第6讲 正弦定理和余弦定理
四 模拟演练·提能增分
[A级 基础达标]
1．[2018·北京西城期末]已知△ABC中，a＝1，b＝2，B＝45°，则A等于( ) A．150° B．90° C．60° D．30° 答案 D
121
解析 由正弦定理，得＝，得sinA＝.又a 2．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边．若bsinA＝3csinB，a＝3，cosB＝，则3 b＝( ) A．14 B．6 C.14 D.6 答案 D 2222 解析 bsinA＝3csinB⇒ab＝3bc⇒a＝3c⇒c＝1，∴b＝a＋c－2accosB＝9＋1－2×3×1×＝ 36，b＝6.故选D. 3．[2018·甘肃张掖月考]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c＝2a，bsinB1 －asinA＝asinC，则sinB为( ) 2 A. 7371 B. C. D. 4433 2 2 2 2 2 2 答案 A 1a＋c－ba＋4a－2a3解析 由bsinB－asinA＝asinC，且c＝2a，得b＝2a，∵cosB＝＝＝，2 22ac4a4∴sinB＝ 732 1－＝. 44 2 4．设A是△ABC的一个内角，且sinA＋cosA＝，则这个三角形是( ) 3A．锐角三角形 C．等边三角形 答案 B 242222 解析 将sinA＋cosA＝两边平方得sinA＋2sinA·cosA＋cosA＝，又sinA＋cosA＝1，故 395 sinAcosA＝－.因为0 18 5．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且cos2B＋3cos(A＋C)＋2＝0，b＝3，则c∶sinC等于( ) A．3∶1 B.3∶1 C.2∶1 D．2∶1 答案 D 解析 由cos2B＋3cos(A＋C)＋2＝0，得2cosB－3cosB＋1＝0，解得cosB＝1(舍去)或cosB＝ 1 2 B．钝角三角形 D．等腰直角三角形 学习资料 值得拥有 13 ，所以sinB＝，所以c∶sinC＝b∶sinB＝2∶1. 22 6．[2017·浙江高考]我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年．“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6＝________. 答案 33 2 解析 作出单位圆的内接正六边形，如图，则OA＝OB＝AB＝1. 12 333＝. 22 S6＝6S△OAB＝6××1× 153 7．在△ABC中，已知AB＝3，A＝120°，且△ABC的面积为，则BC＝________. 4答案 7 解析 由S△ABC＝ 1531153222 得×3×AC·sin120°＝，所以AC＝5，因此BC＝AB＋AC－424 1 2AB·AC·cos120°＝9＋25＋2×3×5×＝49，解得BC＝7. 2 8．[2018·渭南模拟]在△ABC中，若a－b＝3bc且答案 π 6 2 2 A＋B＝23，则A＝________. sinB解析 因为6b2 A＋BsinCb2＋c2－a212b2－3bc＝23，故＝23，即c＝23b，则cosA＝＝2 sinBsinB2bc43b3π ＝＝，所以A＝. 2 2643b9．在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若tanA＋tanC＝3(tanAtanC－1)． (1)求角B； (2)如果b＝2，求△ABC面积的最大值． 解 (1)∵tanA＋tanC＝3(tanAtanC－1)， tanA＋tanC∴＝3， tanAtanC－1 2 学习资料 值得拥有 tanA＋tanC即＝－3，即tan(A＋C)＝－3. 1－tanAtanC又∵A＋B＋C＝π， π ∴tanB＝－tan(A＋C)＝3，∴B＝. 3 a2＋c2－b21 (2)由余弦定理的推论得cosB＝＝， 2ac2 即4＝a＋c－ac≥2ac－ac， ∴ac≤4，当且仅当a＝c＝2时，等号成立． 113 ∴S△ABC＝acsinB≤×4×＝3. 222故△ABC的面积的最大值为3. 10．[2018·长沙模拟]已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1,2cosC＋c＝2b. (1)求A； 1 (2)若b＝，求sinC. 2 解 (1)因为a＝1,2cosC＋c＝2b， 1＋b－c22 由余弦定理得2×＋c＝2b，即b＋c－1＝bc. 2b2 2 2 2 2 b2＋c2－12bc1 所以cosA＝＝＝. 2bc2bc2 因为0° (2)解法一：由b＝及b＋c－1＝bc，得＋c－1＝c， 222即4c－2c－3＝0， 1＋131－13 解得c＝或c＝(舍去)． 44由正弦定理得＝， sinCsinA1＋133＋39 得sinC＝×sin60°＝. 481ba解法二：由a＝1，b＝及正弦定理＝， 2sinBsinA13 得sinB＝sin60°＝. 24由于b 2 ca13 . 4 由于A＋B＋C＝180°，则C＝120°－B. 所以sinC＝sin(120°－B) 3 学习资料 值得拥有 ＝sin120°cosB－cos120°sinB ＝＝ 31313×＋× 242439＋3 . 8 [B级 知能提升] 1．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cosA＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝( ) A．10 B．9 C．8 D．5 答案 D 解析 由23cosA＋cos2A＝0得23cosA＋2cosA－1＝0， 11 解得cosA＝±.∵A是锐角，∴cosA＝. 55又∵a＝b＋c－2bccosA， 12 ∴49＝b＋36－2×b×6×， 513 ∴b＝5或b＝－.又∵b>0，∴b＝5. 5 2．[2017·全国卷Ⅰ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝2，则C＝( ) ππππA. B. C. D. 12643答案 B 解析 因为a＝2，c＝2， 22所以由正弦定理可知，＝， sinAsinC故sinA＝2sinC. 又B＝π－(A＋C)， 故sinB＋sinA(sinC－cosC) ＝sin(A＋C)＋sinAsinC－sinAcosC ＝sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC ＝(sinA＋cosA)sinC ＝0. 又C为△ABC的内角， 故sinC≠0， 则sinA＋cosA＝0，即tanA＝－1. 3π 又A∈(0，π)，所以A＝. 4从而sinC＝ 12sinA＝ 221×＝. 222 4 2 2 22 2 2 2 学习资料 值得拥有 3ππ由A＝知C为锐角，故C＝. 46故选B. 3．[2017·浙江高考]已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接 ，则△BDC的面积是________，cos∠BDC＝________. 答案 15 102 4 解析 依题意作出图形，如图所示， 则sin∠DBC＝sin∠ABC. 由题意知AB＝AC＝4，BC＝BD＝2， 则sin∠ABC＝ 154，cos∠ABC＝14 . 所以S1 △BDC＝2BC·BD·sin∠DBC ＝115152×2×2×4＝2 . 2 2 2 因为cos∠DBC＝－cos∠ABC＝－1BD＋BC－CD4＝2BD·BC 2 ＝8－CD8 ，所以CD＝10. 由余弦定理，得cos∠BDC＝4＋10－42×2×10 ＝10 4. 4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC·(acosB＋bcosA)＝c. (1)求C； (2)若c＝7，△ABC的面积为33 2，求△ABC的周长． 解 (1)由已知及正弦定理得， 2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC， 2cosCsin(A＋B)＝sinC. 故2sinCcosC＝sinC. 5 CD 学习资料 值得拥有 1π 可得cosC＝，所以C＝. 23133 (2)由已知，得absinC＝. 22π 又C＝，所以ab＝6. 3 由已知及余弦定理得，a＋b－2abcosC＝7. 故a＋b＝13，从而(a＋b)＝25. 所以△ABC的周长为5＋7. 5．[2017·天津高考]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asinA＝4bsinB， 2 2 22 2 ac＝5(a2－b2－c2)． (1)求cosA的值； (2)求sin(2B－A)的值． 解 (1)由asinA＝4bsinB，及＝， sinAsinB得a＝2b. 由ac＝5(a－b－c)及余弦定理， 5－ac5b＋c－a5 得cosA＝＝＝－. 2bcac5 2 2 2 2 2 2 ab25 (2)由(1)，可得sinA＝，代入asinA＝4bsinB， 5得sinB＝asinA5 ＝. 4b5 25 . 5 由(1)知，A为钝角， 所以cosB＝1－sinB＝ 2 4 于是sin2B＝2sinBcosB＝， 532 cos2B＝1－2sinB＝， 5 4255325 故sin(2B－A)＝sin2BcosA－cos2BsinA＝×－－×＝－. 55555 6 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容