北师大版高中数学必修一第四章测试题.doc

第四章测试题

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150

分．考试时间120分钟．

一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．方程lgx＋x＝0的根所在区间是( ) A．(－∞，0) C．(1,2)

B．(0,1) D．(2,4)

2．函数f(x)的图像如图所示，则函数f(x)的零点个数为( )

A．1 C．3

B．2 D．4

3．若函数f(x)＝x2－2x－a没有零点，则实数a的取值范围是( )

A．a>－1 C．a≥－1

桑水

B．a<－1 D．a≤－1

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4．已知一次函数f(x)＝ax＋b的一个零点为1，则f(x)＝bx2＋ax的零点为( )

A．0 C．0,1

B．1 D．0，－1

5．夏季高山温度从山脚起每升高100米，降低0.7摄氏度，已知山顶的温度是14.1摄氏度，山脚的温度是26摄氏度，则山的相对高度为( )

A．1750米 C．1700米

B．1730米 D．1680米

6．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( ) A．[－2,1] C．[0,1]

B．[－1,0] D．[1,2]

7．已知函数f(x)的图像是连续不断的，x、 f(x)的对应关系如下表： x f(x) 1 136.136 2 15.552 3 －3.92 4 10.88 5 －52.488 6 －232.064 则函数f(x)存在零点的区间为( ) A．区间[1,2]和[2,3] B．区间[2,3]和[3,4] C．区间[2,3]和[3,4]和[4,5] D．区间[3,4]和[4,5]和[5,6]

8．某商品零售价2011年比2010年上涨25%，欲控制2012年比2010年只上涨10%，则2012年应比2011年降价( )

A．15% C．10%

B．12% D．50%

9．三次方程x3＋x2－2x－1＝0的根不可能在的区间为( )

桑水

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A．(－2，－1) C．(0,1)

B．(－1,0) D．(1,2)

10．设二次函数f(x)＝x2－x＋a，若f(－t)<0，则f(t＋1)的值( ) A．是正数 C．是非负数

B．是负数 D．正负与t有关

第Ⅱ二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把

答案填在题中横线上)

11．已知函数f(x)＝x2－1，则函数f(x－1)的零点是________． 12．用一根长为12m的细铁丝弯折成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最大面积是________．

13．已知f(x)是定义域为R的奇函数，且在(－∞，0)内的零点有2012个，则f(x)的零点的个数为________．

2

x＋bx＋c x≤0

14．设函数f(x)＝，若f(－4)＝2，f(－2)＝

2 x>0

－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数是________．

15．某商人购货，进价已按原价a扣去25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯利，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式是________．

三、解答题(本大题共6个小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16．(本小题满分12分)求函数y＝x3－3x2－2x＋6的零点个数． 17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－x＋m的零点都在区间(0,2)内，求实数m的范围．

18．(本小题满分12分)有甲、乙两种商品，经营销售这两种商

桑水

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品所能获得的利润依次为Q1万元和Q2万元，它们与投入资金的关系13

是Q1＝5x，Q2＝5x.今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为多少？

19．(本小题满分12分)确定函数f(x)＝log1 x＋x－4的零点个数．

2

[分析] 解答本题可先在同一个平面直角坐标系内画出函数y1＝log1 x与y2＝4－x的图像，然后通过观察与分析图像的情况，最后得

2

出结论．

20．(本小题满分13分)已知关于x的函数y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零点．

(1)求m的范围；

(2)若函数有两个不同零点，且其倒数之和为－4，求m的值．

21．(本小题满分14分)

某房地产公司要在荒地ABCDE(如图所示)上划出一块长方形地面建造一幢公寓，问：如何设计才能使公寓占地面积最大？求出最大面积(尺寸单位：m)．

[分析] 解答本题可先进行分类讨论，在各种情况下列出函数关系式并求最值，然后比较得到所求解的情况．

1[答案] B

[解析] 若lgx有意义，∴x>0，故A不正确， 又当x>1时，lgx>0，lgx＋x>0，C、D不正确，故选B.

桑水

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2[答案] D

[解析] 因为f(x)与x轴有4个交点，所以共有4个零点． 3[答案] B

[解析] ∵函数没有零点，∴x2－2x－a＝0无实数解． ∴Δ<0，即4＋4a<0，∴a<－1，故选B. 4[答案] C

[解析] 由题意知：a＋b＝0，

∴f(x)＝bx2＋ax＝x(bx＋a)＝x(bx－b)＝0， 解得x＝0或1，故选C. 5[答案] C

[解析] 设从山脚起每升高x百米时，温度为y摄氏度，根据题意得y＝26－0.7x，山顶温度是14.1摄氏度，代入得14.1＝26－0.7x.∴x＝17(百米)，

∴山的相对高度是1700米． 6[答案] A

[解析] 二分法求变号零点时所取初始区间[a，b]，使f(a)·f(b)<0. 显然：f(－2)＝－3，f(1)＝6， ∴f(－2)·f(1)<0.故选A. 7[答案] C

[解析] 由图表可知，f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0.故选C. 8[答案] B

[解析] 1＋10%＝(1＋25%)(1－x%)，解得x＝12. 9[答案] C

[解析] ∵f(－2)＝－1<0，f(－1)＝1>0， f(0)＝－1<0，f(1)＝－1<0，f(2)＝7>0，

桑水

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∴三次方程x3＋x2－2x－1＝0的三个根分别在区间(－2，－1)、(－1,0)、(1,2)内，故选C.

10[答案] B

[解析] 因为f(t＋1)＝(t＋1)2－(t＋1)＋a＝t2＋t＋a，f(－t)＝t2＋t＋a，

又∵f(－t)<0，所以f(t＋1)为负数． 11[答案] 0和2

[解析] 由f(x－1)＝(x－1)2－1＝x2－2x＝0， 得x＝0或x＝2. 12[答案] 9m2

[解析] 设框架的一边长为xm，则另一边长为(6－x)m. 设框架面积为ym2，则y＝x(6－x)＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9(013[答案] 4025

[解析] 因为f(x)为奇函数，且在(－∞，0)内有2012个零点，由奇函数的对称性知，在(0，＋∞)内也有2012个零点，又x∈R，所以f(0)＝0，因此共4025个零点．

14[答案] 3

16－4b＋c＝2b＝4

[解析] 由已知得，

4－2b＋c＝－2c＝2

2

x＋4x＋2 x≤0

∴f(x)＝，作图像如图所示．

2 x>0

桑水

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由图像可知f(x)＝x的解的个数为3. a

15[答案] y＝4x(x∈N＋)

[解析] 依题意，有b(1－20%)－a(1－25%)＝b(1－20%)·25%，55化简得b＝4a，∴y＝b·20%·x＝4a·20% ·x，

a

即y＝4x(x∈N＋)．

16[解析] y＝x3－3x2－2x＋6 ＝x2(x－3)－2(x－3) ＝(x2－2)(x－3)，

令y＝0则x＝±2或x＝3， 显然有三个零点．

Δ≥0，

由题意可得f0>0，

f2>0，

17[解析]

1－4m≥0

即m>04－2＋m>0

，

11

解得018[解析] 设投入甲x万元，则投入乙(3－x)万元，

桑水

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13

利润Q1＋Q2＝5x＋53－x， 令3－x＝t(0≤t≤3)，则x＝3－t2， 1312332

∴Q＝5(3－t)＋5t＝－5t＋5t＋5 1321＝－5(t－2)2＋20，

3321

∴当t＝2，即x＝4时，Q取得最大值20， 9

此时，3－x＝4. 3

∴为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为4万9

元和4万元．

19[解析] 设y1＝log1 x，y2＝4－x，则f(x)的零点个数即y1与y2

2

的交点个数，

作出两函数图像，如图．

由图知，y1与y2在区间(0,1)内有一个交点， 当x＝4时，y1＝－2，y2＝0， 当x＝8时，y1＝－3，y2＝－4， ∴在(4,8)内两曲线又有一个交点， ∴两曲线只有两个交点，

即函数f(x)＝log1 x＋x－4有两个零点．

2

20[解析] (1)当m＋6＝0时，m＝－6，

桑水

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函数为y＝－14x－5显然有零点， 当m＋6≠0时，m≠－6， 由Δ＝4(m－1)2－4(m＋6)(m＋1) 5

＝－36m－20≥0，得m≤－9. 5

∴当m≤－9且m≠－6时，二次函数有零点． 5

综上，m≤－9. (2)设x1，x2是函数的两个零点，则有 2m－1m＋1

x1＋x2＝－，x1x2＝.

m＋6m＋6x1＋x211

∵x＋x＝－4，即xx＝－4， 12122m－1∴－＝－4，解得m＝－3.

m＋1

且当m＝－3时，m＋6≠0，Δ>0符合题意， ∴m的值为－3.

21[解析] 如图所示，设计长方形公寓分三种情况：

(1)当一端点在BC上时，只有在B点时长方形BCDB1面积最大， ∴S1＝SBCDB1＝5600m2.

(2)当一端点在EA边上时，只有在A点时长方形AA1DE的面积最大，

∴S2＝SAA1DE＝6 000m2.

桑水

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(3)当一端点在AB边上时，设该点为M，则可构造长方形MNDP，并补出长方形OCDE.

设MQ＝x(0≤x≤20)，∴MP＝PQ－MQ＝80－x. OAMQ又OA＝20，OB＝30，则OB＝QB， 2x3∴3＝QB，∴QB＝2x，

3

∴MN＝QC＝QB＋BC＝2x＋70， 3

∴S3＝SMNDP＝MN·MP＝(70＋2x)·(80－x) 350218050＝－2(x－3)＋3，

5018050

当x＝3时，S3＝3.比较S1，S2，S3，得S3最大， 502513

此时MQ＝3m，BM＝3m，

2513

故当长方形一端点落在AB边上离B点3m处时公寓占地面180502

积最大，最大面积为3m.

桑水