初中数学中整体思想的应用及解题策略

江苏省涟水县涟西（南）中学 陈永 余久兵（223421）

有一些数学问题，如果从局部入手，难以各个突破，但若能从宏观上进行整体分析，运用整体思想方法，则常常能出奇制胜，简捷解题。

整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．整体思想的主要表现形式有：整体代换、整体设元、整体变形、整体补形、整体配凑、整体构造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用．下面就初中数学中整体思想的应用及解题策略谈一些看法和体会．

一、 整体代换

整体代换是根据问题的条件和结论，选择一个或几个代数式，将它们看成一个整体，灵活地进行等量代换，从而达到减少计算量的目的。

例1：已知ad2007，bd2008，cd2009，且abc＝24，求

222abc111的值。 bccaababc解析：由已知解出a、b、c的值再代入求解，计算将很复杂，因此选择如下的整体代

换：

由已知可得：ab1，bc1，ca2则

原式＝

1(a2b2c2bcacab) abc111[(ab)2(bc)2(ca)2](114) 2abc488二、整体设元

整体设元是用新的参元去代替已知式或已知式中的某一部分，从而达到化繁为简、化难为易的目的。

例2：计算：(11111111)() 23200723420081111111(1)()

2320082342007解析：本题数据较多，直接计算显然无法进行，注意到题中出现的相同算式，因而考虑整体设元。设

1111a2342007，则原式＝

(1a)(a11)(1a)a 200820081aa1aa2aa2

2008200820082008三、整体变形

整体变形是将问题中某些局部运算作整体变形处理，使之呈现规律性结构形式，从而达到简化问题或减少运算量的目的。

例3：计算：99999919999

2008个92008个92008个9解析：观察式子特点，用凑整法可简化运算。 原式999(9991)99919999

2008个92008个92008个92008个9=99910001000 2008个92008个02008个01000(99991)

2008个02008个91000

4016个0四、整体补形

整体补形是补充完整，根据题设条件将原题中的图形补足为某种特殊的图形，沟通题设条件与特殊的图形之间的关系，从而突出问题本质，找到较简洁的解法或证法。

例4：如图，在四边形ABCD中，AB2,CD1,A60,BD90，求四边形ABCD的面积。

解析：这是一个不规则的四边形，欲求它的面积，可把它补成三角形或规则的四边形，所求图形的面积恰是两个图形面积的差。

延长AD、BC相交于点E，如图1

在RtABE中，A60,AB2 BEABtanA23 在RtCDE中，CD1,ECD180BCD60

DECDtanECD1tan603 11S四边形ABCDSABESCDEABBECDDE22113322313 222

说明：本题还可以把原四边形补成一个矩形、直角梯形、等

边三角形或平行四边形，如图2—图5。

五、整体配凑

整体配凑是将问题中的条件和结论进行适当的配凑，使之结构形式特殊化、公式化，再利用相关性质进行求解，以达到解答问题的目的。

例5：若a2b3c12，且abcabbcca，则abc＿＿＿ 解析：要求abc的值，需求a、b、c的值，但已知等式只有两个，若按常规方法是无法解决的，注意到abcabbcca，可采取整体配凑的方法，借助于非负数的性质，找出a、b、c之间的关系，再利用a2b3c12就可以求出a、b、

2222222222c的值。事实上，由a2b2c2abbcca，有2a22b22c22ab2bc2ca0，即(ab)2(bc)2(ca)20，故

abc，将之代入a2b3c12有abc2，故ab2c210

六、整体构造

整体构造是把问题中某些代数式，赋予具体的几何意义，构造出几何图形，利用数形结合的思想来解答问题。

例6：已知0x12,试求x24(12x)29的最小值。 解析：作出图6，赋予以上式子如下的几何意

义，ACx24,CE(12x)29，所以求

x24(12x)29的最小值，即求CDCE的最小值，当D,C,E三点共线时值最小，最小值为

DE122(23)213。

图6