“大球时代”乒乓球直径与赛事观赏性

摘 要

本文从运动员的体验质量和观众的观赏质量两方面进行分析，运用层次分析法和乒乓球的动力学仿真模型研究了乒乓球直径由38mm增加至40mm对赛事观赏性的影响。之后建立落台时间和动能综合最优化控制的数学规划模型，得到了最佳的乒乓球直径。

对于问题一，主要考虑乒乓球直径的增大对运动员体验质量和观众观赏质量的影响。首先考虑乒乓球直径的变化对运动员体验质量的影响，以运动员的体验质量为一级指标，以技术难度，战术思维，正手使用次数，反手使用次数，接球率为二级指标，运用层次分析法得到各个影响因素的权重值及运动员体验质量与各个影响因素的关系式，可知乒乓球的直径增加提高了运动员体验质量。之后考虑乒乓球直径的变化对观众观赏质量的影响，观众的观赏质量主要体现在乒乓球速度以及转速，对于乒乓球的速度，运用乒乓球的动力学仿真模型得到乒乓球的速度与直径的关系式，可知乒乓球的直径增加使速度减小，观众的观赏质量提高。对于乒乓球的转速，根据动量距定理求出乒乓球不同直径时的不同转速，最终得到转速减小会影响球的攻击性，增加乒乓球比赛的回合数，使观众的观赏质量提高。

对于问题二，建立了三个最优化模型。首先在观众满意的情况下，建立乒乓球落台时间最小的数学规划模型，得到使落台时间最小的。之后在运动员满意的情况下，建立乒乓球落台动能最大的数学规划模型，得到使落台动能最大的。在观众和运动员都满意的情况下，建立落台时间和动能综合最优化控制的数学规划模型，得到了最佳的119.757r/s，将得到的带入乒乓球动力学仿真模型，求出最佳的乒乓球直径为：d39.634mm。

关键词：赛事观赏性，层次分析法，乒乓球动力学仿真模型，最优化

1

一、 问题重述

2000年，国际乒乓球联合会（简称国际乒联）将国际乒乓球职业赛事中的官方用球直径由38mm增加至40mm。其宗旨在于进一步增加球在空中运行中的空气阻力，减缓比赛中球运行的速度，从而达到进一步增加和丰富乒乓球职业运动员击球技术和技巧的目的，最终增加乒乓球赛事的整体观赏性。然而自乒乓球“大球时代”到来迄今为止，关于用球直径的争议始终未有停止。国内外各界教练和运动员褒贬不一。值得注意的事，由于职业运动员身高，打球习惯，握拍习惯的不同，其对球直径变化的敏感度也颇有差异。

请通过建模分析当前的比赛用球直径是否较之“小球时代”提升了运动员的体验质量和观众的观赏质量？请通过建模进一步分析您认为的最佳乒乓球直径的长度？

二、问题分析

国际乒联为了增加赛事观赏性将乒乓球的直径由38mm增加至40mm，引起了职业运动员自身因素的不同对球直径变化的敏感度的差异，导致关于用球直径的争议始终未有停止。因此建立数学模型研究乒乓球直径与赛事观赏性的问题非常迫切。

对于问题一，首先考虑乒乓球直径的变化对体验质量的影响，以运动员的体验质量为一级指标，以技术难度，战术思维，正手使用次数，反手使用次数，接球率为二级指标，运用层次分析法判断出对运动员体验质量影响的主要因素，之后得到各个影响因素的权重值及运动员体验质量与技术难度，战术思维，正手使用次数，反手使用次数，接球率的关系式。得到不同的乒乓球直径对运动员体验质量的影响。其次考虑乒乓球直径的变化对观众观赏质量的影响，观众的观赏质量主要体现在乒乓球速度以及转速的变化，对于乒乓球的速度，运用乒乓球动力学仿真模型得到乒乓球的速度与直径的关系，求出不同直径时的不同的速度。对于乒乓球的转速，根据动量距定理求出不同直径时的不同的转速，最终得到乒乓球转速与直径的关系。

对于问题二，首先在对观众满意的情况下，建立乒乓球落台时间最小规划模型，得到落台时间最小的。之后在运动员满意的情况下，建立乒乓球落台动能最大的数学规划模型，得到落台动能最大的。要想得到最佳的乒乓球直径，必须考虑观众和运动员都满意的情况，所以建立落台时间和动能综合最优化控制的数学规划模型，得到了最佳的，将得到的带入模型一所求出的方程，求出最佳的乒乓球直径。

三、模型假设

1.不考虑乒乓球存在接缝的不均匀性，即乒乓球的几何模型为均匀的薄球壳体。 2.将乒乓球运行过程中的平均速度用瞬时速度代替。 3.不考虑运动员的击球动作。

4.乒乓球与球台面的碰撞为非理想弹性斜碰撞，考虑碰撞接触点与台面的相对滑动摩擦效应。

四、定义及符号说明

2

Fb 浮力 空气的密度 乒乓球的密度 由诱导磁场引起的附加质量 乒乓球的质量 转动惯量 最大挥拍速度的限制 乒乓球初始质心速度和角速度的正交关系 表示击球点不能在乒乓球以外 a d m m I g1 h1 g2 五、问题一模型的建立与求解 5.1 基于AHP的综合评估模型【1】 5.1.1 模型的建立

此模型主要考虑运动员体验质量的主要影响因素，即：技术难度，战术思维，正手使用次数，反手使用次数，接球率。为了说明运动员的体验质量与技术难度，战术思维，正手使用次数，反手使用次数，接球率的关系，运用层次分析法得到各个影响因素的权重值【2】及体验质量与各个影响因素的公式，进而得到不同乒乓球直径对运动员体验质量的影响程度。 5.1.1.1 递阶层次关系的建立

为了考虑运动员的体验质量与技术难度，战术思维，正手使用次数，反手使用次数，接球率的影响程度。本文考虑把运动员的体验质量定为一级指标，把技术难度，战术思维，正手使用次数，反手使用次数【3,4】，接球率定为二级指标，建立如图1所示的运动员体验质量指标体系的结构图。

A 运动员的体检质量 技术难度 战术思维 正手使用次数 反手使用次数 接球率 B1 B2 B3 B4 B5

图1运动员体验质量指标体系的结构图

3

其中A运动员的体验质量，B1技术难度，B2战术思维，B3正手使用次数，

B4反手使用次数，B5接球率。

5.1.1.2判断矩阵和权重向量的求解

根据层次分析中9标度法得到小球的准则层对目标层的判断矩阵如表1所示。

表1 小球的准则层对目标层的判断矩阵 A B1 B2 B3 B1 B2 B3 B4 B5 1 1/2 1/4 1/3 1/9 2 1 1/2 1/4 1/3 4 2 1 1/2 1/4 3 4 2 1 1/2 9 3 4 2 1 B4 B5 求出随机一致性比率为CR10.04080.1,因此，准则层对目标层的一致性检验通过。

再根据层次分析中9标度法得到大球的准则层对目标层的判断矩阵如表2所示。

表2 大球的准则层对目标层的判断矩阵 A B2 B2 B1 B3 B4 B5 1 1/3 1/5 1/6 1/2 3 1 1/3 1/5 1/6 5 3 1 1/3 1/5 6 5 3 1 1/3 2 6 5 3 1 B1 B3 B4 B5 求出随机一致性比率为CR10.05790.1,因此，准则层对目标层的一致性检验通过。

设判断矩阵为aij，那么每一行元素之积：

4

Miaij (1)

j1maimMi,i(1,2,3,4,,m) (2)

对向量(1,2,3,,m)做归一化处理，得到最大特征值m的特征

T向量：

W(W1,W2,W3,,Wm) (3)

T1m(AW)i m,i(1,2,,m) (4)

mi1wiC.Immm15

,CRC.I (5) RI7

8

9

10

11

表3随机一致性指标RI的数值

n

1 0

2 0

3 4 6

RI

0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51

表3为诸因素对于目标的相对重要性的权重向量，计算出判断矩阵一致性指标CI值。当随机一致性比率CR0.1时，则认为层次单排序的结果有满意的一致性，否则需要调整判断矩阵的元素取值。 5.1.2模型的求解

对于小球，用MATLAB(详见附录1)【5】求得

max5.1829,CI0.0,RI4507.0，所以认为满足一致性指标，判断矩阵是4可行的。最大特征值的权重向量为W(0.4473,0.2539,0.1522,0.0941,0.0525)。根据W可知，技术难度对运动员体验质量的影响最大。

对于大球，用MATLAB(详见附

录

2)

求

得

max5.2595,CI0.06,RI409.05，所以认为满足一致性指标，判断矩阵是

602,0.1321,0.0669,0.0348)。根可行的。最大特征值的权重向量为W(0.5061,0.2据W可知，战术思维对运动员体验质量的影响最大。

把运动员的体验质量定为y，把技术难度，战术思维，正手使用次数，反手使用次数，接球率分别定为x1,x2,x3,x4,x5得到计算关系式如下： 对于小球：

y0.4473x20.2539x10.1522x30.0941x40.0525x5 (6)

5

1(10.447320.253940.152230.094190.0525)0.12203 (7) 19对于大球： y y0.5061x10.2602x20.1321x30.0669x40.0348x5 (8)

y1(10.506130.260250.132160.066920.0348)0.142247 (9) 17因为y0.12203y0.142247，所以从小球变到大球后运动员的体验质量提高。 5.2 乒乓球动力学仿真模型

在小球时代，运动员往往以发球取胜，大大降低了群众的观赏质量。而在大球时代，乒乓球的球速和转速是影响赛事观赏性的主要因素，由此建立乒乓球动力学仿真模型，借此寻找大球与小球在直径变化后球速和转速的变化情况，借以验证对观众的观赏质量的关系。下面分别从乒乓球球速和乒乓球转速两方面研究对观众观赏质量的影响【6】。

5.2.1 乒乓球直径增加对速度的影响【7】

5.2.1.1模型的建立

旋转的乒乓球在运行过程中主要受重力、浮力、附加质量力、空气阻力和Magnus力的作用，如图2所示。其中，重力与浮力方向相反，空气阻力与乒乓球运动方向相反。

图2 乒乓球的受力分析图

重力Fg的表达式如下：

1 Fgmgdd3g (10)

6其中，d为乒乓球的密度，d为乒乓球的直径，浮力Fb等于乒乓球球体排开的，相同体积的空气质量力，其计算公式为：

1 Fbmagad3g (11)

6

6

其中，a为空气密度。

对于由诱导磁场引起的附加质量力，其大小为：

1dv1dv Fmad3 (12) ma12dt2dt1ma又常被记为m，称为附加质量。附加质量力在乒乓球速度变化不大时可以2忽略。

球形物体在流体中运动所受到的阻力，等于该球形物体的半径、速度、流体的黏度与6π的乘积。这个定律叫做斯托克斯定律。所受到的阻力叫做斯托克斯力。其FS的计算公式为：

FS6rv3dv

(13)

当一个旋转物体的旋转角速度矢量与物体飞行速度矢量不重合时，在与旋转角速度矢量和平动速度矢量组成的平面相垂直的方向上将产生一个横向力。在这个横向力的作用下物体飞行轨迹发生偏转的现象称作马格努斯效应。对于马格努斯效应，经过学者们的研究，主要机理有：1）不对称位移厚度，2）不对称离心力，3）不对称壁面摩擦应力，4）不对称转捩，5）不对称分离和体涡，6）不对称二次流动。对球体，Magnus力可由如下公式表达：

1 FMad3V (14)

8其中，为旋转速度。

按照牛顿第二定律，可以建立旋转乒乓球的横向和纵向的动力学方程： 横向：

d2xdx1dyad3 (15) (mm)23ddt8dtdt纵向：

d2ydy1dxad3 (16) (mm)2FgFb3ddt8dtdt其中，Fgmg,Fbmag，t为时间。

5.2.1.2模型的求解

由于附加质量力在乒乓球速度变化不大时可以忽略，所以对于小球和大球都忽略m。 对于小球：

d2x已知小球的水平方向的加速度ax214.5581m/s2，垂直方向的加速度

dtd2yay250.6362m/s2。大球的旋转速度w116r/s，大球的质量m2.7g，

dt 7

直径d40mm，1.86105Ns/m3，a1.293kg/m3。 对于大球：

d2x已知大球的水平方向的加速度ax215.416m/s2，垂直方向的加速度

dtd2yay244.254m/s2。小球的旋转速度w133.5r/s，小球的质量m2.5g，

dt直径d38mm，1.86105Ns/m3，a1.293kg/m3。 计算采用的初始条件如表4所示

表4 模型的初始参数 参数 数值 大球的旋转速度 小球的旋转速度 大球 小球 环境 空气密度 粘度 把小球的已知数据带入旋转乒乓球的横向和纵向的动力学方程，得到dxdyvx12m/s，vy13m/s以及v17.6918m/s

dtdt把大球的已知数据带入旋转乒乓球的横向和纵向的动力学方程，得到dxdyvx13m/s，vy11m/s以及v17.0294m/s。

dtdt5.2.2乒乓球直径增加对转速的影响

若运动员以同样的方式和大小相等的力击大小不等的两种球,因大球与小球的转动惯量不同,则球的运动状态的改变会有明显不同,两种球的转动惯量计算公式为：

I22/3m2r227.9312(克厘米2） (17)

26(克厘米2） I12/3m1R2 (18)

116.5r/s 133.5r/s m2.7g,d40mm m2.5g,d38mm T=20 C,P=1atm a1.293kg/m3 1.86105Ns/m3 按小球的转速为50转/秒计算,根据动量距定理,可计算出大球的转速2为：

8

因为：MtI11 MtI22 则：I11I22 2I11/I240.59(转/秒）两球的角速度差为：

129.4112(转/秒） (19) 由计算得知,以同样的方式击打大小不同的两种球时,大球的转速比小球的转速减少9.4112转/秒(近1/5)。 5.2.3 结果分析。

大球的速度v17.0294m/s而小球的速度v17.6918m/s，大球的速度小于小球的速度。与使用小球相比，每轮的比赛时间将会得到延长，比赛的激烈程度会得到增加，观众的观赏质量得到大大提高。

小球的转速为50转/秒，而大球的转速为40.59转/秒，根据伯努利定律,高速旋转的球在空气中的飞行轨迹是一条曲线而不是直线,曲线的弯曲度取决于偏心力使球产生的转速和速度的合矢量的大小和方向。因此，转速减小会影响球的攻击性，增加排球比赛的回合数，使观众的观赏质量提高。

六、问题二模型的建立与求解

在对运动员满意的情况下，建立乒乓球落台动能最大的数学规划模型，得到落台动能最大的，将得到的带入乒乓球动力学仿真模型，得到最大的乒乓球直径。之后在观众满意的情况下，建立乒乓球落台时间最小规划模型，得到落台时间最小的，将得到的带入乒乓球动力学仿真模型，得到最小的乒乓球直径。要得到最佳的乒乓球直径，必须考虑观众和运动员都满意的情况，所以建立落台时间和动能综合最优化控制的数学规划模型，得到了最佳的，将其带入乒乓球动力学仿真模型，得到最佳的乒乓球直径。 6.1 乒乓球落台时间最小的数学规划模型

建立如图3所示的空间坐标系，球台的正中心为坐标原点o，从击球者的角度来看，右手方向为x1轴的正向，向前为x2轴的正向，向上为x3轴的正向【8】。

x2

x3

x1

0

图3 空间坐标系

乒乓球初始速度值为：v10，v20，v30，乒乓球的初始转速值为：10，20，30。 令：x10(t)10；x11(t)20；x12(t)30

9

6.1.1模型的建立

minftf(v10, v20,v30,10,20,30) (20)

22r20)0 (21) g1vmax(v23v0202 g21r302v200 (22)

h1v000 (23) 式中v0(v10, v20,v30),10(10,20,30)， g1表示最大挥拍速度的限制， g2表示击球点不能在乒乓球以外：h1表示乒乓球初始质心速度和角速度的正交关系。 6.1.2 模型的求解 当乒乓球的初始位置为：

x1(0)0,x2(0)10,x3(0)1,x4(0)0,x5(0)0,x6(0)0,，且vmax200时，

求得：

tf0.09443 (24) v0{0,158.444,29.355} (25) 0{738.984,0,0} (26) 将738.984117.613r/s (27) 2738.984117.613r/s代入乒乓球动力学仿真模型，可得最大的直径为：2d39.8734mm。

6.2 乒乓球落台动能最大的数学规划模型 6.2.1 模型的建立

minf1， (28) T(tf)22r20)0 (29) g1vmax(v23v0202 g21r302v200 (30)

h1v000 (31)

10

6.2.2 模型的求解 当初始位置坐标为：

x1(0)0,x2(0)10,x3(0)1,x4(0)0,x5(0)0,x6(0)0,，且vmax200，求得：

tf0.15681s (32) v0{0,94.233,78.271} (33) 0{909.924,0,0} (34) 将909.924144.819r/s (35) 2909.924144.819r/s代入乒乓球动力学仿真模型，可得最大的直径为： 2d37.2015mm。

6.3 落台时间和动能综合最优化控制的数学规划模型 6.3.1 模型的建立

minfktf0.0944320(1k)46.653 (36) T(tf)22r20)0 (37) g1vmax(v23v02 g21r302v200 (38)

h1v000 (39) 6.3.2 模型的求解

k的取值范围为为0~1,当k1时，为时间最优控制，k0时为动能最优控制，此模型计算中k10%。

x1(0)0,x2(0)10,x3(0)1,00时，当初始坐标位置为：，且vm求得： ax2x4(0)0,x5(0)0,x6(0)0, tf0.11964s (40) v0{0,153.013,44.049} (41) 0{752.455,0,0} (42) 将752.455119.757r/s (43) 2752.455119.757r/s代入乒乓球动力学仿真模型，可得最佳的直径为： 211

d39.634mm。 6.4 结果分析

运用乒乓球落台时间最小的数学规划模型可得乒乓球的最大直径d39.8734mm，运用乒乓球落台动能最大的数学规划模型可得乒乓球的最小直径d37.2015mm，由此可知乒乓球的直径的范围为37.2015mm~39.8734mm。又因为乒乓球的最小直径取d38mm比较合理，最终得到乒乓球直径的范围为 38mm~39.8734mm。之后运用落台时间和动能综合最优化控制的数学规划模型得到乒乓球的最佳直径为：d39.634mm。

七、模型评价与推广。

运用层次分析法对影响运动员体验质量的因素进行分析，将一个复杂的定性分析的问题分解为若干个可以定量分析的因素加以求解，得出的结果比较直观。运用乒乓球动力学仿真模型更形象的把理想状态的力学研究和实际的力学轨迹结合起来，描述了乒乓球运动在特定的运行中的力学状态，得到的结论准确，与实际相符。运用落台时间和动能综合最优化控制的数学规划模型，把乒乓球的速度与转速结合起来，在观众观赏质量得到保证的前提下，使运动员的体验质量达到最大，最终得到乒乓球的最佳直径。

对于乒乓球动力学仿真模型可以推广到研究弧圈球的飞行轨迹和飞行速度以及不同旋转速度对弧圈球的影响的问题。

参 考 文 献

[1] 周义仓,郝孝良.数学建模实验第二版.西安交通大学出版社.西安,2007 [2] 何琼,张雨.第27届奥运会男子优秀乒乓球运动员发球技术分析[J].体育学

刊,2002,01:120-121+124.

[3] 李宇星.48届世乒赛男子优秀运动员技术特征及乒乓球运动发展趋势的研

究[J].广州体育学院学报,2005,06:87-89.

[4] 谢冬兴.世界优秀乒乓球男子双打运动员接发球技术统计研究[J].军事体育

进修学院学报,2009,04:60-62.

[5] 王正林 龚纯 何倩 精通MATLAB科学计算第三版 电子工业出版

社 北京，2012

[6] 冯凌,辈伟民,崔元康.论40mm乒乓球对削球的影响与对策[J].解放军体育

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[7] 孙在，余广鑫，郭美，朱丽莉，杨军，何正兵.乒乓球弧圈球的空气动力学

原理及其飞行轨迹的仿真分析.体育科学.2008.04 [8] 彭搏.无缝乒乓球的控制研究[D].上海交通大学,2013.

12

附录：

附录一：

disp('请输入判断矩阵A(n阶)'); A=input('A='); [n,n]=size(A); x=ones(n,100); y=ones(n,100); m=zeros(1,100); m(1)=max(x(:,1)); y(:,1)=x(:,1); x(:,2)=A*y(:,1); m(2)=max(x(:,2)); y(:,2)=x(:,2)/m(2);

p=0.0001;i=2;k=abs(m(2)-m(1)); while k>p i=i+1;

x(:,i)=A*y(:,i-1); m(i)=max(x(:,i)); y(:,i)=x(:,i)/m(i); k=abs(m(i)-m(i-1)); end

a=sum(y(:,i)); w=y(:,i)/a; t=m(i);

disp(w);disp(t);

%以下是一致性检验

CI=(t-n)/(n-1);RI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59]; CR=CI/RI(n); if CR<0.10

disp('此矩阵的一致性可以接受!'); disp('CI=');disp(CI); disp('CR=');disp(CR); end

请输入判断矩阵A(n阶)

A=[1 2 4 3 9;1/2 1 2 4 3;1/4 1/2 1 2 4;1/3 1/4 1/2 1 2;1/9 1/3 1/4 1/2 1]

0.4473 0.2539 0.1522 0.0941 0.0525

13

5.1829

此矩阵的一致性可以接受! CI=

0.0457 CR=

0.0408

附录二：

disp('请输入判断矩阵A(n阶)'); A=input('A='); [n,n]=size(A); x=ones(n,100); y=ones(n,100); m=zeros(1,100); m(1)=max(x(:,1)); y(:,1)=x(:,1); x(:,2)=A*y(:,1); m(2)=max(x(:,2)); y(:,2)=x(:,2)/m(2);

p=0.0001;i=2;k=abs(m(2)-m(1)); while k>p i=i+1;

x(:,i)=A*y(:,i-1); m(i)=max(x(:,i)); y(:,i)=x(:,i)/m(i); k=abs(m(i)-m(i-1)); end

a=sum(y(:,i)); w=y(:,i)/a; t=m(i);

disp(w);disp(t);

%以下是一致性检验

CI=(t-n)/(n-1);RI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59]; CR=CI/RI(n); if CR<0.10

disp('此矩阵的一致性可以接受!'); disp('CI=');disp(CI); disp('CR=');disp(CR); end

请输入判断矩阵A(n阶)

A=[1 3 5 6 9;1/3 1 3 5 6;1/5 1/3 1 3 5;1/6 1/5 1/3 1 3;1/9 1/6 1/5 1/3

14

1]

0.5061 0.2602 0.1321 0.0669 0.0348

5.2595

此矩阵的一致性可以接受! CI=

0.0649 CR=

0.0579

15