虹的解释

（Steven Janke , Dept. Of Mathematics , Colorado College , Colorado Springs , 80903）

1 问题：如何解释彩虹

无论是一场雨下了只有几个小时，还是40天40夜，只要太阳出来了，雨滴仍在天空中，展现在世界上的将是大自然中最生动的奇观之一——彩虹。想象古代人目睹这种景观产生的敬畏和好奇吧。现今，好奇仍然存在，但是，随着我们知道的关于产生这种空中色彩展示的物理知识越来越多，敬畏就一定越来越少，在摈弃敬畏之后，我们的好奇心会提出一连串问题。为什么虹是一段圆弧？是什么决定了它在天空中的高度？为什么有颜色？为什么颜色有着特殊的排列顺序？为什么有时在第一道彩虹之上有第二道彩虹？到底在那里有金锅？

2 某些早期历史

起初，对虹的早期解释是可以理解的神化，据说希腊女神爱丽斯（Iris）用虹既作为警告又作为希望的征兆。“晕光（IRIDESCENT）”一词可能起源于和爱丽斯的联系之中，在非洲的神话中，虹是暴风雨过后出来吃东西的巨蛇。这里的事件还有既有希望又有恐惧的征兆，因为蛇会吞食太靠近虹的两端的小孩，真的似乎接触大地的两端，指示出大量财富就埋藏在那里，然而，在一个较少金钱色彩的一脉传说中，许多美洲印第安人曾认为虹就是一座架在这个世界而引向另一个世界的桥梁。

在公元前578年，Anaximenes,一位希腊学者,记下了彩虹和太阳的联系,并非把彩虹归功于宇宙力,他提同出云弯曲太阳的光产生带有颜色的圆弧,亚里斯多德利用缜密的几何学,但是错误的反射原理,去建立彩虹的圆形,逐渐地,学者们开始发现光的反射与折射都跟虹的现象有联系,Freiburg 的Theodoric和波斯学者Kamalal——Dinal Farisi各自独立地断定雨滴是个关键,他们仔细地观察球形水对光的影响方式,并对虹给出本质上的正确的解释.

在过去的每个世纪中,彩虹都引起众多学者的兴趣,最多的关于这个题目的书籍似乎产生于十六世纪,但是其中重要价值的很少,正如你所期望的,在十七世纪中,象开普勒,笛卡尔,费马和牛顿那样的学者，都对彩虹的研究做出了有重要意义的贡献，甚至在今天，物理学家仍在继续完善这一理论的细枝末节，解释虹和解释光的本质是如此紧密关联，以至关于虹的开问题将会一直存在着，直到光的理论完善为止。

3 反 射

从太阳发出的光形成彩虹，所以解释这种现象的第一步是要知道光在通过各种物质时发生了怎样的弯曲。在1657年，卓越的数学家费马把他的注意力转向光的弯曲，并通过假定一个简单的原理，证明了主要结果。费马假设从点P到Q，光沿着一条使总运动时间最少的路径传播。 费马原理 光沿着一条总运动时间最少的路径传播。

首先考虑光的反射，当研究关于光的几何问题时，设想光以射线传播是有帮助的，因此假设我们在图1中点P处有一个光源，想像我们测得由镜子

１

反射后通过点Q的一束光线，光线是从镜子上哪一点R处反射的呢？

费马原理断言，当从镜子反射时，光沿着从P到Q所需时间最少的路径行进，假定在我们的例子中光速是常量，点R应该是位于使路径PRQ长度最短之处，考虑图中的三角形，我们得到如下路径长度关于x的函数： L（x）＝pxq(dx) 为了求最短的路径长度，我们求导数L（x）： （x）＝

‘

222211（p2＋x2）-1/2（2x）＋（q2＋(d－x)2）-1/2•2(d－x) •(-1) 222222 ＝x/px－（d－x）/q(dx)

令这个式子等于零，我们得到

22 x/px＝（d－x）/q(dx)

22现在，再参考图形，我们可见

22 cosα＝x/px和cosβ＝（d－x）/q(dx)

22所以，当cosα＝cosβ时L（x）=0。我们通过求二阵导数可以验证这时最小值，更重要的是注意到当两个角的余弦相等时取最小值，而不是真的解出距离x，由于两个角都在00和900之间，我们推出两角相等，为便利起见，称α为入射角，称β为反射角。

反射定律 对于反射，入射角等于反射角

注意到我们从费马的时间最少原理推导出反射定律，虽然我们没有证明费马原理，但是它确实对物理学中关于光的其它结果有意义。并且，事实上，精细的实验得出反射定律确实成立的结论。

‘

4．折射

当研究反射时，我们假定光线只在空气中传播，因此保持恒定速度，可使，要攻克虹的问题，我们还必须知道当光在水中传播时发生什么情况，结果是在水中光的速度小于空气中光的的速度，对于浸入水中的一面镜子和一个光源，我们反射定律的推导是相同的，因为光速仍会是恒定的。但是光的部分路径在水中部分在空气中会发生什么情况呢？

图2表示一个新的设置，其中点P仍是空气中的光源。可是，现在点Q在水中，我们的兴趣在于从P发出且穿过Q的一束光线的路径上，它穿越气/水界面于点R，路径PR与水面垂线的交角称为入射角，用α表示，相应的路径RQ于垂线的夹角称为折射角，用β表示。费马原理断言点R将位于使光的传播的总时间达到最小值处，由于当光进入水中时速度是变化的，我们在分析中需要考虑两个速度。

２

令c0是空气中的光速，cw是水中的光速。注意到时间等于距离除以速度，我们算得光线从P到R的时间是 单位。从R到Q是

q(dx)/ cw 单位。总时间

22 T(x)= px/ c0+ q(dx)/ cw

22p2x2/ c0

22 为了求最小值，我们在求T（x）的导数。 T’(x)= x*px22/ c0-(d-x)*

q2(dx)2/ cw=sinα/

c0-sinβ/ cw

‘

令T（x）＝0得

sinα/ c0＝sinβ/ cw或者sinα/sinβ＝c0/ cw 换句话说，正弦之比是一个常数。我们仍可以验证求得了最小值。 常数c0/ cw是空气中的光速于水中的光速之比。真空中的光速与各介质中的光速之比已收集成表。例如，真空中的光速与水中的光速之比约为1.33，称之为水的折射率，空气的折射率是非常接近1的，所以比值c0/ cw非常接近于1.33。

折射定律 入射角的正弦与折射角的正弦之比是一个常数。

因为我们的推导对方向没有依赖性，所以，如果我们假设光源在点Q而不在点P，我们的结果会是相同的。根据这一发现，我们知道，如果光从一种介质向另一种折射率较高的介质传播，那么光线向垂直于介质表面的垂线弯曲，（这条垂线常称为法线）。当光从一种介质向另一种折射率较低的介质传播时，光线向法线外侧弯曲。

费马提供了原理，我们用它数学地推导出折射定律。但是，早在1621年，荷兰科学家Willebrord Snell实验地发现了这一结果。如今，折射定律也常称为Snelldl。

３

图 2 部分穿过空气且部分穿过水的光图 1 费马原理 5．虹角 当雨滴既反射又折射太阳发出的光时，虹产生了。当在空气中传播的光照射到雨滴的另一表面是被反射，一些又进入空气时被折射。一般地，在光从一种介质传播到另一种介质的时候，在界面上一部分光被折射，一部分继续进入第二种介质，在那里被折射。要了解虹的形成，文明需要追踪由雨滴引起的反射和折射。

雨滴的形状依赖于几种因素，但是要很好地接近，假设它是球形就是保险的，下面看图3。这里，当光线从点A进入雨滴时，我们看横截面，虽然有一部分光被反射，但是本图表示进入雨滴的部分光线，折射定律说这束光线将向法线弯曲，因为水的折射率大于光的折射率，从几何上，我们知道，在点A处圆的切线垂直于过点A的圆半径。因此，过点A的半径是点A处的法线。在图中，α是入射角，β是折射角。

光线继续在雨滴中传播，并在点B照射到雨滴的另一侧面。这里，再次地，一部分光线被反射，一部分继续进入空气，在那里被折射，在图3中，我们跟踪反射部分。在点B处光线被反射，所以入射角等于反射角。这里入射角是光线与点B处切线的夹角。注意到这意味着角ABO等于角OBC。当光线在点C照射到雨滴表面时，一部分被反射，但是让我们跟踪进入空气且发生折射的部分 。因为光线进入折射率较低的介质，它向法线外弯曲。 图3追踪照射到雨滴的一束特定光线的部分光。在每个界面上，另一部分不是被折射就是被反射，结果是光线在和雨滴作用是有许多可以选择的路径。事实上，你可以想像进入雨滴且在雨滴内部反复反射的光线。因为在气水的每个界面上，部分光线被反复，部分被折射，当我们选择一部分时，我们跟踪了一束强度比原光线弱的光线。每照射到一个界面，光的强度都减弱。

４

因此，我们对仅照射过界面几次的光线感兴趣。因为这种光是最亮的。 在图3中在点A照射到雨滴且被简单地反射的一束光将是很亮的；但是，正如我们所看到的，这样一束光线对于虹的本质特征不起作用，因为它与水作用。类似地，照射到点A，然后穿越雨滴从点B出去的光线也是相当亮的，但是我们要到要道右侧才会看得见这束光线。虹是当太阳在我们身后而从太阳发出的光自雨滴处以各种方式反射回来时形成的。所以，在图中画的光线是和虹的形成相关的最简单的光线。

注意到点A 可以是圆的左侧上任何一点。如果它在圆的上半部，那么光线从圆的下半部离开雨滴。我们所关心的是当光线离开雨滴时，方向偏转了多少。偏转角是入射角的函数，若α是入射角，则令D（α）是偏转角。 因为圆的上半部分和下半部分之间的对称性，我们只需左上部分的四分之一圆上的那些点A即可。对于这些点，α从00到900。为确定总的偏转，首先考虑在点A光线任何偏转。光线顺时针转了α－β度。在点B，又转了1800－2β度。最后在点C又转了α－β度。从而

D（α）＝α－β＋180－2β＋α－β＝180＋2α－4β

令D（0）＝180；随着α增加，D（α）先是减少。但是，感兴趣的是D有最小值，D只能减少到最小值，之后变大。为求得这个最小值，我们求导数？ D’（α）＝2－4(dβ/dα) 从折射定律想到，

sinα/sinβ=k其中k＝c0/ cw 而通过求导我们有，

cosα＝k ×cosβ×(dβ/dα)

解得dβ/dα并代入D’（α）的表达式得出 D’（α）＝2－4 (cosα/kcosβ) 令导数等于零，我们得到

D’（α）＝2－4 (cosα/kcosβ)＝0 故

k/2＝cosα/cosβ 两边平方得

k2/4＝cos2α/cos2β＝cos2α/（1-sin2β） 但sinβ＝（1/k）sinα，故

222

k2/4＝cos2α/（1-sin2α/k）,1/4= cos2α/（k-sin2α）= cos2α/（k-(1-cos2α）)

21/2

cosα=((k-1)/3)

最后我们得到使偏转角最小的入射角的余弦的表达式。因为雨滴是水，K

0

＝1.33所以cosα≈0.5063而α≈59.6。在这一入射角的情形下偏转角是D

0

（59.6）0≈137.5。

0

我们已经发现入射角α≈59.6时偏转角达到最小。在它附近偏转角的变化与入射角的变化之比几乎是零，换句话说在它附近的许多光线偏转了相同的量，远离这个临界角的光线发散的更多。所以若我们去看偏转光，则从偏转角最小的方向来的光线会看上去最亮，因为它们发散的最小。这里就是虹

0

出现的地方。入射角α≈59.6的光线成为彩虹光线。并且42.50称为虹角。

５

在十七世纪初期，笛卡尔作了一次分析，导致虹角的发现。因为没有微积分的技术，他不得不计算许多不同的光线的偏转角。但也没有得到最小偏转角的入射角的好表达式。

6 颜色

到此为止，我们所研究的光线的几何学，解释了空中发亮光的圆弧的形成。但是颜色在那里呢？实际上光是电磁波，因此我们可以说一下它的频率和波长。波长有连续的波谱。但我们的眼睛对各种不同的范围是敏感的，并且我们把这些不同的范围划分为各种不同的颜色，大约在6470到7000埃的光作为红色接受，4000到4240范围的光是紫色的，其它颜色范围在这两者之间，因为这两种颜色的波的属性不同，水的折射率也依那种颜色的光穿过它而变化，当波长为6563的红光从空气进入水中时，折射率约为1.3318，当为紫光时，折射率增加到约1.3435。

阳光实际上有很大范围的波长。当光照射雨滴时，波长在红光范围的与那些紫光范围内的折射不同，落在这两个范围之间的其它颜色，就被折射到各种不同角度上。结果，光被折射成它的构成色。

现在我们需要重复最小偏角的计算，对于红光，最小偏角是137.7度，紫光是139.4度。

这两个值给出的虹角分别是42.3和40.6度。

牛顿是进行这些仔细计算，解释虹的颜色的第一人。通过追踪红光和紫光的虹角，看上去虹的宽度是1.7度。实际上，所有这些结论都假设从太阳发出的光都是平行的。为了对光线并非十分平行的事实进行校正，牛顿允许太阳直径是0.50，并得到虹的宽度为2.20的结论。这与实测是很一致的，虽然后面我们将知道虹的宽度是变化的。

7、二次虹

回想我们跟踪的彩虹光线曾被雨滴后侧反射一次。其它光线在雨滴内部反射多次。每次反射减弱了光线的强度，但是至少在雨滴内部反射两次的光线是值得追踪的。为此，看图5 图 3 穿过雨滴的光的路径图 5 一束有两次内部反射的光线 此时，我们将追踪从雨滴底部入射的光线，因为这些光线是到达观察者的，继续追踪偏转角，我们注意到在A、B、C和D各点光线逆时针旋转。旋转多少度与我们前面做的分析类似，所以这时我们得到

６

总偏转角＝（α－β）＋（180－2β）＋（180－2β）＋（α－β） ＝360＋2α－6β

因为一个3600的偏转意味着光线和开始时保持相同方向，我们可以去掉360认为偏转角是2α－6β可是，这是逆时针偏转角。为了和一次内部反射的光线做比较，我们需要把它变成顺是针的偏转角。这通过乘－1容易得到。这样得到一个新的偏转函数D2，对于两次内部反射的光线： D2（α）＝6β－2α

注意到D2（0）＝0且D2开始随α增加而增加。为了考察这种趋势是否继续。我们通过取导数且令它为零求驻点。这时驻点满足

21/2

cosα＝（（k－1）/8）

000

取k＝1.33，得α＝71.94和D2（71.94）＝129.9，这个新驻点实际上是最大点，回想对于一次虹的计算过程

‘‘2‘‘2

D（α）＝－4（d2β/dα）而D2（α）＝6（d2β/dα）

00

两个二阶导数都依赖于β对α的二阶导数。这个二阶导数在α属于0到90

‘‘‘‘

范围内是负的。因此，我们有D（α）>0，表示驻点是D的最小值，而D2（α）<0表示驻点是D2的最大值。

所以，对有两次内部反射的光线，最大偏转角约为1300。从观察者看去倾斜500（即1800－1300）的雨滴将显得亮些，虽然不象420的那样亮，具有亮度的第二道虹是比第一道虹暗的另一个弧；并且，除非条件合适，它经常是暗的看不到，更进一步，因为D2是下凹的，当我们把红光的最大偏转角与紫光的做比较时，我们发现红光偏转角最多；所以，在第二道虹的颜色与那些在第一道中的颜色顺序相反。

D2的最大值约1300，而D的最小值约1380。内部反射一次或内部反射两次的光线偏转角都不落在1300和1380范围中，这意味着空中第一道虹与第二道虹之间的区域比周围天空暗，不是全黑，因为光从其它许多方向的反射和折射而来，这条暗带称为亚历山大带。亚历山大从亚里斯多德的彩虹理论推演出两条虹之间的区域会特别亮。因为并非如此，亚历山大看到需要一个修正理论，虽然他没能提出来。

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