概率论第五章习题解答

第五章习题解答

1. 设随机变量X的方差为2，则根据车比雪夫不等式有估计

PXE(X)2 1/2 .

PXE(X)2D(X)1222

2. 随机变量X和Y的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，相关系数为-0.5，则根据车比雪夫不等式有估计

PXY6 1/12 .

PXY6P(XY)[E(X)E(Y)]6D(X)16212

3. 电站供应一万户用电．设用电高峰时，每户用电的概率为0.9，利用中心极限定理，（1）计算同时用电的户数在9030户以上的概率；（2）若每户用电200 w，电站至少应具有多大发电量才能以0.95的概率保证供电？

解：⑴ 设X表示用电户数，则

X~B(10000,0.9),n10000,p0.9,np9000,npq900

由中心定理得 X~N(9000,900)近似

PX90301PX9030X9000903090001P9009001(1)10.84130.1587

⑵ 设发电量为Y，依题意

P200XY0.95

Y9000X9000200P0.95900900即 

9000200()0.95900Y90002001.65900Y1809900

Y4. 某车间有150台同类型的机器，每台机器出现故障的概率都是0.02，设各台机器的工作是相互独立的，求机器出现故障的台数不少于2的概率．

解：设X表示机器出故障的台数，则XB(150,0.02)

np3,npq2.94

由中心定理得 X~N(3,2.94)近似

PX21PX223X31P2.942.941PX0.5832(0.5832)0.7201

5.用一种对某种疾病的治愈率为80%的新药给100个患该病的病人同时服用，求治愈人数不少于90的概率．

解：设X表示治愈人数，则XB(100,0.8)

其中n100,p0.8,np80,npq16

PX901PX90X8090801P16161(2.5)0.0062

6. 设某集成电路出厂时一级品率为0.7，装配一台仪器需要100只一级品集成电路，问购置多少只才能以99.9%的概率保证装该仪器是够用(不能因一级品不够而影响工作)．

解：设购置n台，其中一级品数为X，XB(n,0.7)

p0.7,np0.7n,npq0.21n

PX1001PX100X0.7n1000.7n1P0.21n0.21n1000.7n1()0.21n0.999 1000.7n)0.9990.21n

故

(有

1000.7n3.1n121(舍)或n1700.21n

7. 分别用切比雪夫不等式与隶莫弗—拉普拉斯中心极限定理确定：当掷一枚硬币时，需要掷多少次才能保证出现正面的频率在0.4～0.6之间的概率不小于90%．

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解：设掷n次，其中正面出现的次数为X，

XB(n,p),pXP0.40.60.9n⑴由切贝雪夫不等式，要使得成立

X)XXXX25nP0.40.6Pp0.1PE()0.1112nnnn0.1n 由于

D(只要

1X25P0.40.60.90.9nn，就有成立

从而n250

XP0.40.60.9n⑵中心极限定理，要使得成立

由于XN(0.5n,0.25n)近似

X0.4n0.5nX0.5n0.6n0.5nP0.40.6P0.4nX0.6nPn0.25n0.25n0.25n

X0.5n0.1n0.1n0.1n0.1n0.1nP()()2()10.90.25n0.25n0.25n0.25n0.25n0.25n(0.1n)0.950.25n

0.1n1.65n680.25n查表

所以

8. 某螺丝钉厂的废品率为0.01，今取500个装成一盒．问废品不超过5个的概率是多少？

解：设X表示废品数，则XB(500,0.01)

p0.01,np5,npq4.95

55X5PX5P(0)0.54.954.95