上海交大附中09

上海交大附中09-10学年高二上学期期终试卷

高二数学

本试卷共有21道试题，满分100分，考试时间90分钟。

请考生用钢笔或圆珠笔将答案写在答题卷上

一、填空题(3分×12=36分 )

1、已知lim(nan12)1，则a____________ n3n开始s0i12、一个等差数列的前4项是1,x,a,2x，则x等于________ 3、行列式

1023的值为__________ 2xmy5,4、关于x、y的二元线性方程组的增广矩阵经过nx3y2变换，最后得到的矩阵为ss12i103，则xy 011ii1否是a1b1c15、若1输出s结束4253a1A1b1B1c1C1，则B1化简后的最后结6（第9题） 果等于_________

6、在四边形ABCD中，ABBC0，ABDC，则四边形ABCD的形状是_______ 7、5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有________种（用数字作答）。

18、设数列{an}的首项a11且前n项和为Sn.已知向量a(1,an)，b(an1,)满足

2ab，则limSn________

n9、右上图给出的是计算

1111的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的24620条件是 ．

10、如图，在ABC中，点D在BC上，且CD2BD；点E在AC上，且AE3EC。

AD与BE的交点为F。若设ABa，ACb，AFAD，3于是可得出：BEab，BFAFAB

4ADAB(ABBD)AB，于是由

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BE//BF，可求出_________

11、在共有2009项的等差数列{an}中，有等式

(a1+a3+鬃?a2009)-(a2+a4+鬃?a2008)=a1005成立,类比上述性质，相应的，在共有

2011项的等比数列{bn}中，有等式 成立。

12、在n个红球及n个白球，总计2n个球中取出m（mn）个球的方法数是C2n，该方法数我们还可以用如下方法得到：只取m个红球；取m1个红球，1个白球；取m2个红球，2

个白球；……。于是可得到组合数公式：

mmm0m11rmr0mC2CnCn(mn)，按如上方法化简下式得到的结nCnCnCnCnCnCn果是：CnCmCnCmCnCmCnCm____________（其中mn）

0011rrmm二、选择题(3分×4=12分)

13、已知数列{an}中a1=1，a2=2，an+1=2an+an-1，（k∈N+），用数学归纳法证明a4n能被4整除时，假设a4k能被4整除，应证………………………………………（ ）

（A）a4k+4能被4整除 （B）a4k+3能被4整除 （C）a4k+2能被4整除 （D）a4k+1能被4整除

726967656259817468645952是表示我校2011届学生高二上学期的14、若矩阵A857976726964228219211204195183期中成绩矩阵，A中元素aij(i1,2,3,4;j1,2,3,4,5,6)的含义如下：i1表示语文成绩，

i2表示数学成绩，i3表示英语成绩，i4表示语数外三门总分成绩jk,kN*表示

第50k名分数。若经过一定量的努力，各科能前进的名次是一样的。现小明的各科排名均在250左右，他想尽量提高三门总分分数，那么他应把努力方向主要放在哪一门学科上…………………………………………………………………（ ）

（A）语文 （B）数学 （C）外语 （D）都一样

1215、若等边ABC的边长为23，平面内一点M满足CMCBCA，则

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MAMB………………………………………………………………………………（ ）

（A） 2 （B）3 （C）2 （D）3

x1x22x3016、关于x1,x2,x3的齐次线性方程组x1x2x30的系数矩阵记为A，且该方程组

xxx0231存在非零解，若存在三阶矩阵BO，使得ABO，（O表示零矩阵，即所有元素均为0的矩阵；|B|表示行列式B的值，该行列式中元素与矩阵B完全相同）则……（ ）

（A）2，且B0 （B）2，且B0 （C）1，且B0 （D）1，且B0

三、解答题(9分+9分+10分+10分+14分=52分)

17、已知向量a，b的夹角为60°，且|a|1,|b|2，设m3ab，nta2b

（1）求ab； （2）试用t来表示mn的值；（3）若m与n的夹角为钝角，试求实数t的

取值范围；

18、用行列式讨论关于x，y 的二元一次方程组mxym1解的情况并求解。

xmy2m19、用1，2，3，4，5，6这六个数字组成的四位数中，试回答下面问题 （1）一共有多少个没重复数字的四位数？

（2）若把（1）中这些没重复数字按从小到大的顺序排成一列，则3241是第几个数？ （3）（2）中的第100个数字是多少？

20、把公差为2的等差数列{an}的各项依次插入等比数列{bn}的第1项、第2项、……第n项后，得到数列{cn}：b1,a1,b2,a2,b3,a3,b4,a4，……，记数

列

开始1i{cn}的前n项和为Sn，已知c11，c22，S3（1）求数列{an}、{bn}的通项公式； （2）求数列{cn}的第2010项c2010；

13． 4Ti<15 是输出Ti i1i否（3）设Tn2010bnan ，阅读框图写出输出项，并说明理

由．

否i100是结束学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网www.gaokao.com

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an2an14bn121、若数列{an},{bn}中，a1a,b1b， ，(nN,n2)。请按照

b5a7bn1n1n要求完成下列各题，并将答案填在答题纸的指定位置上。 （1）可考虑利用算法来求am,bm的值，其中m为给定数据(m2,mN)。右图算法中，虚线框中所缺的程，可以为下面A、B、C、D中的_______________

（请填出全部答案） (A) (B) c←b c←a

a← -2a+4c a← -2c+4b

b← -5a+7c b← -5c+7b

i← i+1 i← i+1

(C) c ← b (D) c←a, d←b

b← -5a+7c a← -2c+4d

a← -2a+4c b← -5c+7d i← i+1 i← i+1

（2）我们可证明当ab,5a4b时，{anbn}及{5an4bn}均为等比数列，请按答纸题要求，完成一个问题证明，并填空。 证明：anbn是等比数列，过程如下：anbn 所以anbn是以a1b1ab0为首项，以_________为公比的等比数列； 同理5an4bn是以5a14b15a4b0为首项，以_________为公比的等比数列 （3）若将an,bn写成列向量形式，则存在矩阵

A，使

的流

aaanan1an22n2n11AA(A)AA，请回答下面问题：

bbbbb1nn1n2n2①写出矩阵A=__________ ； ②若矩阵BnAAAA，矩阵CnPBnQ，其中矩阵Cn只有一个元素，且该元素为Bn中所有元素的和，请写出满足要求的一组P,Q：_______________； ③ 矩阵Cn中的唯一元素是_______________。

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上海交通大学附属中学2009-2010学年度第一学期

高二数学期终试卷

本试卷共有21道试题，满分100分，考试时间90分钟。

请考生用钢笔或圆珠笔将答案写在答题卷上

一、填空题(3’×12=36’ )

1、已知lim(nan12)1，则a____________ n3n答案：1

2、一个等差数列的前4项是1,x,a,2x，则x等于________ 答案：2 3、行列式答案：3 4、关于x、y的二元线性方程组1023的值为__________ 2xmy5,的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为nx3y2103011，则xy 答案：4

a1b1c15、若14答案：6 253a1A1b1B1c1C1，则B1化简后的最后结果等于______________。 66、在四边形ABCD中，ABBC0，ABDC，则四边形ABCD的形状是_______

答案：矩形 7、5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有_________

（用数字作答）。 答案：72

8、设数列{an}的首项a11且前n项和为Sn.已知向量

否开始s0i1种

ss12iii1是学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网www.gaokao.com 输出s结束（第9题）

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1a(1,an)，b(an1,)满足ab，则limSn________

n22答案：

3

9、右图给出的是计算

1111的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条24620件是 ．

答案：i10（或i11或i11）

10、如图，在ABC中，点D在BC上，且CD2BD；点E在AC上，且AE3EC。AD与BE的交点为F。若设ABa，ACb，3BEab，于是可得出：，AFAD4BFAFABADAB(ABBD)ABA ，于是由BE//BF，可求出________________。

B F D E C 1121)ab，由BF//BE，答案：BF(ABBC)AB[a(ba)]a(3333219于是：33。 3110411、在共有2009项的等差数列{an}中，有等式 (a1+a3+鬃?a2009)-(a2+a4+鬃?a2008)=a1005成立,类比上述性质，相应的，在共有

20011项的等比数列{bn}中，有等式 成立。 答案：

b1b3b5鬃 b2011=b1006

b2b4b6鬃 b2010m12、在n个红球及n个白球，总计2n个球中取出m（mn）个球的方法数是C2n，该方法数我们还可以用如下方法得到：只取m个红球；取m1个红球，1个白球；取m2个

红球，2个白球；……。于是可得到组合数公式：

mm0m11rmr0mC2CnCn(mn)，按如上方法化简下式得到的结nCnCnCnCnCnCn果是：CnCmCnCmCnCmCnCm____________（其中mn）

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0011rrmm学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网www.gaokao.com

原式=CnCmCnCm

0m1m1rmrm0mnCnCmCnCmCnm（或Cnm）

二、选择题(3’×4=12’)

13、已知数列{an}中a1=1，a2=2，an+1=2an+an-1，（k∈N+），用数学归纳法证明a4n能被4整除时，假设a4k能被4整除，应证………………………………………（ A ）

（A）a4k+4能被4整除 （B）a4k+3能被4整除 （C）a4k+2能被4整除 （D）a4k+1能被4整除

726967656259817468645952是表示我校2011届学生高二上学期的14、若矩阵A857976726964228219211204195183期中成绩矩阵，A中元素aij(i1,2,3,4;j1,2,3,4,5,6)的含义如下：i1表示语文成绩，

i2表示数学成绩，i3表示英语成绩，i4表示语数外三门总分成绩jk,kN*表示

第50k名分数。若经过一定量的努力，各科能前进的名次是一样的。现小明的各科排名均在250左右，他想尽量提高三门总分分数，那么他应把努力方向主要放在哪一门学科上…………………………………………………………………（ B ）

（A）语文 （B）数学 （C）外语 （D）都一样

12MABC15、若等边的边长为23，平面内一点满足CMCBCA，则

63MAMB………………………………………………………………………………（ C ）

（A） 2 （B）3 （C）2 （D）3

1212MAMB(CACM)(CBCM)(CACBCA)(CBCBCA) 解一、

6363152275212CB2 (CACB)(CBCA)CACACB366391836解二：建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设C(0,0),A(23,0),B(3,3)

3313135,)，然后求得MA(,),MB(,)，这样利用向量关系式，求得M(222222学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网www.gaokao.com

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运用数量积公式解得为-2.

x1x22x3016、关于x1,x2,x3的齐次线性方程组x1x2x30的系数矩阵记为A，且该方程组

xxx0231存在非零解，若存在三阶矩阵BO，使得ABO，（O表示零矩阵，即所有元素均为0的矩阵；|B|表示行列式B的值，该行列式中元素与矩阵B完全相同）则 （ C ）

（A）2，且B0 （B）2，且B0 （C）1，且B0 （D）1，且B0

12解：方程组有非零解，于是系数行列式110，解法一：将选项中1带入，验

112证为零，于是答案在C或D中；解法二：将该行列式展开可得到(1)0，于是1。

111b11b12所以A111，设矩阵Bb21b22111b31b32b13b23，由AB得到零矩阵，得知b33b11b21b310，b12b22b320，b13b23b330。由于只需考虑行列式B的值是

b11否为0，即|B|b21b12b22b32b13b23是否为零。 b33b31解法一：作为选择题，可选取特殊值计算当第一列元素为零，第二列于第三列元素互为相反011数时，|B|0,BO（不妨选B011），于是D不对，只能选C。

011解法二：按照书中推导三元方程组的解答方法证明|B|0，具体过程如下：

b11b12b13b23b11B11b12B12b13B13(b21b31)B11(b22b32)B12(b23b33)B13b33|B|b21b22b31b32 (b21B11b22B12b23B13)(b31B11b32B12b33B13)000

（书中P100页，y，z前系数为0方法一致）

解法三：由行列式性质可将第1行，第2行元素加到第3行中去，行列式的值不变，于是新

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行列式的第三行各元素均为0，行列式的值为0。 解法四：全部展开，理论上可以得到值为0，我没算过。

三、解答题(9’+9’+10’+10’+14’=52’)

17、已知向量a，b的夹角为60°，且|a|1,|b|2，设m3ab，nta2b

（1）求ab； （2）试用t来表示mn的值；（3）若m与n的夹角为钝角，试求实数t的

取值范围；

解： （1）ab12cos601； ………………………………………………3分

22 （2）mn(3ab)(ta2b)3ta(6t)ab2b3t6t242t2

………………………………………………………………3分

 （3）夹角为钝角，于是mn0且m与n不平行。其中mn0t1，而m//nt6，于是实数t的取值范围是t(,6)(6,1)。

………………………………………………………3分，其中没排除平行情况扣2分 18、用行列式讨论关于x，y 的二元一次方程组mxym1解的情况并求解。

xmy2m解：Dm11mm21(m1)(m1), Dxm112mmm2mm(m1),

Dymm112m2m2m1(2m1)(m1),………………………（各1分共3分）

mxm1（1） 当m1,m1时，D0，方程组有唯一解，解为……（2分，其

y2m1m1中解1分）

（2） 当m1时，D0，Dx0，方程组无解；……………………………（2分） 当m1时，DDxDy0，方程组有无穷多组解，此时方程组化为xy2，令

xy2学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网www.gaokao.com

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xtxt(tR)，原方程组的解为(tR)。……（2分，没写出解扣1分）

y2t

19、用1，2，3，4，5，6这六个数字组成的四位数中，试回答下面问题 （1）一共有多少个没重复数字的四位数？

（2）若把（1）中这些没重复数字按从小到大的顺序排成一列，则3241是第几个数？ （3）（2）中的第100个数字是多少？

解：（1）P6360；………………………………………………………………2分

（2）1，2开头的数字有2P31开头的数字有P32开头的数字只有3214，5120，412个，3215，3216比3241小，于是3241是第120+12+3+1=136个数。

…………………………………………………………………………4分 答135的得2分 （3）由于1，2开头的数字有120个，1开头的数字有60个，于是第100个数字一定是2开头的数字。21，23，24开头的数字各有P总计36个，于是2513是第60+36+1=97412个，个数，第98、99个数依次是2514，2516。所以第100个数字是2531。

…………………………………………4分 相差1个数字即答2516及2534的得2分

20、把公差为2的等差数列{an}的各项依次插入等比数列{bn}的第1项、第2项、……第n项后，得到数列{cn}：b1,a1,b2,a2,b3,a3,b4,a4，……，记数列{cn} 的前n项和为Sn，已知c11，c22，S3（1）求数列{an}、{bn}的通项公式； （2）求数列{cn}的第2010项c2010； （3）设Tn2010bnan ，阅读框图写出输出项，并说明理由．

解：（1）由题意，b11，a12，S3b1a1b2开始1i232413． 4Ti<15 是输出Ti 否i1ii100否是131，故b2-------------1分 44结束所以an2n，bn()n1 ……………………………………2分，总计3分 （2）数列{cn}中的第2010项即数列{an}中的第1005项，于是c2010a10052010； …………………………………………………………………………………………………3分 （3）解法一：显然bn0,an0，当n4时，2010bn2010b431.40，于是Tn15。 而当n8时，ana816，于是Tn15，计算T517.8 5 T613.96

14T714.4 9 ， 所以满足条件Tn15的项只有两项T6，T7

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n1n解法二：由于Tn2010()2n 所以Tn12010()2n2

1414131Tn1Tn2010()n12=26030()n

444当n5时Tn1Tn0 {Sn}递增 当n5时Tn1Tn0 {Sn}递减

通过计算T439.41 T517.8 5 T613.9 6 T714.4 9 T816.12 所以满足条件Tn15的项只有两项T6，T7

……………………………………4分，无论什么方法只要写出输出项2分，理由2分

an2an14bn121、若数列{an},{bn}中，a1a,b1b， ，(nN,n2)。请按照

b5a7bn1n1n要求完成下列各题，并将答案填在答题纸的指定位置上。 （1）可考虑利用算法来求am,bm的值，其中m为给定数据(m2,mN)。右图算法中，虚线框中所缺的程，可以为下面A、B、C、D中的_______________ （请填出全部答案） (B) (B) c←b c←a

a← -2a+4c a← -2c+4b

b← -5a+7c b← -5c+7b

i← i+1 i← i+1

(C) c ← b (D) c←a, d←b

b← -5a+7c a← -2c+4d

a← -2a+4c b← -5c+7d i← i+1 i← i+1

答案：ACD …………………………………………………………………………3分 （2）（证明2分每空1分）我们可证明当ab,5a4b时，{anbn}及{5an4bn}均为等比数列，请按答纸题要求，完成一个问题证明，并填空。

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的流

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证明：anbn是等比数列，过程如下：

anbn(2an14bn1)(5an17bn1)3an13bn13(an1bn1)

所以anbn是以a1b1ab0为首项，以____3_____为公比的等比数列； 同理5an4bn是以5a14b15a4b0为首项，以____2_____为公比的等比数列 （3）（每空1分，过程4分）若将an,bn写成列向量形式，则存在矩阵A，使

aaanan1an22n2n11AA(A)AA，请回答下面问题： b1bnbn1bn2bn2①写出矩阵A=__________ ； ②若矩阵BnAAAA，矩阵CnPBnQ，其中矩阵Cn只有一个元素，且该元素为Bn中所有元素的和，请写出满足要求的一组P,Q：_______________； ③ 矩阵Cn中的唯一元素是_________________ 计算过程如下：

答案：A23n24，一组P,Q的值可以为P(15711，)Q（满足

11Pa

a1n2,Q形式即可） 矩阵Cn中唯一元素为24。 aa解：由于矩阵Bn中所有元素的和等于A,A,A,A中所有元素的和的和，于是可先求A中四个元素之和。 23nn（填空，可利用能进行矩阵运算的计算器大概两分钟可得出A,A,A,A，计算和分别为4，8，16，32归纳得出A中元素之和为42解法一：由nn1234，但A的通项很难归纳得出）

naaanan1n11n1，得出 AA，利用问题（2）

b1bn1b1bnn1n1n1n1n1anbn(ab)3an(5243)a(4342)b n1n1n1n1n15an4bn(5a4b)2bn(5253)a(5342)b学而思教育·学习改变命运 思考成就未来！ 高考网www.gaokao.com

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nnnnan1(5243)a(4342)b于是 nnnnbn1(5253)a(5342)b52n43n所以Ann5253n43n42nnn22，中元素之和为， Ann5342234n1从而Bn中所有元素的和为2222

解法二：由2n24。

aaanan1n11n1nAA，可知当a1b11时，A中元素之和b1bn1b1bn就等于an1bn1，于是由问题（2）可知当ab1时anbn3(an1bn1)0，即anbn，于是由an2an14bn12an1an2nnn1，

，从而Bn中所有元素的和为

所以an1bn12an122，即A的元素之和为2n12223242n12n24。

解法三：注意到AQ24122Q， 5712n1于是AnQAn1(AQ)A(2Q)2An1Q2nQ

11n所以PAQP(2)2112n1

11nn于是Cn22223n12n24

（注：解法三不具有通用性，本题中恰好AQ2Q，于是运算可进行下去。）

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