2007-2008学年重庆市直属重点中学高三第2次联考数学试卷
命题：市直属重点中学高三数学联合备课组
时量：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集U={1,2,3,4,5}，集合N={3,4,5}，则集合(CUM)IN等于 （ A ）
A．{4} B．{2,3,4,5} C．{1,3,4,5} D．φ 2．在等差数列
{an}中，a1+3a8+a15=120
，则
2a9−a10=
（ A ）
A．24 B．22 C．20 D．−8 3．已知
x>0⎧⎪−cosπx
f(x)=⎨
f(x+1)+1x≤0⎪⎩
，则
43
f()+f(−)34
的值等于
（ D ）
A．−2 B．1 C．2 D．3
4．设m、n、p、q是满足条件m+n=p+q的任意正整数，则对各项不为0的数列{an}，
am⋅an=ap⋅aq
是数列{
an
}为等比数列的
（ C ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．若指数函数f(x)=a(a>0,a≠1)的部分对应值如右表： 则不等式f
−1
x
x
−2 0
f(x)
(x)<0的解集为 （ D ）
0.592 1 A．{x−1 1 C．1 D．2 2 14 B． n−1 7．设数列{2 }按“第n组有个数(n∈N•)”的规则分组如下：（1），（2，4），（8， 16，32（ B ） A．2 4951 ），… 4950 ，则第 5051 100组中 5050 的第一个数 B．2 C．2 D．2 8．设函数f(x)=sin(x+ π3 )(x∈R)，则f(x) （ A ） A．在区间[ 2π7ππ,]上是增函数 B．在区间[−π,−]上是减函数 362πππ5πC．在区间[,]上是增函数 D．在区间[,]上是减函数 3684 an−1 (n≥3)，则a17等于 （ C ） an−2 9．若数列{an}满足a1=1,an=2,an= A．1 B．2 C． 1−987 D．2 2 10．已知函数f(x)=2sinωx在区间[− 则ω的取值范围是 D ,]上的最小值为−2， 34 993 A．(−∞,−]U[6,+∞) B．(−∞,−]U[,+∞) 222 3 C．(−∞,−2]U[6,+∞) D．(−∞,−2]U[,+∞) 2 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在题中的横线上。 11．函数y=1−()的定义域是_______________[0,+∞) 12．已知α、β均为锐角，且cos(α+β)=sin(α−β)，则tanα=________ 1 13．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1,an+1=3Sn,(n=1,2L)，则log4S10=_____ 9 14．将函数y=log2x的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的m(m>0)倍，得到图象C，若将y=log2x的图象向上平移2个单位，也得到图象C，则m=_______ ππ12x1 4 ex+e−xex−e−x 15．设f(x)=，g(x)=，计算f(1)g(3)+g(1)f(3)−g(4)=____0____， 22 f(3)g(2)+g(3)f(2)−g(5)=____0____，并由此概括出关于函数f(x)和g(x)的一个 等式，使上面的两个等式是你写出的等式的特例，这个等式是_____________________________ f(x)g(y)+g(x)f(y)−g(x+y)=0 三、解答题：本大题共6个小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（本小题满分12分） 已知函数f(x)=2sin( 2 π4 +x)−3cos2x−1,x∈R。 （Ⅰ）若函数h(x)=f(x+t)的图象关于点(− （Ⅱ）设p:x∈[ π6 ,0)对称，且t∈(0,π)，求t的值； ππ ,],q:f(x)−m<3，若p是q的充分条件，求实数m的取值范围。 42 2 解：（Ⅰ）∵ f(x)=2sin( π+x)−3cos2x−1=1−cos(+2x)−3cos2x−1 42 π =sin2x−3cos2x=2sin(2x− ∴ h(x)=f(x+t)=2sin(2x+2t−∴h(x)的图象的对称中心为(又已知点(− π3 ) π3 )， kππ+−t,0),k∈Z 26 kππ+(k∈Z) 23 π6 ,0)为h(x)的图象的一个对称中心，∴t= 而t∈(0,π)，∴t= π3 或 5π。 6 （Ⅱ）若p成立，即x∈[ ππππ2π,]时，2x−∈[,]， 36342 f(x)∈[1,2]，由f(x)−m<3⇒m−3 ⎧m−3<1 ，解得−1 333 x⋅sin(x+2π)⋅sin(x+3π)在区间(0,+∞)内的全部极值点按442 从小到大的顺序排成数列{an}，(n=1,2,3,L). （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； (−1)n−1 （Ⅱ）设bn=sinansinan+1sinan+2，求证：bn=，(n=1,2,3,L). 4 33339x⋅sin(x+π)⋅sin(x+π) 442223331331 =sinx⋅(−cosx)⋅cosx=−sinx⋅cosx=−sin3x 4422224 kππ ∴f(x)的极值点为x=+,k∈Z，从而它在区间(0,+∞)内的全部极值点按 36 解：（Ⅰ）∵f(x)=sin 从小到大排列构成以 ∴an= π6 为首项， π3 为公差的等差数列， π6 32n−1 （Ⅱ）由an=π 知对任意正整数n，an都不是π的整数倍， 6 所以sinan≠0，从而bn=sinansinan+1sinan+2≠0 于是 +(n−1)⋅ π= 2n−1 π，(n=1,2,3,L) 6 bn+1sinan+1sinan+2sinan+3sinan+3sin(an+π) ====−1 bnsinansinan+1sinan+2sinansinan 62 1 {bn}是以为首项，−1为公比的等比数列。 4(−1)n−1 ∴bn=，(n=1,2,3,L) 4 18．（本小题满分12分） 设a、b∈R，且a≠2，定义在区间(−b,b)内的函数f(x)=lg（Ⅰ）求b的取值范围； （Ⅱ）讨论函数f(x)的单调性。 解：（Ⅰ）函数f(x)=lg 又b1=sin π⋅sin π⋅sin 5π1=， 64 1+ax 是奇函数。 1+2x 1+ax 在区间(−b,b)内是奇函数等价于 1+2x ⎧f(−x)=−f(x)⎪ 对任意x∈(−b,b)都有⎨1+ax 0>⎪⎩1+2x f(−x)=−f(x)即lg 2 2 2 1−ax1+ax1−ax1+2x ，由此可得， =lg= 1−2x1+2x1−2x1+ax 2 即ax=4x，此式对任意x∈(−b,b)都成立相当于a=4， 因为a≠2，∴a=−2，代入 1+ax1−2x11 >0 得>0，即− x∈(−b,b)都成立相当于−≤−b （Ⅱ）设任意的x1,x2∈(−b,b)，且x1 11 ≤−b −lg=lg 从而f(x2)−f(x1)=lg 因此f(x)在(−b,b)内是减函数，具有单调性。 19．（本小题满分13分） 已知首项不为零的数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的r、t∈N，都有 （Ⅰ）判断{an}是否为等差数列，并证明你的结论； （Ⅱ）若a1=1,b1=3，数列{bn}的第n项bn是数列{an}的第bn−1项(n≥2)，求bn. （Ⅲ）求和Tn=a1b1+a2b2+L+anbn. 解：（Ⅰ）{an}是等差数列，证明如下： ∵a1=S1≠0，令t=1,r=n，由 • Srr=()2. Stt SSrr =()2得n=n2 即Sn=a1n2. S1Stt ∴n≥2时，an=Sn−Sn−1=a1(2n−1)，且n=1时此式也成立. ∴an+1−an=2a1(n∈N)，即{an}是以a1为首项，2a1为公差的等差数列. （Ⅱ）a1=1时，由（Ⅰ）知an=a1(2n−1)=2n−1， 依题意，n≥2时，bn=abn−1=2bn−1−1， ∴bn−1=2(bn−1−1)，又b1−1=2， ∴{bn−1}是以2为首项，2为公比的等比数列， • bn−1=2⋅2n−1 即bn=2n+1. （Ⅲ）∵ anbn=(2n−1)(2+1)=(2n−1)2+(2n−1) ∴ Tn=[1⋅2+3⋅2+L+(2n−1)⋅2]+[1+3+L+(2n−1)] 即 Tn=[1⋅2+3⋅2+L+(2n−1)⋅2]+n 2 n 2 2 n n n 2Tn=[1⋅2+3⋅2+L+(2n−1)⋅2 两式相减，可以求得Tn=(2n−3)⋅220．（本小题满分13分） 已知f(x)= n+1 23n+1 ]+2n2 +n2+6 2x−a (x∈R)在区间[−1,1]上是增函数。 x2+2 （Ⅰ）求实数a的值所组成的集合A； 1 （Ⅱ）设关于x的方程f(x)=的两个根为x1、x2，若对任意x∈A及t∈[−1,1]，不等 x m2+tm+1≥x1−x2恒成立，求m的取值范围. 式 4+2ax−2x2−2(x2−ax−2) 解：（Ⅰ） f(x)=， = (x2+2)2(x2+2)2 / ∵f(x)在区间[−1,1]上是增函数，∴f(x)≥0对x∈[−1,1]恒成立， 即x−ax−2≤0 对x∈[−1,1]恒成立 设ϕ(x)=x−ax−2，则问题等价于 ⎨ 2 2 / ⎧ϕ(1)=1−a−2≤0 ⇔−1≤a≤1， ⎩ϕ(−1)=1+a−2≤0 / 对x∈[−1,1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f(−1)=0 及当a=−1时 f/(1)=0， ∴ A=[−1,1] （Ⅱ）由 2 2x−a12 ，得=x−ax−2=0， 2 x+2x 2 ∵Δ=a+8>0, ∴x1,x2是方程x−ax−2=0 的两非零实根， ∴x1+x2=a,x1x2=−2，从而x1−x2= ∵−1≤a≤1，∴x1−x2= 2 (x1+x2)2−4x1x2=a2+8， a2+8≤3. ∴不等式m+tm+1≥x1−x2对任意x∈A及t∈[−1,1]恒成立 ⇔m+tm+1≥3对任意t∈[−1,1]恒成立 ⇔m+tm−2≥0对任意t∈[−1,1]恒成立 22 设g(t)=m+tm−2=mt+(m−2)，则问题又等价于 22 ⎧g(−1)=m2−m−2≥0⎪ ⇔m≤−2,m≥2 ⎨2 ⎪⎩g(1)=m+m−2≥0 即 m的取值范围是(−∞,−2]U[2,+∞). 21．（本小题满分13分） 已知集合M=f(x)f(x)+f(x+2)=f(x+1),x∈R （Ⅰ）证明：g(x)∈M； （Ⅱ）某同学注意到g(x)是周期函数，也是偶函数，于是他着手探究：M中的元素是否 都是周期函数？是否都是偶函数？对这两个问题，给出并证明你的结论。 解：（Ⅰ）∵g(x)+g(x+2)=cos {}，g(x)=cos πx 3 . πx 3 +cos( πx 3 + 2π) 3 =cos πx 3 +cos πx 3 cos 2ππx2ππsin−sin=cos(x+1)=g(x+1) 3333 ∴g(x)∈M. （Ⅱ）①g(x)是周期是6的周期函数，猜测f(x)也是周期为6的周期函数。 由f(x)+f(x+2)=f(x+1)得f(x+1)+f(x+3)=f(x+2)， 两式相加可得 f(x+3)=−f(x)⇒f(x+6)=f(x) 即f(x)是周期为6的周期函数，故M中的元素是否都是周期函数. ② 令h(x)=sin πx 3 ，同上可证得h(x)+h(x+2)=h(x+1)， ∴ h(x)∈M，但h(x)=sin πx 3 是奇函数不是偶函数， ∴ M中的元素不都是偶函数. 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容