计算全班的总人数类似的一些问题.解答这些问题需要一定的数学方法，在这节课中我们将一起来学习，在解决这类问题的时候老师要引导学生结合画图来进行分析.

同学们进教室上课，每个人都有一个座号，如果要让人知道你坐的位置，就要说清楚你的座位是几排、几座，你能说说你的座位在哪里吗？

进电影院看电影，看着电影票上的几排、几座，你能找到自己的位置吗？

同学们在操场上排队，如果排成方阵，知道了自己站的位置 ，你能算出全班的总人数吗？今天这节课我们就一起来研究这些问题.

要求方阵的总人数，一般用行数×列数=总人数. 例题精讲例题1

【例108】按要求画图形.

（1）第4排第4格内画○.（2）第1排第2格内画◇.（3）第3列第2格内画△.

【例109】下图是一个棋盘形居住小区的示意图.每一小圆圈表示一栋楼房，由北向南数各排依次称为第1

排，第2排，……第8排；从西往东数依次称为第1栋，第2栋，……第8栋.每栋之间的通道相距100米.小明家住2排7栋，小亮家住7排3栋，图书馆在3排2栋，你能分别找出小明、小亮的家和图书馆的位置吗？算一算，小明和小亮谁去图书馆更近？

【例110】小聪去看电影，他的座位号比10少8，排数是座位号的3倍，你知道他的座位是第几排第几座吗?

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【例111】星期天，小狗买了两张电影票，立刻打电话给小猫：“今天下午2时，请你到儿童电影院看电影，

我在座位上等你.”

“好，我在几排几座?”小猫高兴地说.

小狗马上说：“你的排数，十位数字减去个位数字等于十位数字除以个位数字；你的座号，十位数字加个位数字等于十位数字乘以个位数字.” 小朋友，你知道小猫的座位是几排几座吗?

【例112】爸爸乘飞机去北京开会，领到登机牌时发现自己的座位在第二十几排，排数的个位数字等于十位

数字的2倍.座位号都是用a、b、c、d、e、f代替1、2、3、4、5、6.爸爸座位的字母号对应的数字正好等于排数两个数字之和.请问爸爸的座位是第几排什么字母座?

【例113】一只猫捉了12只老鼠，其中有一只小白鼠.这只猫自言自语地说：“我要分三次吃掉它们，我先

让它们站好队编号，我从第一只开始吃，然后隔一只吃掉一只；吃完后我让它们不许动，第二次还是从剩下的第一只吃起，隔一只吃一只；第三次也是照这个办法吃，把最后一只放了.” 猫的话被聪明的小白鼠听见了，于是它很快选好了一个位置，最后没有被吃掉. 小朋友，你知道小白鼠选的是第几号位置吗?

【例114】影院门前人如海，进院对号坐下来，正数我坐13排，倒数还是13排，出个题目你猜猜，影院座

位有几排?

【例115】四队同学做早操，每队人数都一样，小燕前面八个人，倒着数来她第八，共有几人做早操，小燕

站在第几行?

【例116】小朋友排成十字做早操，小明前面4个人，后面5个人，左边6个人，后面4个人.一共几人做

早操？

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【例117】一天，小花猫去找小狗妮妮玩.看见好多小狗排了一个方阵图形的队伍在做形体训练.小花猫一眼

就看到了妮妮，它站的位置是它的前边有3只小狗，它的后边也有3只小狗，它的左边有4只小狗，它的右边也有4只小狗.小朋友，你知道方阵中共有多少只小狗吗?小花猫要找的那只小狗妮妮是第几行第几列呢?

课堂检测

【随练27】军训的学生进行队列表演，排成了一个10行10列的正方形队列，如果去掉一行一列，

要去掉多少人?

【随练28】游行队伍中，手持鲜花的少先队员在一辆彩车四周围成了每边两层的方阵，最外面一

层每边13人，彩车周围的少先队员有多少人?

【随练29】同学们做操，小林站在左起第5列，右起第3列；从前数前面有4个同学，从后数后

面有6个同学.每行每列的人数同样多，做操的同学一共有多少人?

【随练30】学生进行队列表演，排成了一个正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉11人，问这

个方阵共有多少人？

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家庭作业

【作业88】按要求画图（1）第2列第3格内画◇（2）第3排第4格内画○（3）第4排第1格内

画☆.

【作业89】妞妞到图书室借《蓝猫警长》，管理员要她自己去取，书柜数是一个两位数，它的十位

数字是个位数字的2倍，柜数是层数的7倍，每个书柜层数不超过5层.妞妞应到第几柜第几层去找《蓝猫警长》这本书?

【作业90】同学排队做早操，小红站在正中央，从前往后她第5，从后往前也第5，从左往右她第

5，从右往左还第5，细心的同学算一算，共有几人做早操？

【作业91】森林里正准备召开运动会，熊大伯是裁判长.运动会开始了，熊大伯宣布：“运动会现

在开始，请各代表报告人数.”一只小猴登上前台：“报告裁判长!小猴代表队的运动员排成了一排，我和小弟、小妹是这一排的最后三个人，报完数后，我们三人报的数加起来的和是24.”小朋友们，你知道共有几只小猴参加运动会吗?

【作业92】影院门前人如海，进院对号坐下来，正数我坐15排，倒数还是15排，出个题目你猜

猜，影院座位有几排?

【作业93】小华在教室里坐的位置从前往后数是在第3排，从后往前数是第4排.每排坐了8个同

学，这间教室有多少个座位?

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【作业94】五队同学做早操，每队人数都一样，小红前面5个人，倒着数来她第5，共有几人做早

操，小红排在第几行?

【作业95】“六一”前夕，学校举行画展，把展出的画挂成一排，卉卉的画从左往右数挂在第16

位，彤彤的画从右向左数挂在第10位，彤彤的画挂在卉卉的左边，中间隔着2幅画，这次画展一共展出多少幅画?

【作业96】 学校准备在正方形的操场上进行队列训练，要求四个角上各站1名同学，每边共站6

个同学，那么这次一共有多少个同学参加训练？

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和差问题

知识框架

引导学生通过复习倍数三量之间的关系，为今天研究和差问题进行铺垫，让学生更深刻的掌握倍数问题的基本数量关系．

⑴ 已知几倍数和一倍数，求倍数，用除法计算． ⑵ 已知一倍数和倍数，求几倍数，用乘法计算． ⑶ 已知几倍数和倍数，求一倍数

告诉了我们两个数的和，还告诉了我们两个数的差，要我们分别求这两个数是多少．这样类型的问题我们把它归为一类，称为“和差问题”．和差问题怎样来解答呢？有没有什么规律呢？现在就让我们带着问题，一起去研究吧！

知道两个数的和，以及它们的差，求这两个数，解决和差问题需要我们画线段图来分析， 方法如下：方法一：(和＋差)÷2=大数和－大数=小数

方法二：(和－差)÷2=小数和－小数=大数

解答和差应用题，首先要弄清两个数相差多少的不同叙述方式．有些题目明确给了两个数的差，而有些应用题把两个数的差“暗藏”起来，我们管暗藏的差叫“暗差”

例题精讲

【例118】文具王国的尺子点点和跳跳是一对好朋友，他们一会儿高兴地把自己绑在一起，一会儿又闹起小

别扭，竖起小脑袋比比谁长的高，每天他们总是有使不完的劲儿．同学们！你能根据下面的图，算出点点和跳跳各有多长吗？

【例119】二年级一班和二班共有 85 人，一班比二班多 3 人．问一班、二班各有多少人？

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【例120】两筐水果共重150千克，第一筐比第二筐少10千克，两筐水果各多少千克？

【例121】小勇家养的白兔和黑兔一共有 22 只，如果再买 4 只白兔，白兔和黑兔的只数一样多．小勇家

养 的白兔和黑兔各多少只？

【例122】甲、乙两人同时以相同的速度打字，2 分钟共打了 240 个字，已知甲每分钟比乙多打 10 个字．问

甲、乙两人每分钟各打多少个

【例123】有大、小两个油桶，一共装油 24 千克，两个油桶都倒出同样多的油后分别还剩 9 千克和 5 千

克．问：原来大、 小两个油桶各装油多少千克？

【例124】丁丁在期中考试时，语文、数学两科平均分是 91 分，数学比语文多 2 分，那么丁丁语文和数

学各得了多少分

10 本放入下层，则两层书架上书数【例125】图书馆的书架上、下两层共存书 220 本，如果从上层拿出

相等．求原来上、下层各存书多少本？

【例126】小华和小敏共有铅笔 25 枝，如果小华用去 4 枝，小敏用去 3 枝，那么小华还比小敏多 2 枝，

小华和小敏原来各有多少枝铅笔？

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【例127】兔妈妈拔了29个萝卜分给了小白兔和小黑兔，因为分的萝卜不一样多，兔妈妈让小白兔给了小黑

兔5个，这时再来数发现小黑兔比小白兔多出1个萝卜，你知道原来小白兔和小黑兔各分到了多少个萝卜吗？

课堂检测

【随练31】哥哥今年14岁，妹妹今年8岁，当兄妹俩岁数的和是42岁时，俩人各应该是多少岁？

【随练32】有三块布料一共 190 米，第二块比第一块长 20 米，第三块比第二块长 30 米．每块

布料各长多少米？

家庭作业

【作业97】果园共260棵桃树和梨树，其中桃树的棵数比梨树多20棵．桃树和梨树各有多少棵？

【作业98】有一根钢管长12米，要锯成两段，使第一段比第二段短2米．每段各长多少米？

【作业99】

乙两个仓库原有大米各多少包？

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甲

乙两个仓库共存大米56包，从乙仓库调8包到甲仓库，两个仓库大米的包数就同样多了，甲、

【作业100】两个连续奇数的和是 36，这两个数分别是多少？

【作业101】陈红和李玲平均身高为 130 厘米，陈红比李玲高 8 厘米，陈红和李玲身高各是多少厘米？

【作业102】两箱图书共有66本，甲箱如果借出10本，就比乙箱少4本．甲、乙两箱原有图书各多少本？

【作业103】方方和圆圆共有图书70本，如果方方给圆圆5本，那么圆圆就比方方多4本．问：方方和圆圆

原来各有图书多少本？

【作业104】两箱图书共有120本，甲箱如果放入乙箱5本，就比乙箱少4本．甲、乙两箱原有图书各多少

本？

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间隔与分段

知识框架

解上楼梯问题就是考虑有几个间隔（或几次），解植树问题就是考虑有几段。

锯木头的时间、排队伍的长度、时钟敲的时间等，实际上都是上楼梯问题，就是台阶总数=每层楼梯的台阶数（所达到的层数－起点的层数）。

解植树问题就要弄清有几段。如：100米的长度，每10米载一棵树，就分成10段。如果排成一排，栽的棵树=段数＋1，即100÷10＋1=11（棵）。如果围城圆形，栽的棵树=段数，即100÷10=10（棵）。

例题精讲

小朋友，张开手，

五个手指人人有，

【例128】

手指之间几个“空”， 请你仔细看一看？

【例129】小朋友在一段马路的一边种树。每隔1米种一棵，共种了11棵，问这段马路有多长？

1米

【例130】一段200米的马路两边种树。每隔4米种一棵，共种了多少棵树？

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4米

【例131】一段马路两边种树。每隔6米种一棵，共种了30棵树，这段马路多少米？

…… 6米 30

棵

……

【例132】把一根木头锯成3段，要锯几次？如果每锯一次用3分钟，一共要锯多少分钟？

【例133】把1根木头锯成2段，要2分钟。共有5根木头，每根锯成4段，要几分钟？

【例134】小林家住在三楼，他每上一层楼要走14级台阶，小林从一楼走到三楼要走多少级台阶？

【例135】某人到一座高层楼的8楼去办事，不巧停电，电梯停开。他从1楼走到4楼用了48秒。用同样的速度走到8楼，还要多长时间？

【例136】时钟5点打5下，一共需要4秒钟。问中午12点打12下需要几秒钟？

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【例137】时钟4点钟敲4下，用12秒敲完。那么6点钟敲6下，几秒钟敲完？

课堂检测

【随练33】同学们上体育课，有100个男生，每5人排成一排，排与排之间相隔1米，每5排成

一队，队与队之间相隔5米，问该男生队列的长度有多少米？

【随练34】一个圆形的花坛，周长是180米。每隔６米种芍药花，每相临两棵芍药花之间种两棵

月季花。可以栽多少棵芍药花？多少棵月季花？

家庭作业

【作业105】把一根木头锯成5段, 每锯一次用2分钟，一共要锯多少分钟？

【作业106】一根钢管长132米，锯成4米一段，如果每锯一次需要3分钟，要几分钟才能锯完？

【作业107】12名男生排成一队，老师要求每两名男生之间插进六名女生，可以插进几名女生？

【作业108】时钟2点打2下，间隔2秒，4秒敲完，4点打4下，几秒敲完？

【作业109】小明家住在4楼，他每上一层楼需要3分钟，小明从一楼走到四楼要几分钟？

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【作业110】一段马路的两边种树。每隔5米种一棵，共种了22棵，问这段马路有多长？

5米

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两步应用题

知识框架

我们已经会解答一般计算的应用题了，如果改变条件的说法，由直接告诉的条件变为需要计算才知道的条件，那么一步应用题就变为两步应用题了。

解答两步应用题时，先要找出条件和所求问题，再根据已知条件，找到隐蔽的条件，最后解决题中的问题，两个量进行比较时，一定要弄清谁多谁少，是求多的数量，还是求少的数量，再确定正确的方法。

例题精讲

例题1

【例138】二（1）班有59个同学，二（2）班有25个女生，26个男生，二（1）班比二（2）班多几个同学？

【例139】解放军某部长途行军，第一天走40千米，第二天上午走18千米，下午走15千米， 比第二天多

走几千米？

【例140】王奶奶家养了45只鸭子、70只鸡，养的鹅的只数和鸭同样多，鸡、鸭、鹅共多少只？

【例141】妈妈买了10斤苹果，8斤梨，买的橘子和苹果一样重，共买来水果多少斤？

【例142】二（4）班48个同学参加体育活动，打球的有15个，踢球的有20个，剩下的跳绳，跳绳的有多少个？

【例143】36个同学参加运动会，其中15人参加游泳比赛，13人参加乒乓球比赛，剩下的参加田径比赛，

参加田径比赛的有几人？

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【例144】一桶油连桶重15千克，吃了一半油以后，连桶重8千克。吃掉了多少千克油？满桶油重多少千

克？

【例145】一桶水连桶重250千克，用去一半后，连桶还重145千克，用去多少千克水？满桶水重多少千克？

【例146】小明、小红各有一些邮票，小明给小红20张，两人就同样多了。已知小明原有50张邮票，求小

明、小红共有多少张邮票？

【例147】有两桶油，从第一桶倒10千克给第二桶，两桶油就一样多了。已知第一桶原有30千克，求两桶

油共重多少千克？

课堂检测

【随练35】一个空筐重2千克，往筐里放入32千克苹果，那么装着苹果的筐的总重量是空筐的多

少倍？

【随练36】玲玲用50元买了4样不同价格（整元数）的学习用品文具，其中书包要花最多的钱，

那么买书包最多可以花多少元？

家庭作业

【作业111】城中小学五月份用电1530度电，六月份上半月用电780度，下半月用电660度，城

中小学五月份比六月份多用多少度电？

【作业112】红星村去年栽果树350棵，今年，又栽了200棵杨树和170棵柳树，今年栽的树比去

年栽的树多多少棵？

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【作业113】图书室有连环画128本，文艺书96本，买来的故事书比连环画与文艺书的总和少80

本。图书室有故事书多少本？

【作业114】菜场有青菜7筐，萝卜8筐，运来的黄瓜是青菜与萝卜总数的2倍，菜场运来黄瓜多

少筐？

【作业115】建筑工地有54吨水泥，第一天用去5吨，比第二天少用2吨，两天后还剩多少吨水

泥？

【作业116】商店运来50千克白糖，第一天卖掉15千克，第二天比第一天多卖5千克，商店现在

还有多少千克白糖？

【作业117】一桶油连桶重16千克，用去一半油后，连桶重9千克，原有油多少千克？桶重多少

千克？

【作业118】王奶奶用1千克重的纸箱去卖枣，装满一箱枣后共重11千克。现在王奶奶要把买来

的枣给李阿姨分一半，王奶奶应分给李阿姨几千克？

【作业119】有红、黄两种花，如果红花拿去5朵，两种花就同样多了。已知红花原有20朵，求

红、黄两种花共有多少朵？

【作业120】小明、小红有一些小棒，小红给小明8根后，两人小棒的根数同样多。小红原有20

根。求小红、小明原来共有多少根小棒？

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平均数

知识框架

在日常生活中，我们经常遇到这样的情况：有几个杯子，里面的水有多有少。要想使杯中的水一样多，就得把水多的杯子里的水倒一些到水少的杯子里。经过反复几次，直到几个杯子里的水一样多。这就是我们经常遇到的“移多补少”——也就是求平均数的问题。

例题精讲

【例148】小红第一天吃了8个桔子，第二天吃了4个桔子，这两天小红平均每天吃几个桔子？。

【例149】小帅第一天写了7页口算题，第二天比第一天多写了4页口算题，第三天比第二天多写了4页口

算题，这三天小帅平均每天写几页口算题？

【例150】小明在一学期的5次数学测验中的得分分别是95、87、92、100、96。求小明平均每次数学测验

的得分。

【例151】小明家离学校的距离是6000米。小明骑自行车从家到学校需要40分钟，从学校骑回家需要60

分钟。求小明往返的平均速度。

【例152】甲地到乙地的全程是60千米。小红骑自行车从甲地到乙地每小时行15千米，从乙地到甲地每小

时行10千米。求小红往返的平均速度。

【例153】商场做活动，买4盒酸奶送一盒，每盒酸奶单价5元，妈妈买了4盒，实际上每盒酸奶单价是多

少元？

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【例154】快过年了，妈妈花了100元，买了3千克单价是每千克24元的奶糖，和2千克单价是每千克14元的软糖。那么平均起来每千克糖是多少元？

【例155】商店用30千克酥糖和20千克水果糖混合成什锦糖。每千克酥糖8元，每千克水果糖3元。每千

克什锦糖应卖多少元？

【例156】上一个星期，小红开始几天得了20颗小星星，后来又得了22颗小星星，上周小红平均每天得几

个小星星？

【例157】小英4次语文测验的平均成绩是89分，第5次测验得了94分。问她5次测验的平均成绩是多少？

课堂检测

【随练37】有5个数的平均数是20。如果把其中的一个数改成4，这时候5个数的平均数是18。

求改动的数原来是多少？

【随练38】有甲、乙、丙3个数，甲、乙的和是90。甲、丙的和是82，乙丙的和是86。甲、乙、

丙3个数的平均数是多少？

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家庭作业

【作业121】5名男生共吃了12个苹果，3名女生共吃了4个苹果，平均每名学生吃了几个苹果？

【作业122】小光在学习写大字，第一天写了10个大字，第二天写了12个大字，第三天老师表扬

他写的好，他就又20个，这三天小光平均每天写几个大字？

【作业123】小猪有8个苹果，小狗比小猪多4个苹果，小猫比小狗多1，它们要把苹果放在一起

平均分，那么它们各自分得几个苹果？

【作业124】上周，妈妈买了两次苹果，第一次买了13个苹果，第二次买了15个苹果，正好被小

红一周吃完了，上周小红平均每天吃几个苹果？

【作业125】小明去离家1500米的公园玩去。去的时候用了26分钟，回家用去了34分钟。求小

明往返的平均速度。

【作业126】射击手每次比赛射8次，前7次射击手的平均成绩是92分，第8次射击得了100分。

问她8次射击的平均成绩是多少？

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杂题专题

操作与应用

知识框架

在我们生活中有些数学问题并不需要多么复杂的计算，只需要我们开动脑筋思考，多动手操作就能解决．解答这类题可以锻炼我们的思维，使我们的动手能力更强．相信同学们对这样的问题一定很感兴趣．

例题精讲

【例158】有一户人家，父亲是胜利小学的老师，女儿是胜利小学的学生．这两个人从家走到学校，各有自

己的习惯路线．父亲喜欢尽量少拐弯；女儿喜欢一路穿街走巷，不放弃每次拐弯的机会．如图你认为父亲和女儿谁先到学校呢？

【例159】一天，乐乐从盒子里取乒乓球玩，她每次拿出总数的一半，再放回1个．她拿了81次乒乓球后仍然

放回去1个，这时盒子里还剩下2个．那么，原来盒子里有多少个乒乓球呢？

【例160】爸爸买了一个生日蛋糕为贝贝过生日，贝贝高兴极了爸爸指着桌上的蛋糕对贝贝说：“这个蛋糕

由你来切，你要让妈妈吃的蛋糕多你一倍，而爸爸吃的是你的一半．”小朋友，你知道这个蛋糕

该怎么分吗？

【例161】有两个大小一样的瓶子，一个里面装满一瓶水，一个里面装有半瓶橙汁，现在把水倒满橙汁瓶，

搅拌均匀．然后再把橙汁瓶里搅拌均匀的橙汁水倒满装水的瓶，也同样搅拌好．这时，两个瓶子里装的都是橙汁水了，原来装水的瓶里是满满一瓶，原来装橙汁的瓶是半瓶．那么现在哪个瓶里的橙汁甜一些呢？

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【例162】大勺子一次能装油250克，小勺子一次能装150克油，你能用这两把勺子往一个空杯子里倒入350

克油吗?

【例163】两个汽车驾驶员要平分12千克的一大桶汽油．眼下身边只有能装9千克和5千克的两只空桶，

怎样倒才能使他们分到一样多的油呢？

【例164】一袋500克的白糖，老师交代贝贝用一台天平把它分成三份，一份70克，一份180克，一份250

克．当贝贝动手称时才发现，这架天平只配有两个砝码，5克和50克各一个．贝贝一下子犯难了

不知道该怎样分．小朋友，你能帮贝贝分一分吗？最少要称几次？

【例165】黑猫警长在海关截获了一批装有牛肉罐头的九个大箱子，箱子里每盒罐头重100克．在这九个大

箱子中，其中有一箱罐头已经过期，不符合出口标准，过期的罐头每盒要比原来重10克．黑猫警长准备用一个大的天平称把这箱过期罐头称出来，请你帮助想一想，最少需要称几次就能把这箱不合格的罐头找出来？

【例166】将24块水果糖分成三堆．第一堆11块，第二堆7块，第三堆6块．现在要将三堆糖都变成每堆

8块．规则：1．只能移动三次(一次可移若干块)．2．向某一堆中加入的糖块总数要等于原来该堆的糖块数请你试一试，几次能成功?

【例167】有九颗珍珠，其中有一颗假珍珠，但外观和真的一样，看是看不出来的，只是假珍珠比真珍珠轻

一些，你能利用天平，不用砝码，只称两次就找出假的珍珠吗？怎样称？

课堂检测

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【随练39】有6盆花摆成一排，阿春和李红轮流取花，每次可取1盆或2盆，谁取到最后一盆谁就算赢(不

允许不取)．阿春要想取胜，先取还是后取?如何取?

【随练40】3个大小不等的中心有孔的圆盘，按大的在下，小的在上的次序套在木桩上，构成了一座圆盘塔，

现在要把这座圆盘塔移到另一个木桩上，规定移动时要遵守一个条件，每搬一次只许拿一个圆盘而且任何时候大圆盘都不能压住小圆盘．假如还有第三个木桩可作临时存放圆盘之用，问把这 3 个圆盘全部移到另一个木桩上至少需要搬动多少次?

【作业127】10个球排成一排，小明和小军一起玩抢球游戏．游戏规则是：每次只能取1个球，谁取到最后

家庭作业

一个球谁为胜，两个人轮流按顺序取，不允许不取．小明要想取胜，先取还是后取?为什 么?

【作业128】有一堆沙子，两个砝码，一个重9克，一个重5克，你能用这两个砝码称出19克的沙子吗?

【作业129】有九个铅球，其中有一个重量轻一些，但外观和真的一样，看是看不出来的，利用天平，不用

砝码，至少称多少次就找出轻的铅球?

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【作业130】妈妈买回家一篮桃子，洗干净了一些放在盘子里，小玲发现如果把篮子里的桃再放到盘子里2

个，盘子里和篮子里桃的数量就一样多了，你能说出篮子里比盘子里多几个桃子吗？

【作业131】一个骰子(是一个正方体，每个面分别有 1，2，3，4，5，6 个点)，从三个不同的角度 看，情

况如下图所示，请你判断这个骰子谁与谁是相对的面．

【作业132】在桌上有三张扑克牌，排成一行．已经知道：K右边的两张牌中至少有一张是A，而A左边的

两张牌中也有一张是A．方块左边的两张牌中至少有一张是红桃，而红桃右边的两张牌中，也有一张是红桃．想想看：这三张牌是什么牌，怎样排列的？

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等量代换

知识框架

有没有听过“曹冲称象”的故事？聪明的小曹冲是利用许多碎石的重量来代换大象

出结果的，从这个故事中我们可以发现：相等的量可以互相代替，这就是等量代换的思想。

的重量而称

例题精讲

【例168】看下图，右边要站几只

跷跷板才能平衡.

【例169】3只

的重量等于1只

的重量，1只

等于3只

的重量，1只

重9千克，1只

与1只

【例170】

各重多少千克？

和是一对好朋友，它们各代表一个数，你知道它们是几吗？

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—=6 +=12

=（ ） =（ ）

【例171】水果兄弟们也组成了各种不同的图文算式，它们各代表一个数，你能猜出它们各代表几吗？

【例172】1个

个

的重量等于8个的重量？

的重量，一个

的重量又等于2个

的重量，1个

的重量是几

【例173】下图中第三个盘子应放几个 才能保持平衡?

【例174】第三个

应放几个

才能保持平衡．

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【例175】 1个一个

【例176】根据下面算式，算出

、

、

各表示几？

的重量和2个

的重量是13个

的重量，而1个

的重量是5个

的重量，

的重量是多少个的重量？

【例177】1头

的重量等于4头

的重量？

的重量，l头

的重量等于3匹

的重量，则1头

的重量

等于多少匹

课堂检测

和20条

和

，共卖了268元；第二次又卖了同样的3个

的单价各是多少元？

和16条

，共卖了236元．问

【随练41】动物之家第一次卖了3个

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【随练42】1头

1只

【随练43】已知1个

和1个

共重5千克．1个

和1个

共重6千克．1个

和1个

共

的重量等于2头的重量和。那么1头

的重量，也等于4只等于几只

的重量，还等于2只

1头、

、

的重量？

重7千克．求每一种球各重多少千克？

家庭作业

【作业133】一个

等于（ ）个。

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【作业134】1个那么1个

【作业135】1个

的重量等于2个

的重量，1个

的重量等于8个

的重量，2个

的重

和3个

的重量是15个的重量？

的重量，而1个

的重量等于9个

的重量，

的重量等于几个

量等于3个

【作业136】巳知

的重量，那么1个

的重量等于几个的重量？

＝60克，求＝？克．

【作业137】求下面图形所表示的数.

+++

=18 =13 =15

=（ ） =（ ） =( )； +

+ + =14 =10

+ +=( )， =( )，

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【作业138】已知13只于1只

【作业139】1头

只

【作业140】2只

的重量等于2只

和1只

和1只一样重？

的重量，而4只和1只的重量等

的重量，多少只

的重量等于8只的重量是几只

的重量，而2只的重量又等于3只的重量，那么1

的重量？

的重量等于21只

的重量？

的重量，7只的重量相当于4只的重量，那么1只

的

重量相当于多少只

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逻辑推理

知识框架

三个小朋友比谁的红花多：小明比小红多，小丽比小红少，你知道他们谁的红花多吗？ 在日常生活中，我们经常遇到这类问题，所有这些问题的解决，需要我们认真的审题，仔细的分

析，进行合理的推理，做出正确的判断，最终找到问题的答案。

推理是一个比较复杂的思维过程。要充分利用题中的已知条件，先试着用你的猜想去对照每个条件，看是否符合。如果发现矛盾，则要调节思考的方向。在思维推理过程中，要充分运用已经推断出的结论作为条件，逐级推进，直到作出正确的判断。

在得到结论后，还要学会把结论带到原题中检验。如果没有矛盾，说明推理正确。

例题精讲

【例178】桌上有3盘梨，请根据小猫小狗说的话，猜一猜，哪一盘梨最多？哪一盘梨最少？

【例179】明明、红红和林林一起比身高。比的结果如下：

⑴明明比红红高； ⑵明明比林林矮； ⑶林林比红红高。

请你想一想，最高的是谁？最矮的是谁？

【例180】 4辆汽车进行四场比赛，每场比赛结果如下：

⑴1号汽车比2号汽车跑得快；

⑵2号汽车比3号汽车跑得快；

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第一盘比第三盘多3只 第三盘比第二盘少5只

⑶3号汽车比4号汽车跑得慢；

⑷4号汽车比1号汽车跑得快， 哪辆汽车跑得最快？

【例181】王菲、李娜、莫文蔚都穿着连衣裙去参加游园会。她们穿的裙子一个是花的，一个是白的，

一个是蓝的。只知道莫文蔚没有穿蓝裙子，王菲既不穿蓝裙子，也不穿花裙子。 请你想一想：穿白裙子的是哪位？穿蓝裙子的是哪位？穿花裙子的是哪位。

【例182】小云、小量、小华三个好朋友的爸爸，一位是工人，一位是医生，一位是教师。请根据下面

三句话，猜一猜他们的爸爸各是谁？ ⑴小云的爸爸不是工人； ⑵小量的爸爸不是医生；

⑶小云的爸爸和小量的爸爸在听一位当教师的爸爸讲故事。

【例183】有甲、乙、丙、丁4人同住在一座4层的楼房里，他们之中有工程师、工人、教师和医生。

如果已知：

① 甲比乙住的楼层高，比丙住的楼层低，丁住第4层。 ② 医生住在教师的楼上，在工人楼下，工程师住最低层。 问：甲、乙、丙、丁各住在这座楼的几层？各自的职业是什么？

【例184】小兰、小梅、小青三人进行跑步比赛，赛后小兰说：“我不是第二名。”小梅说：“我不是第一名。”小青说：“我前面没有人。”请帮帮小兰、小梅、小青排排名。

【例185】对某班同学进行了调查，知道如下情况：①有哥哥的人没有姐姐。②没有哥哥的人有弟弟。③有

弟弟的人有妹妹。

请问：有姐姐的人没有哥哥，对吗？有弟弟的人没有哥哥，对吗？没有哥哥的人有妹妹，对吗？

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【随练44】我国有“三山五岳”之说，其中五岳是指：东岳泰山、南岳衡山、西岳华山、北岳恒山和中岳

嵩山，一位老师拿着这五座山岳的图片，并在图片上标出数字，他让五位学生来辨别，每人说出两个，学生回答如下： 甲：2是嵩山，3是华山， 乙：4是衡山，2是嵩山， 丙：1是衡山，5是恒山， 丁：4是恒山，3是嵩山， 戊：2是华山，5是泰山。

老师发现五个学生都只是说对了一半，那么正确的说法应该是什么呢？

【随练45】有3顶红帽子、2顶白帽子，现将其中的3顶给排成1列的3人每人戴1顶，每人都只能看到自

己前面的人的帽子，而看不见自己和自己后面人的帽子，同时3人也都不知道剩下的2顶帽子的颜色（但都知道他们3人的帽子是从3顶红帽子、2顶白帽子中取出的）。 先问站在最后边的人：“你知道你戴的帽子是什么颜色吗？” 最后边的人回答说：“不知道。”

接着让中间的人说出自己戴的帽子的颜色，中间的人也回答说：“不知道。” 听了他们2人的回答后，你能知道站在最前面的人戴的什么颜色的帽子吗？

课堂检测

家庭作业

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【作业141】小明、小红和小林一起比大小，请根据下面三句话，猜一猜，谁最大？谁最小？

⑴小明比小红大三岁；⑵小林比小明小一岁。

【作业142】小和、小红、小洁和小天四人比高矮。小和说：“我比小红高。”小洁说：“小天比小红矮。”小

天说：“小洁比我还矮。”请按从高到低的顺序把名字写出来。

【作业143】请根据动物们说的话，猜一猜，哪一种水果最重？哪一种水果最轻？小猴说：“香蕉比桃重。”

小兔说：“苹果比香蕉轻。”小象说：“苹果比桃重。”

【作业144】请根据下面三句话，猜一猜哪一班人数最多？哪一班人数最少？⑴中班比小班少⑵中班比大班

少⑶大班比小班多。

【作业145】甲、乙、丙、丁四个小朋友一起比身高，已知乙不是最高，但比甲、丁高，而甲又比丁高。请

你想一想，最高的是谁？最矮的是谁？

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时间与日期

知识框架

我们已经学过了有关时间的基本知识，如年、月、日、时、分、秒，同时对星期、季度、世纪、闰年等也比较熟悉。日常生活中，我们几乎每天都在和钟表、日历（挂历、台历）等打交道。有了这些关于时间、日期的知识，有了认识、计算和掌握时间的经验，我们分析、解决时间问题也就比较容易了。

分析和解答有关时间的问题，必须首先掌握有关时间的基本知识。比如平年一年有 365天，闰年一年有366天；一天有24小时，1小时=60分，1分=60秒；1星期=7天，等等。

计算从某年（月、日）起到某年（月、日）共经过的天数，一个般要连头带尾算，也就是经过的年数（天数）=结尾数－开始数＋1。而计算年龄（周岁），一般用今年的年份数－出生的年份数。

对于涉及星期的问题，有时需要画出一张日历表帮助推算。要注意的是，连续的日期数钟点数，不一定是连续的自然数。

例题精讲

【例186】从2012年11月26日到2012年12月16日有多少天？

【例187】今天是2013年1月9日,2013年2月9日开始放过年长假，请问从今天到2月8日还要上多少天

班？

【例188】2012年12月22日是迎春杯初赛，2013年2月2日是迎春杯复赛时间，从请问我们有多少天准

备复赛？（注：复习时间从2012年12月23日算到2013年2月1日）

【例189】从2012年8月16日到2013年3月8日共经过多少天？

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【例190】今天是星期一，再过17天后是星期几？

【例191】昨天是9日，今天是星期三，29日是星期几？

【例192】7月8日是星期五，9月28日是星期几？

【例193】2012年1月1日是星期日，那么2013年1月1日是星期几？

【例194】小帅买了一只小白兔。他从早上7点起床开始看了一次，以后每2个小时看一次，看了8次后，

妈妈说该睡觉了，小帅几点睡觉？

【例195】小红16号下午买回来一盆花。她从晚上7点开始第1次浇花，然后每阁12小时浇一次。小红第8次浇花是在几号几点？

课堂检测

1999【随练46】小明1999年已经20多岁了，可是他1996年才过第6个真正的生日。小明出生在几月几日，

年小明几岁（小明刚出生的那天算做过第1个生日）？

【随练47】某年的6月份有4个星期三，5个星期二，这年的6月1日是星期几？

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家庭作业

【作业146】从7月8日到7月24日有多少天？

【作业147】一般暑假是从7月1日放到8月31日，一般暑假一共有多少天？

【作业148】从2011年10月10日到2012年3月24日有多少天？

【作业149】今天是星期六，再过112天后是星期几？

【作业150】2012年10月21日是星期日，那么2012年11月21日是星期几？

【作业151】2013年2月16日是星期六，那么2013年4月28日是星期几？

【作业152】妈妈买回来一盆花。小林从6号早上6点起床开始第1次浇花，然后每隔8小时浇一次。小林

第18次浇花是在几号几点？

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数字游戏 巧求周长

知识框架

数字游戏问题是数学游戏中的一类．它要求从数字以及数字间的运算中发现规律，然后按照这个规律去填数或填写运算符号．解决这一类问题的关键是寻找规律、发现规律．

1、找规律填写数列里面的数 2、找规律填写表格中的数 3、找规律填写图形中的数

从以上几种填数游戏中，我们发现填数的过程就是找规律的过程．在找规律中一是要注意数字排列的顺序，看清它们所在的位置．二是把已经知道的数字进行简单变形，如相加，相减，乘2，乘3，除2等．三是发现规律之后按这个规律进行运算求出所需要的结果．

例题精讲

【例196】在□中填入适当的数．

1 9 2 8 3 7 4 □

【例197】在□中填入适当的数．

15 14 12 11 9 8 □ □

【例198】在( )里填数．

2 0 2 2 4 6 10 ( )

【例199】在空格中填入合适的数．

【例200】在空格中填入合格的数．

【例201】在空格中填入合适的数．

【例202】在空白处填入合适的数。

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【例203】用○，★，△代表三个数，有：

填出( )中的数．

【例204】把2，3，4，6，7，9分别填到下面六个圆圈中，使三个算式成立．

【例205】把1～8八个数字分别填入图中八个空格中，使图上四边正好组成加、减、乘、除四个等式．

课堂检测

【随练48】在合适的地方填写“+”或“－”，使等式成立．

1 2 3 4 5 6＝1． 1 2 3 4 5 6＝2.

【随练49】从+、-、×、÷、( )中挑选合适的符号，填入适当的地方，使下面等式成立．

①5 5 5 5 5=1 ②5 5 5 5 5=2 ③5 5 5 5 5=3

④5 5 5 5 5=4.

家庭作业

【作业153】找规律填数：

（1）1，2，3，3，2，1，4，5，6，6，5，口．， （2）4，6，10，16，26，42，口． （3）4，6，10，16，24，34，口．

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【作业154】找规律填数：

（1）（2）（3）

【作业155】找规律填数：

（1）

（2）○-○=○+○．

【作业156】把2、3、13、18分别填入下面○里，使等式成立．

【作业157】△、○、★分别代表三个不等于0的数字，并且△×★=O，△+△+△=○-△-△，那么★代表

的数字是多少．

【作业158】把l～9九个数字填在○里，(每个数字只能用1次)，组成三道正确的算式．

○+○=○，○-○=○，○×○=○．

【作业159】△、○、★、□代表四个不同的数字，它们组成两个式子，请在( )内填上合适的数字．

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重重叠叠

知识框架

之前，我们遇到过这样一些问题，两根木头钉在一起还有多长；把两块毛巾挂在铁丝上需要几个夹子等等.解答这些问题的时候都要考虑重叠的部分.在这节课中我们将这些类似的问题归纳在一起，让学生通过有目的的研究，来找到解决重叠问题的方法.

同学们，我们都玩过剪纸，如果把两张纸用胶水粘贴在一起，两张纸必然会有一端上下重合在一起，这重合的部分就是重叠部分.以前我们也遇到过一些重叠问题，解决重叠问题首先要弄清楚是哪部分重叠，还要弄清重叠了几部分，然后再来根据题目的意思具体分析.这节课我们就专门来研究这个问题.

例题精讲

【例206】洗好的8块手帕用夹子夹在绳子上晾干，每一块手帕的两边必须用夹子夹住，同1个夹子夹住相邻

的两块手帕的两边，这样一共要多少个夹子?

【例207】把两根长为20厘米的筷子用绳子捆成一根长筷子，中间捆在一起的重叠部分是3厘米.捆成的长筷

子长多少厘米？

【例208】小玲用胶水将两张同样长的纸粘成了一张长为80厘米的长条，其中粘在一起的部分长10厘米，这

两张纸条各长多少厘米？

【例209】有两根铁丝，一根长为30厘米，另一根长为50厘米，将这两根铁丝焊接成一根长为75厘米的长铁

丝.那么，中间的焊接重叠部分长为多少厘米？

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【例210】有四块各长80厘米的木板，钉成一块木板(如图)，中间钉在一起重叠的部分是10厘米，钉成的木

板长多少厘米?

【例211】把10张图片用图钉像下图那样钉在橱窗里，一共要用多少个图钉?

……

【例212】二（1）班同学人人参加课外活动，有20人参加英语班，有26人参加电脑班.其中4人两个班都

参加.二（1）班一共有多少人？

【例213】20个同学报名参加美术组和舞蹈组，其中有16人参加了美术组，12人参加了舞蹈组.问两个小

组都参加的有多少个同学？

【例214】某班有20个同学参加作文和数学竞赛，其中参加数学竞赛的有15人，参加作文竞赛的有13人，

问只参加数学竞赛和只参加作文竞赛的各有多少人？

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【例215】学校乐器队按计划招收了42名新学员，会拉小提琴的有27人，会弹电子琴又会拉小提琴的有16

人，两项都不会的有1人.会弹电子琴的有多少人?

课堂检测

【随练50】小朋友们去喝冷饮，只能选择可乐和雪碧两种饮料.可以选择一种或两种，也可以不选.选择可

乐的有18名，不选雪碧的有15名，两种都选的有10名，两种都没选的有多少名？

【随练51】春天来了，全班52人到北海公园划船，有27人划了手摇船，29人划了脚踏船，4名同学因身体不

好没有划船而去游览了白塔.问：既划了手摇船也划了脚踏船的同学有多少人？

家庭作业

【作业160】有两块木板，一块长72厘米，另一块长56厘米，如果把两块木板重叠后钉成一块木板，重叠

部分是20厘米.求钉成后的木板长多少厘米?

【作业161】三年级同学参加科技和美术两个课外兴趣小组，参加科技组的有36人，参加美术组的有28人，

两个小组都参加的有8人，三年级一共有多少人参加课外兴趣小组?

【作业162】四根长都是8厘米的绳子，把它们打结连在一起，成为一根长绳，打结处每根绳用去1厘米，

绳结长度不计.现在这根长绳长多少厘米?

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【作业163】三年级同学有56人参加科技和美术两个课外兴趣小组，其中参加科技组的有36人，参加美术

组的有28人，两个小组都参加的有多少人?

【作业164】二年级有40名同学参加跳绳和拍球两项比赛，有12人没有获奖，其中拍球获奖的有18人，

拍球和跳绳两项比赛都获奖的有10人，跳绳比赛获奖的有多少人?

【作业165】老师出了两道测试题，全班每个同学都至少答对了一道，答对第一道题的有30人，答对第二

道题的有28人，两道都答对的有16人，那么全班同学总共有多少人？

【作业166】有101个同学带着水壶和水果去春游，其中带水壶的有78人，带水果的有71人，只带水壶和

只带水果的各有多少人?

【作业167】有40人参加测验，答对第一题的有21人，答对第二题的有30人，两道题都答对的有15人，

两道题都没答对的有多少人?

【作业168】把10块木块用铁钉钉成一条长木条，每两块之间加钉4个，如下图，共需钉上多少个钉？

【作业169】学校开设了自然和趣味数学两门选修课，每个同学至少要选一门，二(3)班共有48人，有30

人选了自然课，有13人两门都选了，那么选趣味数学课的同学有多少人？

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最大与最小

知识框架

六月一日，“小天使”儿童快餐店迎来了28位前来就餐的小朋友。快餐店的老板准备了一份精美的礼品送给其中年龄最小的小朋友。

谁的年龄最小呢？

当每个小朋友报出自己的年龄后，老板发现，其中有10岁的，也有9岁、8岁、7岁、6岁的，最小的是5岁。但是5岁的小朋友有4位。按照这4位小朋友生日的先后，还能找到一个最小的，因此老板要他们各自报出自己的生日。结果如下：

小雨 2月8日 豆豆 5月2日 苗苗 8月16日 慧慧 12月9日

把这4位小客人的生日一比，很容易知道，慧慧是28位小朋友当中最小的。 慧慧得到老板送的大蛋糕。她把这块大蛋糕分成了28份，让大家和她一起品尝。 也许有的同学会问：“如果这4个小朋友中有两个生日是同一天，那怎么办呢？” 是不是谁生日的数字大就是谁大呢？哪些是通过比数字的大小得到最大最小数？

不是所有的比较大小都只看数字，而是同时要考虑其他因素，慧慧生日数字大，证明她出生晚，所以她最小，同样的理由，如果这4位小朋友在同一天生日，那么谁出生的时间最晚那么谁就最小。

用不同的数字组成多位数，要使组成的数最大，应当用较大的数占较高的数位；要使组成的数最小，应当用较小的数占较高的数位。

其中列举比较法是获得最大数或最小数的常用方法。

解决“最大（最小）问题”，有时需要考虑最不利（最不凑巧）的情况，比如，“锁与钥匙配对”的问题。 有这样一条规律一定要记住：两个整数的和一定，那么当它们相等时，乘积最大。

例题精讲

【例216】用7、8、9这3个数字组成哪些三位数？其中最大的是多少？最小是多少？

【例217】用0、2、5这3个数字组成几个三位数？其中最大的是多少？最小是多少？

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【例218】用0、6、9这3个数字组成一个最大的三位数和一个最小的三位数。

【例219】用2，4，6，8这4个数字组成一个最大的四位数。

【例220】从1、2、5、7这4个数字，选3个数出来能组成几个三位数？其中最大的是多少？最小是多少？

【例221】钱袋中有1分、2分、5分3种硬币各5枚。甲从袋中取出3枚，乙从袋中取出4枚，丙从中取出5枚，那么取出的钱数的总和最多是多少分？最少多少分？

【例222】一把钥匙只能开一把锁。现在有4把钥匙4把锁，但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次就能配好全部的钥匙和锁？

【例223】把1、2、3、4、5、6、7、8填入下面算式中，使得数最大。

□□□□－□□×□□这个最大得数是多少？

课堂检测

【随练52】从十位数7677782980中划去5个数字，使剩下的5个数字（先后顺序不改变）组成的五位数最

小。这个五位数最小的五位数是多少？

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【随练53】钱袋中有1分、2分、5分3种硬币。甲从袋中取出3枚，乙从袋中取出2枚，取出的5枚硬币

仅有2种面值，并且甲取出的3枚硬币面值的和比乙取出的2枚硬币面值的和少3分，那么取出的钱数的总和最多是多少分？

家庭作业

【作业170】用1、2、5这3个数字组成几个三位数？其中最大的是多少？最小是多少？

【作业171】用3、6、9这3个数字组成一个最大的三位数。

【作业172】用0、1、2、3这4个数字组成一个最大的四位数和一个最小的四位数。

【作业173】钱袋中有1分、2分、5分3种硬币各5枚。小明从袋中取出6枚，小华从袋中取出3枚，那

么小明和小华取出的钱数的相差最多是多少分？

【作业174】一把钥匙只能开一把锁。现在有6把钥匙6把锁，但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次

就能配好全部的钥匙和锁？

【作业175】把1、2、3、4填入下面算式中，使得数最大。

□□×□□这个最大得数是多少？

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