2020-2021学年江苏省苏州市昆山中学高一下学期3月月考数学试题(解析版)

一､选择题(每题5分共40分)

1.已知函数fxsinxcosx的最小正周期是（ ）

44A.2 B. C.

 D. 242.若平面向量b与向量a1,2的夹角是180,且b35,则b（ ） A.(-3，6) B.(3，-6) C.(6，-3) D.(-6，3) 3.

1tan15的值为（ ）

1tan15A.

13 B. C.3 D.1 334.已知点O为ABC所在平面内一点，若动点P满足OPOAABAC0，则点一定P经过

ABC的（ ）

A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心

5.在ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，已知a2bcosC，则ABC的形状为（ ） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形

6.ABC的外接圆的圆心为O,AB2,AC3,则AOBC等于（ ）

9911 B. C. D. 44223123,若cos,sin，则sin2（ ） 7.已知24135111656A. B. C. D. 336565A.8.在ABC中，点O是BC的三等分点，OC2OB，过点O的直线分别交直线AB,AC于点E,F，且

ABmAE,ACnAF(m0,n0)，若

A.1 B.2 C.

1t8的最小值为，则正数t的值为（ ） mn3811 D. 33二､多选题(每题5分，共20分，选对一个答案得3分，选错得零分)

9.在水流速度为10km/h的自西向东的河中，如果要使船以103km/h的速度与河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的大小与方向为（ ）

A.北偏西30° B.北偏西60° C.20km/h D.30km/h

10.已知a,b,c是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ） A.abab

B.若abcb且b0,则ac C.a//b,b//c，则a//c

D.若abab，则a与b共线且反向

11.对于函数fxsinx3cosx，给出下列选项其中不正确的是（ ） A.函数fx的图象关于点,0对称 6B.存在0,，使f1 3，使函数fx的图象关于y轴对称 3，使fxfx3恒成立 3C.存在0,D.存在0,12.瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心､垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半，”这就是著名的欧拉线定理.设ABC中，点O､H､G分别是外心､垂心和重心，下列四个选项中结论正确的是（ ） A.GH2OG B.GAGBGC0 C.OHOAOBOC D.OAOBOC

三､填空题(每题5分共20分，16题为3+2=5分)

13.已知向量a1,2,b1,1，若a与atb的夹角为锐角，则实数t的取值范围是__________.

14.已知

2，且sin510，则__________. ,sin51015.已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且(ab)2c24,C60，则ABC的面积为__________.

16.在ABC中，AB2,AC3,BAC120,D是BC中点，E在边AC上，AEAC,ADBE则AD__________；的值为__________.

1,2四､解答题(本题70分)

17.(本题共10分)

已知向量OA1,2,OBm,2,OC3,1，O为坐标原点. （1）若ABAC,求实数m的值； （2）在（1）的条件下，求ABC的面积. 18.(本题共12分)

如图，在ABC中，B3,AB8，点D在边BC上，且CD2,cosADC1. 7

（1）求sinBAD； （2）求BD,AC的长. 19.(本题共12分)

（1）求值：tan203cos20

sin40（2）证明：

1tan3x1tan3x1sin2x.

12sin2x20.(本题共12分)

如图，BD是平面四边形ABCD的一条对角线，已知ABDBADBD，且ABADDB

（1）求证:ABD为等腰直角三角形：

（2）若BC2,CD1，求四边形ABCD面积的最大值. 21.(本题共12分)

如图，在扇形OPQ中，半径OP1，圆心角POQ扇形OPQ，且OAOD.

3，A是半径OP上的动点，矩形ABCD内接于

（1）若BOP,求线段AB的长； （2）求矩形ABCD面积的最大值. 22.(本题共12分) 已知函数fx1cos2xsinx12sin22x23,gxsin2x224.

（1）对任意的x1,x20,t,当x1x2时，均有fx1fx2gx1gx2成立，求正实数t的最大值；

（2）在满足（1）的条件时，若方程afxgx12fx2gx10在区间求实数a的取值范围.

,t上有解，4江苏省昆山中学2020-2021学年第二学期3月月考

高一数学

一､选择题(每题5分共40分)

1.已知函数fxsinxcosx的最小正周期是（ ）

44A.2 B. C.【答案】B

 D. 242.若平面向量b与向量a1,2的夹角是180,且b35,则b（ ） A.(-3，6) B.(3，-6) C.(6，-3) D.(-6，3) 【答案】A 3.

1tan15的值为（ ）

1tan15A.

13 B. C.3 D.1 33【答案】B

4.已知点O为ABC所在平面内一点，若动点P满足OPOAABAC0，则点一定P经过

ABC的（ ）

A.外心 B.内心 C.垂心 D.重心 【答案】D

5.在ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，已知a2bcosC，则ABC的形状为（ ） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 【答案】A

6.ABC的外接圆的圆心为O,AB2,AC3,则AOBC等于（ ） A.9911 B. C. D. 4422【答案】C

3123,若cos,sin，则sin2（ ）

24135111656A. B. C. D. 3365657.已知

【答案】D

8.在ABC中，点O是BC的三等分点，OC2OB，过点O的直线分别交直线AB,AC于点E,F，且

ABmAE,ACnAF(m0,n0)，若

A.1 B.2 C.【答案】B

1t8的最小值为，则正数t的值为（ ） mn3811 D. 33二､多选题(每题5分，共20分，选对一个答案得3分，选错得零分)

9.在水流速度为10km/h的自西向东的河中，如果要使船以103km/h的速度与河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的大小与方向为（ ）

A.北偏西30° B.北偏西60° C.20km/h D.30km/h 【答案】AC

10.已知a,b,c是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ） A.abab

B.若abcb且b0,则C.a//b,b//c，则a//c

ac

D.若abab，则a与b共线且反向 【答案】AD

11.对于函数fxsinx3cosx，给出下列选项其中不正确的是（ ） A.函数fx的图象关于点,0对称 6B.存在0,，使f1

3C.存在0,，使函数fx的图象关于y轴对称 3，使fxfx3恒成立 3D.存在0,【答案】ABD

12.瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心､垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半，”这就是著名的欧拉线定理.设ABC中，点O､H､G分别是外心､垂心和重心，下列四个选项中结论正确的是（ ） A.GH2OG B.GAGBGC0 C.OHOAOBOC D.OAOBOC 【答案】ABC

三､填空题(每题5分共20分，16题为3+2=5分)

13.已知向量a1,2,b1,1，若a与atb的夹角为锐角，则实数t的取值范围是__________. 【答案】,00,

5314.已知

2，且sin7 4510，则__________. ,sin510【答案】

15.已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且(ab)2c24,C60，则ABC的面积为__________. 【答案】3 31,216.在ABC中，AB2,AC3,BAC120,D是BC中点，E在边AC上，AEAC,ADBE则AD__________；的值为__________.

【答案】

71； 32四､解答题(本题70分)

17.(本题共10分)

已知向量OA1,2,OBm,2,OC3,1，O为坐标原点.

（1）若ABAC,求实数m的值； （2）在（1）的条件下，求ABC的面积. 【解析】（1）

向量OA1,2,OBm,2,OC3,1,ABOBOA

m1,4,ACOCOA4,1

若ABAC,则ABACm1,44,144m40,求得m2. （2）当m2时,AB1,4,AC4,1,ABAC

ABC的面积为

1117ABAC1717. 22218.(本题共12分)

如图，在ABC中，B3,AB8，点D在边BC上，且CD2,cosADC1. 7

（1）求sinBAD； （2）求BD,AC的长. 【解析】（1）在ABC中，

cosADC1， 7248431 sinADC1cos2ADC14977则sinBADsinADCBsinADCcosBcosADCsinB431 721333 721433ABsinBAD143 BD（2）在ABD中，由正弦定理得，sinADB4378在ABC中，由余弦定理得ACABCB2ABBCcosB85285222221 249，即AC7

19.(本题共12分)

（1）求值：tan203cos20

sin40（2）证明：

1tan3x1tan3x1sin2x2.

12sinx（1）原式sin20cos20sin203cos20cos203.

cos20sin40cos20sin402sin2060sin402sin40sin402.

1sinx1tanx1tanxcosxcosxsinx， （2）左边1tanx1tanx1sinxcosxsinxcosx(cosxsinx)2(sinxcosx)2(cosxsinx)2 右边22cos2xcosxsinxcosxsinxcosxsinxcosxsinx

cosxsinx则左边=右边，即等式成立. 20.(本题共12分)

如图，BD是平面四边形ABCD的一条对角线，已知ABDBADBD，且ABADDB

（1）求证:ABD为等腰直角三角形：

（2）若BC2,CD1，求四边形ABCD面积的最大值.

【解析】（1）证明:ABDBADBD,ABDBADDB0

即ABADABAD0,ABAD,即ABAD

22又ABADDB,(ABAD)DB(ABAD)

222整理得ABAD0,ABAD,即A2,

ABD是等腰直角三角形

2（2）设C,可得BD41221cos54cos,

则四边形ABCD的面积

SSABDSCBD1115BD221sinsincos 222452sin

440,,当21.(本题共12分)

35时，S取得最大值2. 44如图，在扇形OPQ中，半径OP1，圆心角POQ扇形OPQ，且OAOD.

3，A是半径OP上的动点，矩形ABCD内接于

（1）若BOP,求线段AB的长； （2）求矩形ABCD面积的最大值.

【解析】（1）若BOP,求线段AB的长； （2）求矩形ABCD面积的最大值

POQ3且OAOD

AOD为等边三角形，DAO又四边形ABCD为矩形，DAB3,

2,BAP6

在扇形OPQ中，半径OP1. 过B作OP的垂线，垂足为N

BNOBsinsin

在ABN中

,ABBNBN2sin sinBAPsin6（2）矩形ABCD面积SABAD,设BOP,由（1）可知AB2sin,BN

sin,ONOBcoscos,ANABcos63sin

OAONANcos3sin

S扇ABCDABADABOA2sincos3sinsin23cos23 2sin23 30,,2,

333当232,即12时，矩形ABCD面积取最大值，最大值为23.

22.(本题共12分) 已知函数fx1cos2xsinx12sin22x23,gxsin2x224.

（1）对任意的x1,x20,t,当x1x2时，均有fx1fx2gx1gx2成立，求正实数t的最大值；

（2）在满足（1）的条件时，若方程afxgx12fx2gx10在区间求实数a的取值范围. 【解析】（1）

,t上有解，4fx1x1112cos2xsinx12sin2cos2xsinxcosxcos2xsin2xsin2x

2222224fx1fx2gx1gx2fx1gx1fx2gx2

令hxfxgx,则hx223sin2xsin2x24242sin2x 242cos2xsin2x,因为hx1hx2,所以hx在0,t上单调递增, 24因为hx的增区间为k4,k,kZ,所以t44

,所以t的最大值为

 4（2）afxgx12fx2gx10a2hx1hx121，即a2

hx1

13在,上有解，因为1sin2x1,a

sin2x1442