高三数学分布列和期望

高三数学分布列和期望

高考考纲透析：

等可能性的事件的概率,互斥事件有一个发生的概率,相互独立事件同时发生的概率,独立重复试验、离散型随机变量的分布列、期望和方差

高考风向标：

离散型随机变量的分布列、期望和方差

热点题型1 n次独立重复试验的分布列和期望

[样题1] 〔2005年高考·全国卷II·理19〕

甲、乙两队进行一场排球比赛.根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛互间没有影响.令为本场比赛的局数,求的概率分布和数学期望.〔精确到0.0001〕

本题考查离散型随机变量分布和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力.解：单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，乙队胜甲队的概率为1－0.6＝0.4

比赛3局结束有两种情况：甲队胜3局或乙队胜3局，因而P〔＝3〕＝

比赛4局结束有两种情况：前3局中甲队胜2局，第4局甲队胜；或前3局中乙队胜2局，第4局乙队胜.因而

P〔＝4〕＝＋

比赛5局结束有两种情况：前4局中甲队胜2局、乙队胜2局，第5局甲胜或乙胜.因而 P〔＝5〕＝＋ 所以的概率分布为

3 4 5 P 0.28 0.3744 0.3456 的期望＝3×P〔＝3〕＋4×P〔＝4〕＋5×P〔＝5〕＝4.0656变式新题型1.〔2005年高考·浙江卷·理19〕袋子A中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是．

〔Ⅰ〕 从A中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸5次，求恰好有3次摸到红球的概率． 〔Ⅱ〕 从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止． (i) 求恰好摸5次停止的概率；

〔ii〕记5次之内〔含5次〕摸到红球的次数为，求随机变量的分布列及数学期望E． 解：〔Ⅰ〕 〔Ⅱ〕〔i〕

〔ii〕随机变量的取值为0，1，2，3，； 由n次独立重复试验概率公式，得

505kkPnkCnp1pnk

321P0C13243； 18011P1C5133243 8011P2C52133243

〔或〕

随机变量的分布列是

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 P 0 1 2 3 32808017243 243 243 243 的数学期望是

32808017131012324324324324381 热点题型2 随机变量的取值范围及分布列

[样题2]在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张券中任抽2张，求：

E 〔Ⅰ〕该顾客中奖的概率；

〔Ⅱ〕该顾客获得的奖品总价值〔元〕的概率分布列和期望. 解法一：

〔Ⅰ〕，即该顾客中奖的概率为.

〔Ⅱ〕的所有可能值为：0，10，20，50，60〔元〕.

11C621C3C62且P(0)2,P(10),25C103C1011C32C1C612P(20)2,P(50),215C1015C1011C1C31P(60).215C10

0 10 20 50 60 解法二： 〔Ⅰ〕

〔Ⅱ〕的分布列求法同解法一

121 3 5 15望

12121E01020506016.35151515

故有分布列： 从而期

 P2 151 15由于10张券总价值为80元，即每张的平均奖品价值为8元，从而抽2张的平均奖品价值=2×8=16〔元〕.

变式新题型2.假设一种机器在一个工作日内发生故障的概率为0 2，若一周5个工作日内无故障，可获利润10万元；仅有一个工作日发生故障可获利润5万元；仅有两个工作日发生故障不获利也不亏损；有三个或三个以上工作日发生故障就要亏损2万元 求： 〔Ⅰ〕一周5个工作日内恰有两个工作日发生故障的概率〔保留两位有效数字〕； 〔Ⅱ〕一周5个工作日内利润的期望〔保留两位有效数字〕 解：以表示一周5个工作日内机器发生故障的天数，则~B〔5，0 2〕

P(k)C5k0.2k0.85k(k0,1,2,3,4,5). 〔Ⅰ〕

〔Ⅱ〕以表示利润，则的所有可能取值为10，5，0，－2

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5P(10)P(0)0.80.328.

1P(5)P(1)C50.210.840.410.

P(0)P(2)C0.20.80.205.2523

P(2)P(3)1P(0)P(1)P(2)0.057. 的概率分布为  10 5 0 －2 P 0 328 0 410 0 205 0 057 利润的期望=10×0 328+5×0 410+0×0 205－2×0 057≈5 2〔万元〕

[样题3] 〔2005年高考·江西卷·理19〕

A、B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片.规定掷硬币的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止.设表示游戏终止时掷硬币的次数.

〔1〕求的取值范围； 〔2〕求的数学期望E.

解：〔1〕设正面出现的次数为m，反面出现的次数为n，则，可得：

当m5,n0或m0,n5时,5;当m6,n1或m1,n6时,7;当m7,n2或m2,n7时,9;所以的所有可能取值为:5,7,9.〔2〕

变式新题型3.某射手进行射击练习，每射击5发子弹算一组，一旦命中就停止射击，并进行下一组练习，否则一直打完5发子弹后才能进入下一组练习．若该射手在某组练习中射击命中一次，并且他射击一次命中率为0．8，〔1〕求在这一组练习中耗用子弹ξ的分布列．〔2〕求在完成连续两组练习后，恰好共耗用了4发子弹的概率.

分析：该组练习耗用的子弹数ξ为随机变量，ξ可取值为1，2，3，4，5ξ＝1，表示第一发击中〔练习停止〕，故P〔ξ＝1〕＝0．8

ξ＝2，表示第一发未中，第二发命中，故P〔ξ＝2〕＝〔1－0．8〕×0．8＝0．16ξ＝3，表示第一、二发未中，第三发命中，故P〔ξ＝3〕＝〔1－0．8〕2×0．8＝0．032以下类推

解：〔1〕ξ的分布列为

ξ 1 2 3 4 5 P 0．8 0．16 0．032 0．0064 0．0016 1555;1664641555275E579.16646432 P(9)1

补充备例：有n把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能把大门上的锁打开．用它们去试

开门上的锁．设抽取钥匙是相互独立且等可能的．每把钥匙试开后不能放回．求试开次数 的数学期望和方差．

分析：求 时，由题知前 次没打开，恰第k次打开．不过，一般我们应从简单的地方入手，如 ，发现规律后，推广到一般． 解： 的可能取值为1，2，3，…，n．

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；所以 的分布列为：

1 2 … k … n … … ；

说明：复杂问题的简化处理，即从个数较小的看起，找出规律所在，进而推广

到一般，方差的公式正确使用后，涉及一个数列求和问题，合理拆项，转化成熟悉的公式， 是解决的关键．

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