基于灰色预测的人口与医疗需求的探究
摘要
本文通过对深圳市人口数量、结构及医疗需求的分析与研讨，建立了相关的数学模型。
针对问题一，本文首先从深圳地区的实际情况和人口增长特点出发，根据附件1中32年的人口数据，分析了户籍人口和非户籍人口的变化特征，并通过logistic阻滞增长模型对深圳市人口数量做了初步预测，得到人口总量函数（见下文公式4）。
其次，由于logistic模型没有考虑人口的合理性分类及人口老龄化加剧等多个因素的影响，我们采用优化的灰色预测模型分别对人口数量、人口年龄结构 的分布情况以及人口性别比例进行预测。利用MATLAB软件得到2011~2020年深圳市常住人口预测结果（见表3）并通过后验检验。通过预测结果可知深圳市未来十年的人口数量呈较大幅度增长，人口结构变化不大，仍以劳动年龄人口为主，老年人口保持持续增长，男女性别比例基本稳定在1到之间。
最后，我们结合2011年统计年鉴中收集到的床位配置与深圳市未来人口发展情况，采用灰色预测法的MATLAB程序，预测出深圳市未来几年医疗床位的需求量，并给出部分结果（如下表所示），且均通过后验检验，说明优化的灰色预
中的数据和各种疾病的发病特征，采用卫生服务需求法，给出两种病的患病率，并对深圳市政府办医院划分成为二级医院和三级医院。结合人口年龄结构分布及近些年的得病率，预测出了小儿肺炎、分娩在这2类医疗机构的床位需求情况（见表11）。得出现在的床位无法满足日后的需求，相关部门需适当增加床位或者充分利用其它床位资源来缓解压力。
关键词：床位需求；logistic模型 ；灰色预测 ；MATLAB软件；卫生服务需求法。
1
一、 问题的重述
深圳是我国经济发展最快的城市之一,尤其是改革开放三十年来，深圳做为经济特区，吸引了大量的外来务工人员，为深圳的经济建设奠定了基础。但伴随着人口的迅速增长，老年人口比例逐渐增加，产业结构的变化也影响外来务工人员的数量，这些都可能导致深圳市未来的医疗需求与现在有较大的差异。
人口结构的不断变化，对深圳的医疗制度和医疗水平带来了极大的挑战。从往年深圳人口数据来看，深圳人口的显着特点是流动人口远远超过户籍人口，且年轻人口占绝对优势。深圳流动人口主要是从事第二、三产业的企业一线工人和商业服务业人员。年轻人身体强壮，发病较少，因此深圳目前人均医疗设施虽 然低于全国类似城市平均水平，但仍能满足现有人口的就医需求。然而，未来的 医疗需求与人口结构、数量和经济发展等因素相关，合理预测能使医疗设施建设 正确匹配未来人口健康保障需求，是保证深圳社会经济可持续发展的重要条件。 深圳市人口增长与其经济发展密不可分，医疗需求受人口结构、疾病发病率，老 龄化程度等多重因素的影响，为了有效的对医疗制度做出调整，现要求运用数学及相关知识建立数学模型模来解决以下问题：
问题一：分析深圳市户籍人口和非户籍人口的变化特点，建立模型，预测未来十年深圳市人口数量和结构的发展趋势，以此为基础预测未来全市和各区医疗床位需求；
问题二：根据深圳市人口的年龄结构和患病情况及所收集的数据，选择预测几种病（如：肺癌及其他恶性肿瘤、心肌梗塞、脑血管病、高血压、糖尿病、小儿肺炎、分娩等）在不同类型的医疗机构就医的床位需求。
二、 问题的分析
随着我国经济的快速发展，国家政策和产业结构的逐步调整，人口数量在一定程度上有很大增长。由于医疗需求与人口数量紧密联系，人口的增长必然导 致医疗需求的增加，且深圳经济的发展吸引了大量的外来务工人员，医疗卫生事 业的发展也日益明显和突出，对深圳市人口数量及结构发展趋势的探索，研究深圳市民的医疗需求对深圳市的持续发展有重要的现实意义。
对于问题一，首先为分析深圳市户籍人口和非户籍人口的变化特点，可直接用Excel绘图，进行描述性分析，因为通过图形描述更能体现深圳市人口数量及结构上的变化趋势；考虑到人口的自然增长与大量外来人口的流入等因素的影响，为较为准确地预测未来十年深圳市人口数量，我们选取比较合理的logistic阻滞增长模型；随着经济发展和人们思想观念的转变，人口老龄化程度也在不断加剧，加之产业结构的转变和外来务工人员的流入，使得深圳市的人口结构发生变化，由于深圳市人们的思想观念，经济影响等不确定因素具有部分信息不可知性，而灰色系统是根据部分信息已知，部分信息未知构建的预测模型，故我们采用灰色预测模型对深圳人口结构进行预测；最后，由于人口数与各区发病率及床位之间的联系，我们初步拟采用GM模型，运用MATLAB最小二乘拟合即可得到各区的床位拟合函数，从而可预测出未来十年全市及各区的床位数量。
对于问题二，我们首先应了解各种疾病在不同年龄阶段的发病情况，确定好研究对象，之后应通过查阅资料对深圳市的医疗机构按照一定标准进行分类，之后便可利用Excel软件对搜集到的相关数据进行处理，得到小儿肺炎和分娩的发病率及分别在各类医疗机构的就诊率，采用卫生服务需求法预测出两种病在不同 2
医疗机构的床位需求。
三、模型的基本假设
1.假设本问题所使用的数据均真实有效，具有统计分析价值
2.不考虑战争、灾害、疾病对人口数目的影响；
3.假设在一年内，各个地区，各个年龄段的死亡率不会发生变化；
4.假设在一年内，处于生育年龄的妇女生育率不会发生变化。
四、 符号说明与名词解释
符号说明
（1）r(x)：人口增长函数；
（2） ：人口的年增长率；
（3）x0 ：初始年人口容量；
（4）xm ：人口最大容量；
（5）x(t) ：人口总量函数 ；
（6）x(0) ：个元素的数列；
（7）X(0) ：原始时间序列；
（8）x(k)x(0)(i)； (1)
i1k
（9）a ：发展系数；
（10） u：参数向量；
（11）B ：为数据矩阵
（12）Yn ：为数据向量；
（13）X ：总人口随时间变化的拟合函数
（14）xm(t1) ：男性人口的最小二乘法拟合函数
（15）xw(t1) ：女性人口的最小二乘法拟合函数
名词解释 生育率：某年每1000名15-49岁妇女的活产婴儿数。又称一般生育率。该指标比出生率要精确一些，因为它将同可能生育的特定性别年龄的人口联系起来（通常是15-49岁的妇女），排除了年龄性别结构不同引起的偏差。生育率比出生率更能揭示生育水平的变化
3
总和生育率：指假定妇女按照某一年的年龄别生育率度过育龄期，平均每个妇女在育龄期生育的孩子数
死亡率：一定时期内（通常为一年）死亡人数与同期平均人数（或期中人数）之比。说明该时期人口的死亡强度，通常用千分比表示。
人口增长率：人口增长程度或增长速度，即一定时期内人口增长数与人口总数之比。通常以一年为期计算，用百分数表示。
人口年龄结构：某一年某一地区按年龄划分的人口数。
五、 模型的建立与求解
问题一的求解
自深圳实施改革开放以来，经济实力迅速增强，成为一个初具规模的国际化大都市，与此同时，经济发展也带来了人口的迅速增长，1979年至1990年末，常住人口以每年约万人的平均速度增长，1991年至2000年末，常住人口以每年约万人的平均速度增长，在2001年至2010年末的最近十年中，常住人口以每年约万的平均速度增长，在这32年中，深圳的常住人口的年平均增长速度约为万，相当于一个非农业规模的中等城市，增长速度呈现持续加快的格局，其中户籍人口在1979年至2010年末，一直都呈现自然增长的状态，另一方面，非户籍人口却迅速发展，构成导致常住人口增长的主要因素。
图1：户籍人口与非户籍人口变化百分比
通过对1979年至2010年的户籍与非户籍人口的对比，发现非户籍人口在常住人口的比例
逐渐增大，这是由于深圳自改革开放以来，政府赋予一些特殊的经济优惠政策和相对灵活的经济管理体制，一方面深圳率先引用外资，并大力发展加工贸易，这种劳动密集型的产业吸引着越来越多的外地人来淘金，也促使常住人口的非户籍人数急速增长，另一方面由于政治经济享有的优惠政策，以及其毗邻香港的特殊的地理位置，也吸引着许多梦想来深圳淘金的精英汇聚于此。由深 4
圳历年统计年鉴显示，深圳的产业结构越来越倾向于第二第三产业，这种产业结构的变化成为吸引外来从业人员的主导，也直接拉动深圳流动人口的增加。
logistic模型的建立与求解
针对未来十年深圳常住人口总数，我们建立简单的人口预测模型——阻滞增长模型，并建立如下等式：
人口增长函数：rxr（1-x0） xm
t时刻人口数目函数：x(t)=xm
xmrt11x0 单位时间内人口增量方程：rsx，s=r xmx
首先，我们利用方程（3）以及1979年到2010年的深圳总人口数据并借助MATLAB软件对方程（3）进行线性最小二乘法拟合，得到r，xm1052,则人口总量函数为
x(t)1052 （4） 105211*e(t1979)
并得到阻滞增长模型拟合曲线(如图2所示)：
人口折线图
1200
1000800
人口数量
600
400
200
年份
图2：深圳市常住人口阻滞增长模拟图
由图2我们可以看出所给深圳市这32年的常住人口数大致分布在由（4）式 5
所得的曲线附近，但在1987年至1992年吻合的不太好，可能是受到人为或自然因素的影响造成的，尽管如此，此模型对人口预测仍具有一定的指导意义。logistic模型拟合虽然有一定效果，但只适用于短期的人口预测，为了尽量减少这种人为因素和自然因素的随机影响，我们采用灰色预测模型对深圳未来几年的人口数量及人口结构进行预测。
（1）模型的建立
在灰色系统理论中，称抽象的逆过程为灰色模型，也称GM。它是根据关联度、生成数灰导数，灰微分等观点和一系列数学方法建立起来的连续型的微分方程。通常GM表示为GM(n,h)。当n=h=1时即构成了单变量一阶灰色预测模型。
GM(1,1)模型设原始序列为X(0)x0(1),x0(2),x0(n)
这是一组信息不完全的灰色量，具有很大的随机性，将其进行生成处理，提供更多的有用信息。 dx(1)
ax(1)u 其形式为：dt
设原始时间序列： X(0)(x(0)(1),x(0)(2),,x(0)(n)) 预测第n+1期，第n+2期，…的值：x(0)(n1),x(0)(n2),
(0)(x(0)(1),x(0)(2),,x(0)(n)) 设相应的预测模型模拟序列为： X
设X(1)为X(0)的一次累加序列：x(i)x(0)(m),i1,2,3,n) (1)
m1i
(1)(0)x(1)x(1)即： (1) (0)(1)x(i)x(i)x(i1),i2,,n
(1)利用X计算[a,u]T GM(1,1)模型参数a、u。令a
(BTB)1BTYn 则有：a
(1)(1)(x(1)x(2))12(1)(1)(x(2)x(3))12 式中：B(1)(1)(x(n1)x(n))12
Yn[x(0)(2),x(0)(3),,x(0)(n)]T
uu由此获得GM(1,1)模型：x(1)(i1)(x(0)(1))eai aa
（2）残差检验
6
评价精度高低最简单的方法是看模型值和原值之间的残差百分比。我们认为中一般百分比±5%即为满意, 对±20%以内的, 根据实际情况也可以使用。如果再大即要考虑修正模型或改为其它模型。实际上如果原始数据摆动小, 精度要比±5%小得多。 （3）模型的求解
a.深圳总体人口的预测
整理得深圳市2001年~2010年常住人口数，见下表：
根据上述数据建立含有10个观察值的原始数据序列X(0)：
X(0)
使用MATLAB软件对X(0)进行一次累加，得到新数列X(1)，即下表2：
7
拟合函数：X(t1)t
由上表可知，模型误差百分比与级比偏差均不超过2%，模型的拟合精度高，可用于预测。预测值如下表所示：
MATLAB软件作图，给出原始值与预测值的图形，如下图3：
图3:2000-2020年深圳总人口统计及预测
结合表3和图3我们可知深圳市2000年至2010年的年末常住人口保持持续增长，且2005年至2007年的增长幅度相对较大。深圳市未来十年的人口将继续保持增长的态势，这基本吻合深圳市的经济发展和人口发展趋势。
同理，2001年~2010年非户籍人口也可通过GM(1,1)进行拟合，并得出算法拟合值及误差表4（见附录3）
由表4可知，模型误差百分比与级比偏差均不超过%，模型的拟合精度高，可用于预测，并得预测值如下表5所示：
8
且得到拟合函数： Y(t1)t
b．深圳市各年龄阶段人口的预测
我们利用MATLAB软件编写最小二乘法拟合的程序求解得出各年龄段人口数的拟合函数
（程序见附录2），且预测得到各年龄阶段的人口数，部分结果如下表:7
9
为了较直观地看出各年龄阶段人口数在总人口的分布情况，我们通过整理数据，利用EXCEL软件绘制得到各年龄阶段人口分布图（图4）如下：
图4：深圳市各年龄阶段人口分布图
结合表7和图4我们可以看出深圳市未来十几年人口数量保持稳定增长，而人口结构变化趋势较为平稳，人口年龄结构变化不明显，可以认为，未来十年内，深圳市内人口年龄结构基本保持不变。
经查阅资料，我们将0至14岁的人口归为少儿人口，将15至64岁的人口归为劳动年龄人口，65岁以上归为老年人口，并通过EXCEL画图得到如下图：
10
图5，深圳市人口结构
由图5可知，深圳市的人口结构以劳动年龄人口为主。随着人口的增加，各个年龄阶段的人口均有增长，但人口主要集中在15至64岁之间，这与深圳市的 产业结构有着深刻的联系，另外老年人口的增长也相应刺激了深圳市对床位的需求。经计算可知深圳市未来十年的老年人口在总人口中所占的比例基本稳定在2%左右，我们可初步认为深圳市在未来的十年中不存在人口老龄化的问题。 c.对深圳市人口结构中男女比例的分析
我们仍利用MATLAB软件编写最小二乘法拟合的程序（见附录1）求解得到男性人口的最小二乘法拟合函数为：
xm(t1)*107**t*106
同理，女性人口数的最小二乘法拟合函数为：
xw(t1)*107**t*107
但男性人口仍大于女性。未来十五年深圳市的男女比例保持在1到之间，男女比例变化不大，保持基本平衡。
d.深圳市医疗床位需求预测
由以上分析可知，随着深圳市人口的增加，相应的老年人口也有一定幅度的增长，以及从事第二第三产业的人口患职业病的几率增大，深圳市现有的床位和医疗设施已经不能满足人口的就医需求，所以我们应该适当增加床位数量，来满足人们日益增长的就医住院的需求，由于数据有限，我们选取政府办医院床位为研究对象，查阅深圳市统计年鉴，结合02年至10年的全市机构各区的床位数，
综合考虑出生率死亡率，采用GM模型，运用MATLAB最小二乘拟合得到各区的床位拟合函数（见附录 ），并预测出未来十年全市及各区的床位数量如表8所示（由于光明新区和坪山新区数据只有两年，为了保证数据的有效性，故只预 11
测两年的医疗床位需求）。
从上表可知，未来十年深圳市及各区的医疗床位需求呈持续增长。市属地区与宝安区的医疗床位需求相对较多，且各区的医疗床位需求增幅普遍较大，这与深圳市未来十年的人口增长趋势及其人口构成基本吻合。
问题二的求解
分析不同疾病在不同医疗机构就医的床位需求，需要考虑深圳市人口年龄 结构，不同疾病患病状况，以及不同医疗机构的特点等因素，结合问题一所预测人口数量，对床位需求做出预测。针对本问题我们选取小儿肺炎和分娩作为研究对象，采用统计分析的方法分别对着这两种疾病做出床位需求预测。
我们通过查阅有关资料了解到医院按其功能、任务不同可以划分为一、二、三级，划分标准如下所示： 一级医院：（病床数在100张以内，包括100张。）是直接向一定人口的社 区提供预防，医疗、保健、康复服务的基层医院、卫生院。 二级医院：（病床数在101张--500张之间）是向多个社区提供综合医疗卫 生服务和承担一定教学、科研任务的地区性医院。
三级医院：（病床数在501`张以上）是向几个地区提供高水平专科性医疗卫 生服务和执行高等教育、科研任务的区域性以上的医院。
通过2011年政府办医院医疗基本情况一览表，我们发现深圳市医疗机构在级别上分为三级医院和二级医院（见附录6）。
目前医院床位资源配置的测算大致有两种做法：一种是从供方入手，根据规划期要求达到的卫生服务目标，测算以原创为资源配置量；另一种是从需方研究出发，根据区域内社会人群健康对卫生服务的需求与需要，预算医院床位资源配置量。
经查阅资料，我们选定卫生服务需求法作为医院床位资源配置的测算方法。按照卫生服务需要法配置床位，只要有患病，专家认为需要住院治疗，就给予配
12
置床位，这种方法排除了社会经济，人口特征，卫生服务可及性等影响因素，是居民对卫生服务的客观需要，能够比较客观的评价卫生资源的配置问题。公式如下：
床位需求量=人口数需要住院率平均住院天数/平均开放床日数
根据不同等级的医院，大城市平均开放床日数三级医院为317天，二级医院为237天。
根据深圳市年龄结构和患病情况及所收集的数据，我们选取小儿肺炎和分娩为研究对象，根据卫生服务需求法预测其在不同类型的医疗机构就医的床位需求。为保证数据的准确性与有效性，我们首先利用Excel软件对2010年患小儿肺炎在各医院就诊基本情况一览表进行整理，并参照医疗机构等级将各就诊医院进行了划分等级（见附录6），可发现患小儿肺炎者都是在二级和三级医院就诊的。
根据医学常识可知，小儿肺炎出现在0-4岁年龄段，由问题一我们预测了未来十年的年龄结构以及每个年龄段的人数，并得到小儿肺炎的年发病率。同理我们将分娩人群定义为20至49岁，得出分娩的年发病率。由深圳市2011单病种平均住院天数一览表，我们可得小儿肺炎和分娩在各级医院的平均住院天数，并得出下表：
表
疗机构的床位需求数为下表：
利用下图所示：
图6：小儿肺炎和分娩在不同医疗机构的床位需求柱形图
13
由以上图表，我们可以得出小儿肺炎和分娩在二级医院和三级医院的床位需求在逐年递增，这比较符合深圳市的常住人口逐渐增多的趋势。预计深圳市在未来的十几年里，无论是小儿肺炎还是分娩的床位需求，均是二级医院的床位需求大于三级医院的床位需求。且小儿肺炎的床位需求量的增加幅度要大于分娩的医疗床位需求量。由于深圳市非户籍人口的增加，新生儿和孕妇的人数也会相应增多，患小儿肺炎以及分娩的人数也会增多，这些趋势也大致符合深圳市人口的发展情况。由此可以看出，深圳市政府需要通过增加相应的床位和提高各医院的医疗水平来满足人民的住院需求。
六、 模型的评价
在问题一中：
模型一采用 Logistic 阻滞增长模型对人口增长率做出了合理、简化的假设，即将人口增长率看作是人口数量的函数。同时它的中期预报结果比较准确，可以对人口数量进行粗略的预测。但是，在此模型中，并没有考虑年龄因素，而且它只能对人口数量作出中短期预测，理论上很好，实用性不强，由一定的局限性。
模型二基于灰色预测理论,研究了优化的灰色 GM(1,1)预测模型, 灰色模型预测相对误差小 ,精度高，适用于人口数量的中长期预测。模型的的计算采用专业软件求解，例如MATLAB软件，Excel软件，数据可信度较高。
但是同模型一类似，本模型也没有考虑年龄因素，只是利用现有人口数据对未来总数的预测，没有结合中国国情与人口增长的特点。在模型结果分析中，我们进行了误差分析得出模型可行。本模型能够对未来的人口总数、性别比例、人口结构、老龄化水平、城等进行预测，使结果更为细化，但不足之处是所要处理的数据量比较大，可能会由于原始调查数据的误差降低预测的准确性。影响人口增长预测的动态因素很多，而且不可能都能波及到，所以模型与实际还是有一些距离的。
在问题二中，我们采用卫生服务需求法来预测，这种方法排除了社会经济，人口特征，卫生服务可及性等影响因素，是居民对卫生服务的客观需要，能够比较客观的评价卫生资源的配置问题。但该方法没有考虑患者的实际支付能力等原因，故测算的结果往往要比实际需求数高，但对于深圳市预测床位需求和决策还是有一定指导意义的。
参考文献
[1]姜启源，谢金星，叶俊。《数学模型（第三版） 》[M] 北京，高等教育出版 社，2004年4月.
[2]苏金明，阮沈勇。《MATLAB 实用教程》[M] 北京，电子工业出版社，2005 年 7月.
[3]邓聚龙。《灰色预测与决策》[M] 武汉，华中工学院出版社，1986：30～95.
14
[7]孙蕾，赵兴，李云辉。丁克现象与中国人口增长[J].工程数学学报24
（2）:59-60,2007.
附录：
附录1:logistic模型程序
x=[1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010];
y=[ ];
x=x';y=y';
st_ = [1800 32 ];
ft_ = fittype('a/(1+b*exp(-k*(x-1979)))' ,...
'dependent',{'y'},'independent',{'x'},...
'coefficients',{'a', 'b', 'k'});
cf_ = fit(x,y,ft_ ,'Startpoint',st_); cf_ =
General model:
cf_(x) = a/(1+b*exp(-k*(x-1979)))
Coefficients (with 95% confidence bounds):
a = 1052 (1003, 1101)
b = ,
k = ,
附录2：灰色预测程序
x0=[ ] n=length(x0);
lamda=x0(1:n-1)./x0(2:n)
range=minmax(lamda);
x1=cumsum(x0);
for i=2:n
z(i)=*(x1(i)+x1(i-1));
end
B=[-z(2:n)',ones(n-1,1)];
Y=x0(2:n)';
u=B\\Y
x=dsolve('Dx+a*x=b','x(0)=x0');
x=subs(x,{'a','b','x0'},{u(1),u(2),x1(1)});
yuce1=subs(x,'t',[0:n-1]);
15
digits(6),y=vpa(x)
yuce=[x0(1),diff(yuce1)]
epsilon=(x0-yuce)%残差
delta=abs(epsilon./x0)%残差百分比
rho=1-*u(1))/(1+*u(1))*lamda%级比残差 yuce1=subs(x,'t',[0:19]);%共二十年预测值 附录3：
表4：GM(1,1)算法拟合值及误差
16
17
18
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容