(北京专用)2018年高考数学总复习专题09圆锥曲线分项练习文

x2y21”是“双曲线的准线方程为1. 【2008高考北京文第3题】“双曲线的方程为

9169x”的（ ）

5A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 【答案】A

B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

y22. 【2013高考北京文第7题】双曲线x－＝1的离心率大于2的充分必要条件是m2

( )． A．m＞

1 B．m≥1 2C．m＞1 D．m＞2 【答案】C 【解析】

试题分析：该双曲线离心率e3. 【2011高考北京文第8题】

已知点A0,2，B2,0，若点C在函数yx的图象上，则使得VABC的面积为2的点

21m，由已知1m>2，故m＞1，故选C. 1C的个数为（ ）

A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】A

2【解析】设Cx,x，因为A0,2，B2,0，所以的直线AB方程为

xy1，即22 1

xy20，AB222222，由SVABC2得

即h11ABh22h2h2，222，由点到直线的距离公式

xx2222，即x2x22解得

117故选A. x1,0,2x2y24. 【2007高考北京文第4题】椭圆221(ab0)的焦点为F1，F2，两条准线与

abx轴的交点分别为M，N，若MNF1F2，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）

1Ａ．0，

2

2 Ｂ．0，2

Ｃ．1，1 2

2 Ｄ．1，2【答案】D

2a2a22c，该椭圆的离心率【试题分析】MN，F1F22c，MN2F1F2，即

cce22,1，取值范围是，故选D. 22【考点】椭圆的离心率，椭圆准线

5. 【2005高考北京文第9题】抛物线y=4x的准线方程是 ；焦点坐标是 ． 【答案】x1，1,0 【解析】2p42

p1，所以抛物线的准线为x1；焦点坐标为1,0。 22

6. 【2013高考北京文第9题】若抛物线y＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝__________；准线方程为__________． 【答案】2 x＝－1

x2y21的焦点为F1,F2，点P在椭圆上，若7. 【2009高考北京文第13题】椭圆92 2

|PF1|4，则|PF2| ；F1PF2的大小为 . 【答案】2,120

【解析】u.c.o.m本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理. 属于基础知识、基本运算的考查. ∵a29,b23，

∴ca2b2927， ∴F1F227，

又PF14,PF1PF22a6，∴PF22， （第13题解答图）

又由余弦定理，得cosF1PF224272242221，

2∴F1PF2120，故应填2,120.

x2y28. 【2010高考北京文第13题】已知双曲线221的离心率为2，焦点与椭圆

abx2y21的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为__________；渐近线方程为__________． 259【答案】 (±4,0)

3x±y＝0

3

9. 【2014高考北京文第10题】设双曲线C的两个焦点为2,0，式1,0，则C的方程为 . 【答案】x2y21 【解析】由题意知：c222,0，一个顶点

2，a1，所以b2c2a21，又因为双曲线的焦点在x轴上，

所以C的方程为xy1.

考点：本小题主要考查双曲线的方程的求解、a,b,c的关系式，考查分析问题与解决问题的能力.

y210. 【2011高考北京文第10题】已知双曲线x21(b0)的一条渐近线的方程为

b2y2x，则b . 【答案】2

y2y22【解析】：由x21得渐近线的方程为x20ybx即ybx，由一条渐近线

bb2的方程为y2x得b2

y211.【2017高考北京文数第10题】若双曲线x则实数m=_________． 1的离心率为3，m2【答案】2

4

【考点】双曲线的方程和几何性质

【名师点睛】本题主要考查的是双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质，属于基础题．解题时要注意a、b、c的关系，即cab，以及当焦点在x轴时，哪些量表示a2,b2，否则很容易出现错误．最后根据离心率的公式计算即可.

222x2y212. 【2016高考北京文数】已知双曲线221 （a0，b0）的一条渐近线为

ab2xy0，一个焦点为(5,0)，则a_______；b_____________.

【答案】a1,b2. 【解析】

c5222试题分析：依题意有b,结合cab,解得a1,b2.

2a考点：双曲线的基本概念

【名师点睛】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.

求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为AxBy1的形式，当A0，B0，

22AB时为椭圆，当AB0时为双曲线.

y213. 【2015高考北京，文12】已知2,0是双曲线x21（b0）的一个焦点，则

b2b ．

【答案】3

【考点定位】双曲线的焦点.

5

14. 【2005高考北京文第20题】（本小题共14分）

如图，直线 l1：y＝kx（k>0）与直线l2：y＝－kx之间的阴影区域（不含边界）记为W，其左半部分记为W1，右半部分记为W2． （Ⅰ）分别用不等式组表示W1和W2；

（Ⅱ）若区域W中的动点P(x，y)到l1，l2的距离之积等于d，求点P的轨迹C的方程； （Ⅲ）设不过原点O的直线l与（Ⅱ）中的曲线C相交于M1，M2两点，且与l1，l2分别交于

2

M3，M4两点．求证△OM1M2的重心与△OM3M4的重心重合．

【答案】解：（Ⅰ）W1={(x, y)| kx0}， （Ⅱ）直线l1：kx－y＝0，直线l2：kx＋y＝0，由题意得

|k2x2y2||kxy||kxy|22d ， d, 即222k1k1k1 由P(x, y)∈W，知kx－y>0，

22

2

k2x2y2222222d 所以 ，即kxy(k1)d0, 2k1 所以动点P的轨迹C的方程为k2x2y2(k21)d20；

（Ⅲ）当直线l与x轴垂直时，可设直线l的方程为x＝a（a≠0）．由于直线l，曲线C关于x轴对称，且l1与l2关于x轴对称，于是M1M2，M3M4的中点坐标都为（a，0），所以△OM1M2，△OM3M4的重心坐标都为（

2a，0），即它们的重心重合， 3当直线l1与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=mx+n（n≠0）．

k2x2y2(k21)d20由，得(k2m2)x22mnxn2k2d2d20

ymxn 由直线l与曲线C有两个不同交点，可知k－m≠0且 △=(2mn)4(km)(nkdd)>0 设M1，M2的坐标分别为(x1, y1)，(x2, y2)， 则x1x222222222

2

2mn, y1y2m(x1x2)2n,

k2m2设M3，M4的坐标分别为(x3, y3)，(x4, y4)， 由ykxykxnn,x4得x3 及kmkmymxnymxn6

从而x3x42mnx1x2，

k2m2所以y3+y4=m(x3+x4)+2n＝m(x1+x2)+2n＝y1+y2, 于是△OM1M2的重心与△OM3M4的重心也重合．

x2y215.【2006高考北京文第19题】椭圆C: 221 (a>b>0)的两个焦点为F1、F2,点P在

ab椭圆C上,且PF1⊥F1F2,|PF1|=(1)求椭圆C的方程;

2

2

414,|PF2|=. 33

(2)若直线l过圆x+y+4x-2y=0的圆心M,交椭圆C于A、B两点,且A、B关于点M对称,求直线l的方程

x2y21. 所以椭圆C的方程为94(2)设A、B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).

已知圆的方程为(x+2)+(y-1)=5,所以圆心M的坐标为(-2,1), 从而可设直线l的方程为y=k(x+2)+1,

代入椭圆C的方程得(4+9k)x+(36k+18k)x+36k+36k-27=0.

2

2

2

2

2

2

x1x218k29k8因为A、B关于点M对称,所以=-=-2,解得k=.

2949k2所以直线l的方程为y=

8(x+2)+1,即8x-9y+25=0. 9(经检验,所求直线方程符合题意) 解法二:(1)同解法一.

(2)已知圆的方程为(x+2)+(y-1)=5,所以圆心M的坐标为(-2,1). 设A、B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2).

2

2

xy由题意x1≠x2且111,

9422

7

x2y21. 94由①-②得

22

x1x2x1x2+y1y2y1y2=0.

94

因为A、B关于点M对称, 所以x1+x2=-4,y1+y2=2. 代入③得

8y1y28=,即直线l的斜率为,

9x1x29所以直线l的方程为y-1=

8(x+2),即8x-9y+25=0. 9(经检验,所求直线方程符合题意)

16.【2007高考北京文第19题】（本小题共14分）

0)，AB边所在直线的方程为x3y60如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2，，在AD边所在直线上． 点T(11)

（I）求AD边所在直线的方程； （II）求矩形ABCD外接圆的方程；

0)，且与矩形ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹（III）若动圆P过点N(2，方程．

8

（Ⅱ）由x3y60 解得点A的坐标为0,2，因为矩形ABCD两条对角线的交点

3xy20为M2,0，所以M为矩形ABCD外接圆的圆心， 又AM20022222，从而矩形ABCD外接圆的方程为

x22y28；

（Ⅲ）因为动圆P过点N，所以PN \\是该圆的半径，又因为动圆P与圆M外切， 所以PMPN22，即PMPN22 故点P的轨迹是以M,N为焦点，实轴长为22的双曲线的左支

因为实半轴长a2，半焦距c2，所以虚半轴长bc2a22 ，

x2y21x2 从而动圆P的圆心的轨迹方程为

22【考点】直线的斜率，两直线的位置关系，圆的方程，动点轨迹方程的求法，双曲线的定义 【备考提示】本题考查了直线的斜率，直线的方程，两直线的位置关系，圆的方程，两圆外切的条件，动点轨迹方程的求法，双曲线的定义，几何意义，范围等知识点，都是教材中的重点内容，既有灵活性，又不失通性通法，体现了回归教材，回归基础，对中学教学有很好的导向作用.

x2y217.【2011高考北京文第19题】（本小题共14分） 已知椭圆G:221(ab0)的

ab离心率为6，右焦点为(22,0)。斜率为1的直线l与椭圆G交于A,B两点，以AB为3底边作等腰三角形，顶点为P(3,2)。（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）求PAB的面积。

9

yxm（Ⅱ）设直线l的方程为yxm.由x2得4x26mx3m2120.设A、By21124的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1x2),AB

中点为

E(x0,y0)，则

x0x1x2m3m,y0x0m因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB.所以

424m241.解得m=2。PE的斜率k此时方程①为4x12x0.解得x13,x20.3m342所以y11,y22.所以|AB|=32.此时，点P（—3，2）到直线AB：xy20的距离d|322|21932,所以△PAB的面积S=|AB|d.

22218. 【2008高考北京文第19题】（本小题共14分）

已知△ABC的顶点A，B在椭圆x3y4上，C在直线l：yx2上，且AB//l． （Ⅰ）当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积； （Ⅱ）当ABC90，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程．

220)，所以AB所在直线的方程为yx． 解：（Ⅰ）因为AB//l，且AB边通过点(0，设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．

x23y24，由 得x1． yx所以AB2x1x222．

又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离． 所以h

2，S△ABC1ABh2． 210

设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，

3m3m24则x1x2，x1x2，

24326m2所以AB2x1x2．

2又因为BC的长等于点(0，m)到直线l的距离，即BC2222m2．

22所以ACABBCm2m10(m1)11．

所以当m1时，AC边最长，（这时12640） 此时AB所在直线的方程为yx1．

19. 【2009高考北京文第19题】（本小题共14分）

x2y23已知双曲线C:221(a0,b0)的离心率为3，右准线方程为x。

ab3（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）已知直线xym0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆

x2y25上，求m的值.

【解析】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．

11

a233，解得a1,c3， （Ⅰ）由题意，得cc3ay21. ∴bca2，∴所求双曲线C的方程为x22222（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为x1,y1,x2,y2，线段AB的中点为Mx0,y0，

2y21x22由得x2mxm20（判别式0）, 2xym0∴x0x1x2m,y0x0m2m, 2∵点Mx0,y0在圆x2y25上，

2∴m2m5，∴m1.

220. 【2010高考北京文第19题】（14分）已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(－2、，0)、(2，0)，离心率是作圆P，圆心为P. (1)求椭圆C的方程；

(2)若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；

(3)设Q(x，y)是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值．

6.直线y＝t与椭圆C交于不同的两点M，N，以线段MN为直径3

(2)由题意知P(0，t)(－1＜t＜1)．

12

yt,23(1t). 由x2得x＝±2＋y＝1.32所以圆P的半径为3(1t). 2当圆P与x轴相切时，|t|＝3(1t). 解得t＝±

3. 23)． 22

2

2

所以点P的坐标是(0，±(3)由(2)知，圆P的方程为x＋(y－t)＝3(1－t)．因为点Q(x，y)在圆P上，

222所以y＝t±3(1t)x≤t＋3(1t).

设t＝cosθ，θ∈(0，π)，则

t＋3(1t2)＝cosθ＋3sinθ

)． 61当θ＝，即t＝，且x＝0时，y取最大值2.

23x2y221. 【2012高考北京文第19题】已知椭圆C：221(a＞b＞0)的一个顶点为A(2,0)，

ab＝2sin(θ＋离心率为

2．直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N． 2(1)求椭圆C的方程； (2)当△AMN的面积为

10时，求k的值． 3 13

得(1＋2k)x－4kx＋2k－4＝0．

设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则

2

2

2

2

4k22k24y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，x1＋x2＝，x1x2＝．

12k212k2所以|MN|2(x2x1)2(y2y1)2 2＝(1k)(x1x2)4x1x2 2(1k2)(46k2)＝． 212k又因为点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离d|k|1k2，

1|k|46k2所以△AMN的面积为S|MN|d=．

212k2x22

22．【2013高考北京文第19题】(本小题共14分)直线y＝kx＋m(m≠0)与椭圆W：＋y4＝1相交于A，C两点，O是坐标原点．

(1)当点B的坐标为(0,1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长； (2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．

14

因为点B不是W的顶点，且AC⊥OB，所以k≠0.

x24y24,222由消y并整理得(1＋4k)x＋8kmx＋4m－4＝0. ykxm设A(x1，y1)，C(x2，y2)， 则

x1x2y1y2x1x24kmmkm，. 22214k2214k所以AC的中点为Mm4km. ,2214k14k1. 4k因为M为AC和OB的交点，且m≠0，k≠0，所以直线OB的斜率为因为k·1≠－1，所以AC与OB不垂直． 4k所以四边形OABC不是菱形，与假设矛盾．

所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形． 23. 【2014高考北京文第19题】（本小题满分14分） 已知椭圆C：x2y4. （1）求椭圆C的离心率；

（2）设O为原点，若点A在直线y2，点B在椭圆C上，且OAOB，求线段AB长度的最小值. 【答案】（1）

222；（2）22 2 15

因此a2,c2，故椭圆C的离心率ec2. a2（2）设点A，B的坐标分别为(t,2),(x0,y0)，其中x00，

uuruuur2y因为OAOB，所以OAOB0，即tx02y00，解得t0，又x022y024，

x02y024y02222所以|AB|(x0t)(y02)=(x0)(y02)=x0y024

x0x02224x022(4x02)x028=x04=24(0x024)， 22x02x02x028因为24(0x024)，且当x024时间等号成立，所以|AB|28，

2x0故线段AB长度的最小值为22. 考点：本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、两点距离公式、不等式等基础知识，试题注重了知识的结合，考查了平面向量与圆锥曲线的结合、不等式与函数的结合等，有一定的综合性，考查转化与化归等数学思想，考查正确的计算能力，考查同学们分析问题与解决问题的能力.

24. 【2015高考北京，文20】（本小题满分14分）已知椭圆C:x23y23，过点D1,0且不过点2,1的直线与椭圆C交于，两点，直线与直线x3交于点． （I）求椭圆C的离心率；

（II）若垂直于x轴，求直线的斜率；

（III）试判断直线与直线D的位置关系，并说明理由． 【答案】（I）

6；（II）1；（III）直线与直线D平行. 316

【解析】

x2y21. 试题解析：（Ⅰ）椭圆C的标准方程为3所以a3，b1，c2. 所以椭圆C的离心率ec6. a3（Ⅱ）因为过点D(1,0)且垂直于x轴，所以可设A(1,y1)，B(1,y1). 直线的方程为y1(1y1)(x2). 令x3，得M(3,2y1). 所以直线的斜率kBM2y1y11.

31（Ⅲ）直线与直线D平行.证明如下： 当直线的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知kBM1. 又因为直线D的斜率kDE101，所以BM//DE. 21当直线的斜率存在时，设其方程为yk(x1)(k1). 设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则直线的方程为y1y11(x2). x12令x3，得点M(3,y1x13).

x12 17

x23y23由，得(13k2)x26k2x3k230. yk(x1)6k23k23所以x1x2，x1x2. 2213k13k直线的斜率kBMy1x13y2x12. 3x2因为kBM1k(x11)x13k(x11)(x12)(3x2)(x12)

(3x2)(x12)(k1)[x1x22(x1x2)3)

(3x2)(x12)3k2312k2(k1)[3)2213k13k (3x2)(x12)0，

所以kBM1kDE. 所以BM//DE.

综上可知，直线与直线D平行.

考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系. 25. 【2016高考北京文数】（本小题14分）

x2y2已知椭圆C：221过点A（2,0），B（0,1）两点.

ab（I）求椭圆C的方程及离心率；

（Ⅱ）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.

x23y21；e【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析. 42【解析】

18

所以椭圆C的方程为x24y21． 又ca2b23， 所以离心率eca32． （II）设x220,y0（x00，y00），则x04y04．

又2,0，0,1，所以， 直线的方程为yy0x2x2． 0令x0，得y2y02yx2，从而1y10x2．00直线的方程为yy01xx1． 0令y0，得xx0y，从而2x2x01．01y0所以四边形的面积

S12 122x0y12y0x 0102x24y2004x0y04x08y042xx 0y002y022x0y02x04y04xy

00x02y022．

从而四边形的面积为定值．

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考点：椭圆方程，直线和椭圆的关系，运算求解能力.

【名师点睛】解决定值定点方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.

26.【2017高考北京文数第19题】已知椭圆C的两个顶点分别为A(−2,0)，B(2,0)，焦点在

x轴上，离心率为3． 2（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4:5．

x2y21；（Ⅱ）详见解析. 【答案】（Ⅰ）4【解析】

x2y2试题解析：（Ⅰ）设椭圆C的方程为221(ab0).

aba2,由题意得c3解得c3. ,2a222所以bac1.

x2y21. 所以椭圆C的方程为4（Ⅱ）设M(m,n)，则D(m,0),N(m,n). 由题设知m2，且n0.

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nm2，故直线DE的斜率kDE. m2nm2(xm). 所以直线DE的方程为ynn(x2). 直线BN的方程为y2m直线AM的斜率kAMm2y(xm),n(4m2)n联立解得点E的纵坐标yE. 224mnyn(x2),2m由点M在椭圆C上，得4m24n2.

4n. 512又S△BDE|BD||yE||BD||n|，

251S△BDN|BD||n|，

2所以yE所以△BDE与△BDN的面积之比为4:5. 【考点】椭圆方程，直线与椭圆的位置关系

【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，重点考查了计算能力，以及转化与化归的能力，解答此类题目，主要利用a,b,c,e的关系，确定椭圆方程是基础，本题易错点是对复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题与解决问题的能力等.

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