章末检测
一、选择题
1．下列语句中，是命题的个数是( ) ①|x＋2|；②－5∈Z；③π∉R；④{0}∈N. A．1 C．3 答案 C
解析 ②③④是命题．
π
2．(2012·湖南)命题“若α＝4，则tan α＝1”的逆否命题是( ) π
A．若α≠4，则tan α≠1 π
C．若tan α≠1，则α≠4 答案 C
ππ
解析 命题“若α＝4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠4”，故选C.
3．设a>0且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3
在R上是增函数”的( ) A．充分不必要条件 C．充分必要条件 答案 A
解析 结合函数单调性的定义求解．
由题意知函数f(x)＝ax在R上是减函数等价于0 B．若α＝4，则tan α≠1 π D．若tan α≠1，则α＝4 B．2 D．4 1 “函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的充分不必要条件． 4．设函数f(x)＝x2＋mx(m∈R)，则下列命题中的真命题是( ) A．任意m∈R，使y＝f(x)都是奇函数 B．存在m∈R，使y＝f(x)是奇函数 C．任意m∈R，使y＝f(x)都是偶函数 D．存在m∈R，使y＝f(x)是偶函数 答案 D 解析 存在m＝0∈R，使y＝f(x)是偶函数，故选D. 5．(2013·福建，理)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的( ) A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 答案 A 解析 若a＝3，则A⊆B；若A⊆B，则a＝3或2. 6．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( ) A．(綈p)∨q C．(綈p)∧(綈q) 答案 D 解析 由于命题p是真命题，命题q是假命题，因此，命题綈p是假命题，綈q是真命题，于是(綈p)∨(綈q)是真命题． 7．下列命题中正确的是( ) 1 A．“m＝2”是“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互平行”的充分不必要条件 B．“直线l垂直平面α内无数条直线”是“直线l垂直于平面α”的充分条件 2 B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 B．p∧q D．(綈p)∨(綈q) C．已知a、b、c为非零向量，则“a·b＝a·c”是“b＝c”的充要条件 D．p：存在x∈R，x2＋2x＋2≤0.则綈p：任意x∈R，x2＋2x＋2>0 答案 D 1解析 “m＝2” “直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－ 3＝0互相平行”，故A不正确．“直线l垂直平面α内无数条直线” “直线l垂直于平面α”，故B不正确．“a·b＝a·c” 正确．特称命题的否定为全称命题，D正确． 8．一元二次方程ax2＋4x＋3＝0 (a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( ) A．a<0 C．a<－1 答案 C 3 解析 一元二次方程ax＋4x＋3＝0 (a≠0)有一个正根和一个负根⇔a<0，解 2 “b＝c”，故C不 B．a>0 D．a>1 得a<0， 故a<－1是它的一个充分不必要条件． 9．(2013·四川)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B，则( ) A．綈p：∀x∈A,2x∉B C．綈p：∃x∉A,2x∈B 答案 D 解析 全称命题的否定是特称命题． 10．设集合U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，若A＝{(x，y)|2x－y＋m>0}，B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，则点P(2,3)∈A∩(∁UB)的充要条件是( ) A．m>－1，n<5 B．m<－1，n<5 B．綈p：∀x∉A,2x∉B D．綈p：∃x∈A,2x∉B 3 C．m>－1，n>5 答案 A 2x－y＋m>0， 解析 A∩(∁UB)满足 x＋y－n>0， D．m<－1，n>5 2×2－3＋m>0， ∵P(2,3)∈A∩(∁UB)，则 2＋3－n>0，m>－1， ∴ n<5.二、填空题 11．命题“若a>b，则2a>2b－1”的否命题为_________________________． 答案 若a≤b，则2a≤2b－1 解析 一个命题的否命题是对条件和结论都否定． 12．命题：存在一对实数对，使2x＋3y＋3<0成立的否定是 ______________________________________________________________. 答案 任意实数对，使2x＋3y＋3≥0成立． 解析 特称命题的否定是全称命题． 2 13．设p：x>2或x<3；q：x>2或x<－1，则綈p是綈q的________条件． 答案 充分不必要 2 解析 綈p：3≤x≤2. 綈q：－1≤x≤2.綈p⇒綈q，但綈qD∴綈p是綈q的充分不必要条件． 14．在下列四个命题中，真命题的个数是________． ①∀x∈R，x2＋x＋3>0； 11 ②∀x∈Q，3x2＋2x＋1是有理数； 綈p. 4 ③∃α，β∈R，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β； ④∃x0，y0∈Z，使3x0－2y0＝10. 答案 4 11111 解析 ①中x2＋x＋3＝(x＋2)2＋4≥4>0， 故①是真命题． 11 ②中x∈Q，3x2＋2x＋1一定是有理数， 故②是真命题． ππ ③中α＝4，β＝－4时， sin(α＋β)＝0，sin α＋sin β＝0，故③是真命题． ④中x0＝4，y0＝1时， 3x0－2y0＝10成立，故④是真命题． 三、解答题 15．给出命题p：“在平面直角坐标系xOy中，已知点P(2cos x＋1,2cos 2x＋2)→与OQ→不垂直”．试写出命题p的否 和Q(cos x，－1)，∀x∈[0，π]，向量OP定，并证明命题p的否定的真假性． 解 綈p：在直角坐标系中已知点P(2cos x＋1,2cos 2x＋2)和Q(cos x，－1)，→⊥OQ→，綈p是真命题，证明如下： ∃x∈[0，π]，向量OP →⊥OQ→得cos x(2cos x＋1)－(2cos 2x＋2)＝0利用cos 2x＝2cos2x－1，化简由OP 得：2cos2x－cos x＝0， 1 ∴cos x＝0或cos x＝2. ππ 又∵x∈[0，π]，∴x＝2或x＝3. ππ→⊥OQ→. 故∃x＝2或x＝3，向量OP 5 16．求证：“a＋2b＝0”是“直线ax＋2y＋3＝0和直线x＋by＋2＝0互相垂直”的充要条件． 证明 充分性： 当b＝0时，如果a＋2b＝0，那么a＝0，此时直线ax＋2y＋3＝0平行于x轴，直线x＋by＋2＝0平行于y轴，它们互相垂直；当b≠0时，直线ax＋2y＋3a1 ＝0的斜率k1＝－2，直线x＋by＋2＝0的斜率k2＝－b，如果a＋2b＝0，那a1 么k1k2＝(－2)×(－b)＝－1，两直线互相垂直． 必要性： 如果两条直线互相垂直且斜率都存在， a1 那么k1k2＝(－2)×(－b)＝－1，所以a＋2b＝0； 若两直线中有直线的斜率不存在，且互相垂直，则b＝0，且a＝0.所以，a＋2b＝0. 综上，“a＋2b＝0”是“直线ax＋2y＋3＝0和直线x＋by＋2＝0互相垂直”的充要条件． 17．设p：关于x的不等式ax>1 (a>0且a≠1)的解集为{x|x<0}，q：函数y＝lg(ax2 －x＋a)的定义域为R.如果p和q有且仅有一个正确，求a的取值范围． 解 当p真时，0 当q真时， 即a>2， 2 1－4a<0，1 ∴p假时，a>1，q假时，a≤2. 又p和q有且仅有一个正确． 6 1 当p真q假时，0 综上得，a∈(0，2]∪(1，＋∞)． 18．设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，命题q：实数x满足 2 x－x－6≤0，2 x＋2x－8>0. (1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围； (2)若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 解 (1)由x2－4ax＋3a2<0得(x－3a)(x－a)<0. 又a>0，所以a 2x＋2x－8>0.x<－4或x>2. 即2 设A＝{x|x≤a，或x≥3a}，B＝{x|x≤2，或x>3}， 则AB. 所以0 8 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容