经典解析几何题型方法

高考核心考点

1、准确理解基本概念（如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等）

2、熟练掌握基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式等）

3、熟练掌握求直线方程的方法（如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况、截距是否为0等等）

4、在解决直线与圆的位置关系问题中，要善于运用圆的几何性质以减少运算 5、了解线性规划的意义及简单应用 6、熟悉圆锥曲线中基本量的计算

7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法（如：定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等）

8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法，能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题

常规题型及解题的技巧方法

A:常规题型方面

（1）中点弦问题

具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(x1,y1)，(x2,y2)，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。

y21。过A（2，1）的直线与双曲线交于两点P1 及P2，求线段P1P2的中点P 典型例题 给定双曲线x22的轨迹方程。

2y12y221，x21。 分析：设P1(x1,y1)，P2(x2,y2)代入方程得x2221 两式相减得 (x1x2)(x1x2)1(y1y2)(y1y2)0。 2 又设中点P（x,y），将x1x22x，y1y22y代入，当x1x2时得 2xyy22y·10。 2x1x2y1y2y1， x1x2x222 又k 代入得2xy4xy0。

当弦P1P2斜率不存在时，其中点P（2，0）的坐标也满足上述方程。 因此所求轨迹方程是2xy4xy0

说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。 变式练习：

给定双曲线2x2 - y2 = 2 ，过点B(1,1)能否作直线L,使L与所给双曲线交于两点Q1、Q2 两点，且点B是线段Q1Q2的中点？如果直线L存在，求出它的方程;如果不存在,说明理由.

22（2）焦点三角形问题

椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点F1、F2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。

x2y2 典型例题 设P(x,y)为椭圆221上任一点，F1(c,0)，F2(c,0)为焦点，PF1F2，PF2F1。

ab （1）求证离心率esin()；

sinsin （2）求|PF1|3PF2|3的最值。

分析：（1）设|PF1|r1，|PF2r2，由正弦定理得

r1r2c。 2sinsinsin() 得

r1r22c，

sinsinsin() ecsin() asinsin33322 （2）(aex)(aex)2a6aex。 当x0时，最小值是2a；

323 当xa时，最大值是2a6ea。

3变式练习：

2x2y2F2分别是双曲线221设F1、（a>0,b>0）的左、右两个焦点，P是双曲线上的一点，若∠P=θ,求证：S△=bcot

2ab（3）直线与圆锥曲线位置关系问题

直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法

典型例题 抛物线方程y2p(x1)(p0)，直线xyt与x轴的交点在抛物线准线的右边。 （1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点

（2）设直线与抛物线的交点为A、B，且OA⊥OB，求p关于t的函数f(t)的表达式。

p（1）证明：抛物线的准线为1：x1

4 由直线x+y=t与x轴的交点（t，0）在准线右边，得 t1p，而4tp40 4xyt 由2消去y得x2(2tp)x(t2p)0

yp(x1) (2tp)24(t2p)p(4tp4)0 故直线与抛物线总有两个交点。

（2）解：设点A(x1，y1)，点B(x2，y2) x1x22tp，x1x2t2p

OAOB，kOAkOB1 则x1x2y1y20 又y1y2(tx1)(tx2) x1x2y1y2t2(t2)p0 t2 pf(t)

t2 又p0，4tp40得函数f(t)的定义域是 (2，0)(0，) 变式练习：

直线y=ax+1与双曲线3x－y=1交于两点A、B两点 (1)若A、B都位于双曲线的左支上，求a的取值范围 (2)当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点？ （4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题

圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。

<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。

<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。 典型例题

已知抛物线y2=2px(p>0)，过M（a,0）且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B，|AB|≤2p （1）求a的取值范围；（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值。

分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于（1），可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围；对于（2）首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。

解：(1)直线L的方程为：y=x-a,将y=x-a 代入抛物线方程y2=2px,得：设直线L与抛物线两交点的坐标分别为A

2

2

4(ap)4a20（x1,y1）,B(x2,y2)，则x1x22(ap),又y1=x1-a,y2=x2-a,

2x1x2a|AB|(x1x2)2(y1y2)22[(x1x2)24x1x2]8p(p2a)0|AB|2p,8p(p2a)0,08p(p2a)2p, 解得:

ppa. 24(2)设AB的垂直平分线交AB与点Q，令其坐标为（x3,y3），则由中点坐标公式得：

x3x1x22ap, y3y1y2(x1a)(x2a)p. 22所以|QM|2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2.又△MNQ为等腰直角三角形，所以|QM|=|QN|=2P，所以S

△

NAB=

122|AB||QN|p|AB|p2p2p2,即△NAB面积的最大值为2P2。 222变式练习：

x2y22双曲线221（a>0,b>0）的两条准线间的距离为3，右焦点到直线x+y-1=0的距离为

ab2（1）求双曲线的方程

（2）设直线y=kx+m(k0且m0)与双曲线交于两个不同的点C、D，若A(0,-1)且AC=AD，求实数m的取值范围

（5）求曲线的方程问题

1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。 典型例题

已知直线L过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。若点A（-1，0）和点B（0，8）关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程。 分析：曲线的形状已知，可以用待定系数法。 设出它们的方程，L：y=kx(k≠0),C:y2=2px(p>0)

设A、B关于L的对称点分别为A/、B/，则利用对称性可求得它们的坐标分别为：

k212k16k8(k21),2,2A（2），B（2）。因为A、B均在抛物线上，代入，消去p，得：k2-k-1=0.解得：k1k1k1k1/

k=

1525,p=. 251545x,抛物线C的方程为y2=x. 251,tanN=-2,建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点且过点P的椭圆方程。 2所以直线L的方程为：y=变式练习：

在面积为1的△PMN中，tanM=

2．曲线的形状未知-----求轨迹方程 典型例题

已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1, 动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数（>0）,求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线。

分析：如图，设MN切圆C于点N，则动点M组成的集合是：P={M||MN|=|MQ|}，由平面几何知识可知：|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1，将M点坐标代入，可得：(2-1)(x2+y2)-42x+(1+42)=0.

当=1时它表示一条直线；当≠1时，它表示圆。这种方法叫做直接法。 变式练习：

过抛物线y=4x的焦点F作斜率为k的弦AB，且AB≤8，此外，直线AB和椭圆3x+2y=2交于不同的两点。 （1）求直线AB的斜率k的取值范围

222M N O Q （2）设直线AB与椭圆相交于C、D两点，求CD中点M的轨迹方程 （6） 存在两点关于直线对称问题

在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决）

x2y21，试确定m的取值范围，使得对于直线y4xm，椭圆C上有不同两典型例题 已知椭圆C的方程43点关于直线对称。

分析：椭圆上两点(x1,y1)，(x2,y2)，代入方程，相减得3(x1x2)(x1x2)

4(y1y2)(y1y2)0。

又xx1x2yy2yy21，y1，k1，代入得y3x。 22x1x24 又由y3x解得交点(m,3m)。

y4xm(m)2(3m)22132131，得 交点在椭圆内，则有。 m431313变式练习：

2为了使抛物线(y1)x1上存在两点关于直线ymx对称，求m的取值范围。

（7）两线段垂直问题

圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用k1·k2y1·y21来处理或用向量的坐标运算来处理。

x1·x22典型例题 已知直线l的斜率为k，且过点P(2,0)，抛物线C:y4(x1)，直线l与抛物线C有两个不同的交点（如图）。

（1）求k的取值范围；

（2）直线l的倾斜角为何值时，A、B与抛物线

相垂直。

y 分析：（1）直线yk(x2)代入抛物线方程得 B 2222kx(4k4)x4k40， A P 由0，得1k1(k0)。 (-2,0) O x 24k4 （2）由上面方程得x1x2， 2C的焦点连线互

k y1y2k(x12)(x22)4，焦点为O(0,0)。 由kOA·kOB2y1y22k2，21，得k2x1x2k1arctan22或arctan变式练习：

2 2(x3)2y21相交于A、B两点，若以AB为直径的圆恰好通过椭圆左焦点F，求经过坐标原点的直线l与椭圆

62直线l的倾斜角。

B:解题的技巧方面

在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲

线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。下面举例说明： （1）充分利用几何图形

解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。

典型例题 设直线3x4ym0与圆xyx2y0相交于P、Q两点，O为坐标原点，若OPOQ，求

22m的值。

解： 圆xyx2y0过原点，并且OPOQ， PQ是圆的直径，圆心的坐标为M( 又M(221，1) 21，1)在直线3x4ym0上， 215 3()41m0，m即为所求。

22 评注：此题若不充分利用一系列几何条件：该圆过原点并且OPOQ，PQ是圆的直径，圆心在直线3x4ym0上，而是设P(x1，y1)、Q(x2，y2)再由OPOQ和韦达定理求m，将会增大运算量。 变式练习：

已知点P（5，0）和圆O：xy16，过P作直线l与圆O交于A、B两点，求弦AB中点M的轨迹方程。 评注：此题若不能挖掘利用几何条件OMP90，点M是在以OP为直径的圆周上，而利用参数方程等方法，

计算量将很大，并且比较麻烦。

二. 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略

我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。 典型例题 已知中心在原点O，焦点在y轴上的椭圆与直线yx1相交于P、Q两点，且OPOQ，|PQ|求此椭圆方程。

22 解：设椭圆方程为axby1(ab0)，直线yx1与椭圆相交于P(x1，y1)、Q(x2，y2)两点。

2210，2yx1 由方程组2消去y后得 2axby1(ab)x22bxb10 2bb1

x1x2，x1x2abab 由kOPkOQ1，得y1y2x1x2 （1） 又P、Q在直线yx1上，

(2)y1x11， y2x21， (3)y1y2(x11)(x21)x1x2(x1x2)1 把（1）代入，得2x1x2(x1x2)10， 即

2(b1)2b10

abab 化简后，得

ab2 （4） 由|PQ|51022，得(x1x2)(y1y2)

2255，(x1x2)24x1x2，44

2b24(b1)5()abab4(x1x2)2 把（2）代入，得4b8b30，解得b213或b 2231

或a 2231 由ab0，得a，b。

22 代入（4）后，解得a

3x2y21 所求椭圆方程为22 评注：此题充分利用了韦达定理及“设而不求”的策略，简化了计算。

变式练习：

x2y2若双曲线方程为221，AB为不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB中点，设AB、OM的斜率分别为

abkAB、kOM，则kABkOMb22 a 三. 充分利用曲线系方程

利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。

典型例题 求经过两已知圆C1：xy4x2y0和C2：xy2y40的交点，且圆心在直线l：

22222x4y10上的圆的方程。

解：设所求圆的方程为：

x2y24x2y(x2y22y4)0

即(1)x(1)y4x2(1)y40， 其圆心为C（

2221，） 11 又C在直线l上，2211

410，解得，代入所设圆的方程得x2y23xy10为113

所求。

评注：此题因利用曲线系方程而避免求曲线的交点，故简化了计算。 变式练习：

某直线l过直线L1：４x-３y-12=0和L2：7x-y+28=0的交点，且倾斜角为直线L1的倾斜角的一半，求此直线l的方程

四、充分利用椭圆的参数方程

椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题．这也是我们常说的三角代换法。

x2y2典型例题 P为椭圆221上一动点，A为长轴的右端点，B为短轴的上端点，求四边形OAPB面积的最大值

ab及此时点P的坐标。

变式练习：

已知P(x，y)是椭圆x2＋4y2=1上任一点，试求P到直线x + y – 2 = 0的最小值及此时P的坐标。 五、线段长的几种简便计算方法

① 充分利用现成结果，减少运算过程

一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是：把直线方程ykxb代入圆锥曲线方程中，得到型如

△ax2bxc0的方程，方程的两根设为xA，xB，判别式为△，则|AB|1k2·|xAxB|1k2·，若

|a|直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。

22 例 求直线xy10被椭圆x4y16所截得的线段AB的长。

② 结合图形的特殊位置关系，减少运算

在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。

x2y21的两个焦点，AB是经过F1的弦，若|AB|8，求值|F2A||F2B| 例 F1、F2是椭圆

259③ 利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离

例 点A（3，2）为定点，点F是抛物线y4x的焦点，点P在抛物线y4x上移动，若|PA||PF|取得最小值，求点P的坐标。

22