习题精选4

知识要点：

1． 相似三角形定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫相似三角形。

相似①两角对应相等两三角形角相等两三角形相似②两边对应成比例，且夹2． 相似三角形的识别方法： 

③三边对应成比例，两三角形相似④直角边、斜边对应成比例、两三角形相似典型例题

例1（2002年哈尔滨）△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中⑴∠ACP=∠B

⑵∠APC=∠ACB ⑶AC2=AP·AB ⑷AB·CP=AP·CB其中能满足△APC和 △ACB相似的条件的是（ ） A ⑴⑵⑷ B⑴⑶⑷ C⑵⑶⑷ D⑴⑵⑶

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分析：本题主要是考查相似三角形的识别，由于在识别相似的两个三角形中，隐含了一个公共角，因此依据三角形相似的识别方法①或②，只要附加一个条件∠ACP=∠B或∠APC=∠ACB或

ABAC即可，因此应选（D） ACAP例2：（2004安徽）已知△ABC，△DEF为正三角形，D、E分别在AB、BC上，请找出一

个与△DBE相似的三角形并证明

，

分析：本题是考查相似三角形的识别的开放题，由题意可知∠B=600，因此与△DBE相似的三角形一定含有600角

证明：∵△ABC和△DEF都为正三角形，∴∠B=∠C=∠DEF=600

∴∠1+∠2=1800 —∠DEF=1200 在△DBE中，∠2+∠3=1800—∠B=1200 ∴∠1=∠3 ∴△DBE∽△ECH

例3 如图，在△ABC中，D、E、F分别为AB、BC、CA边上的点，过D作DG∥BC，过E作EH∥CA，过F作FI∥AB，（1）求证：△HIG∽△ABC。（2）如果将题目已知中的平行变为DG⊥AB，EH⊥BC、FI⊥CA，△HIG∽△ABC还成立吗？请证明你的结论。

分析：（1）利用图中平行线只要能够证明∠1=∠B，∠2=∠C，就可证△HIG∽△ABC。（2）由题意，图形变为图（2），可以推出∠3与∠B和∠2均为互补，有∠B=∠2，同理可证另一组对应角相等，所以△HIG∽△ABC。

证明：∵DG∥BC，∴∠ADC=∠B，∵FI∥AB，∴∠ADG=∠1， ∴∠1=∠B，同理可证 ∠2=∠C，∴△∽HIG△ABC，（2）∵△HIG∽△ABC，如图（2）在四边形BEGD中， ∵DG⊥AB，EH⊥BC，∴∠B+∠3=1800，又 ∠2+∠3=1800 ∴∠2=∠3，同理可证， ∠4=∠C，∴△HIG∽△ABC

结论：此题为结论开放性题，关键是分析题设变化时，结论中所涉及的有关量有何变化。 强化训练： 一．判断题： 1．在△ABC和△A1B1C1中，若∠A=∠A1=450，∠B=270 ∠B1=1080则这两个三角形相似（ ） 2．两个等腰三角形有一内角等于1000，那么这两个三角形相似（ ） 3．有两边对应成比例，且有一角对应相等的两个三角形相似（ ） 4．在Rt△ABC和Rt△A1B1C1中，设∠C=∠C1=900，AB、A1B1边上的中线分别为CD、C1D1，且

ACCD 则△ABC∽△A1B1C1 （ ） A1C1C1D1,二．填空

1、如图所示，已知∠ADE=∠C，则△AED∽——，理由是————

2、在△ABC和△A1B1C1中，∠B=∠B1 AB=9，BC=12，B1C1=6，则A1B1=-----时 ABC∽△A1B1C1，当A1B1=------时，△ABC∽△C1B1A1。

3．如图已知∠1=∠2，要使△AOC∽△DOB，还要增加的条件是------（要求至少写两种） 4．如图CD、BE是不等边锐角三角形ABC的两条高，连接DE则图中相似三角形有------对

5．下列命题（1）所有的等腰三角形都相似，（2）所有的等边三角形都相似，（3），所有的等要直角三角形都相似，⑷所有的直角三角形都相似 （其中真命题的序号都填上） 三．选择

6．如图P是Rt△ABC的斜边BC上异于点B和C的一点，过点P作直线截△ABC，使得截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线的条数是（ ）A 1 B 2 C 3 D 4 7，如图DE∥FG∥BC，图中相似三角形共有（ ）A 1对 B 2对 C 3对 D 4对

8．如图在等边△ABC中D、E分别在AC、AB上，且

AD1，AE=BE，则有（ ） AC3A △AED∽△BED B △AED∽△CBD C △AED∽△ABD D △BAD∽△BCD 9 四边形ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP∽△ECP的是（ ）

A ∠APB=∠EPC B ∠APE=900 C P是 BC的中点 D BP：BC=2：3

10．在正方形ABCD中，E是CD的中点，FC=

1BC，下面得出6个结论 4（1）△ABF∽△AEF （2）△ABF∽△ECF （3）△ABF∽△ADE （4）△AEF∽△ECF（5）△AEF∽△ADE （6）△ECF∽△ADE 其中正确结论的个数是（ ） A 1 B 3 C 4 D 6 四、证明题： 11、△ABC中，AB=AC，∠BAC=1080，D是BC上一点，且BD=AB，证明△DAC∽△ABC。 12、如图AD为∠BAC的角平分线，AD的的垂直平分线交BC的延长线于E，交AB于F，求证：△BAE∽△ACE。

13、已知△ABC，△DCE，△FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG在同一直线上，且AB=3，BC=1，连接BF，分别交AC、DC、DE于点P、Q、R，（1）求证：△BFG∽△FEG，（2）观察图形，请你提出一个与点P相关的问题，并进行解答。

参考答案：一。1、∨ 2、∨ 3、× 4、∨ 二、5、△ACB 两角对应相等两三角形相似 6、

9ODOB。8 7、∠D=∠A或 8、2对 9、⑵⑶ 10、C 11、C 12、B

2OAOC13、D 14、A 15、证明：∵∠BAC=1080 AB=AC ∴∠B =∠C=360 又BD=AB ∴

∠BAD=720 ∠DAC=360 ∴在△DAC和△ABC中，∠C=∠C ∠DAC=∠B=360

∴△ADC∽△ABC 16、∵ EF垂直平分AD，∴EA=ED ∠EAD=∠EDA ∠ACE= ∠ADE+∠BAD=∠DAE+BAD=∠BAE 又∠AEB公共 ∴ △BAE∽△ACE 17、证明：⑴∵△ABC≌△DCE≌△FEC ∴BC=CE=FG=FG=AB=3∴

1BG=1 即BG=3 ∴3FGBG3=3 又∴∠BGF=∠FGE ∴△BFG∽△FEG EGFG3 ∵△FEG是等腰三角形 ∴△BFG是等腰三角形 ∴BF=BG=3 ⑵A层问题 ①求证：

∠PCB=∠REC ②求证：PC∥RE B层问题用到了两三个知识点 如① 求证∠BPC=∠BFG BP=PR ②求证△ABP∽△CQP △BPC∽△BRE ③求证△ABP∽△DQR ④求BP：PF的值 C层问题用到4个或4个以上知识点 如①求证△ABP≌△ERF ② 求证PQ=RQ ③求证 △ BPC是等腰三角形 ④ 求证△PCQ≌ △RDQ ⑤求 AP：PC的值 ⑥求BP的长 A层解答举例求证PC∥RE 证明 △ABC≌△DCE ∴∠PCB=∠REC ∴PC∥RE

B层问题举例 求证BP=PR 证明 ∵∠ACB=∠REC∴AC∥DE 又BC=CE BP=PR C层问题举例 求 AP：PC的值 ∵ACFG

PCBC13 ∴PC=，而 FCBG33AP=

3—

323= ∴AP；PC=2 33