三次函数专题

三次函数专题

一、定义：

定义1、形如yaxbxcxd(a0)的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）。

2定义2、三次函数的导数y3ax2bxc(a0)，把4b12ac叫做三次函数

232导函数的判别式。

由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高考命题的一个新的热点和亮点。 二、三次函数图象与性质的探究： 1、单调性。

一般地，当b3ac0时，三次函数yaxbxcxd(a0)在R上是单调函数；当b3ac0时，三次函数yaxbxcxd(a0)在R上有三个单调区间。 （根据a0,a0两种不同情况进行分类讨论） 2、对称中心。

三次函数f(x)axbxcxd(a0)是关于点对称，且对称中心为点

32232232(bb,f())，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。 3a3a【

的对称中心为（m，n）。

证明：设函数

按向量将函数的图象平移，则所得函数是奇函数，所以

化简得：

上式对恒成立，故，得，

。

所以，函数的对称中心是（）。

可见，y＝f(x)图象的对称中心在导函数y＝中点，同时也是二阶导为零的点。

的对称轴上，且又是两个极值点的

3、三次方程根的问题。

2（1）当△=4b12ac0时，由于不等式f(x)0恒成立，函数是单调递增的，所以原

方程仅有一个实根。

(

2（2）当△=4b12ac0时，由于方程f(x)0有两个不同的实根x1,x2，不妨设

x1x2，可知，(x1,f(x1))为函数的极大值点，(x2,f(x2))为极小值点，且函数yf(x)在(,x1)和(x2,)上单调递增，在x1,x2上单调递减。 此时：

①若f(x1)f(x2)0，即函数yf(x)极大值点和极小值点在x轴同侧，图象均与x轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。

若f(x1)f(x2)0，即函数yf(x)极大值点与极小值点在x轴异侧，图象与x轴必

有三个交点，所以原方程有三个不等实根。

③ 若f(x1)f(x2)0，即f(x1)与f(x2)中有且只有一个值为0，所以，原方程有三个

实根，其中两个相等。

4、极值点问题。

若函数f(x)在点x0的附近恒有f(x0)≥f(x) (或f(x0)≤f(x))，则称函数f(x)在点x0处取得极大值（或极小值），称点x0为极大值点（或极小值点）。

当0时，三次函数yfx在,上的极值点要么有两个。 当0时，三次函数yfx在,上不存在极值点。

}

5、最值问题。

函数

，则：fmaxxfm,fx0,fn；

若，且

。

三、例题讲解：

例1、（函数的单调区间、极值及函数与方程的）已知函数f（x）=x-3ax+3x+1。 （Ⅰ）设a=2，求f（x）的单调期间；

（Ⅱ）设f（x）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a的取值范围。 解：

32

5555a，3， 因此a的取值范围是43. ①式无解，②式的解为4[

2例2、已知函数f(x)满足f(x)x3f'x2xC（其中C为常数）．

3（1）求函数f(x)的单调区间；

（2）若方程f(x)0有且只有两个不等的实数根，求常数C；

（3）在（2）的条件下，若f0，求函数f(x)的图象与x轴围成的封闭图形的面积．

解：（1）由f(x)x3f'x2xC，得f'(x)3x22f'x1．

222取x，得f'32f3332132323222'1，解之，得f'1， 333∴f(x)x3x2xC．

从而f'(x)3x22x13xx1， 列表如下：

13

$x f '(x) f(x) 1( , ) 3 1 31( , 1) 31 0 有极小值 (1 , ) ＋ ↗ 、0 有极大值 13－ ↘ ＋ ↗ ∴f(x)的单调递增区间是(,)和(1,)；f(x)的单调递减区间是

1(,1)． 351111fCC；

33332732（2）由（1）知，[f(x)]极大值[f(x)]极小值f(1)13121C1C．

∴方程f(x)0有且只有两个不等的实数根，等价于[f(x)]极大值0或

[f(x)]极小值0． ………8分

5∴常数C或C1．

27（3）由（2）知，f(x)x3x2x【

5或f(x)x3x2x1． 27

而f0，所以f(x)x3x2x1．

令f(x)x3x2x10，得(x1)2(x1)0，x11，x21． ∴所求封闭图形的面积 113 14111x3x2x1 dxx4x3x2x．

324131例3、（恒成立问题）已知函数f(x)1312xxcxd有极值． 32（1）求c的取值范围；

1（2）若f(x)在x2处取得极值，且当x0时，f(x)d22d恒成立，求d的

6取值范围．

11解：（1）∵f(x)x3x2cxd，∴f(x)x2xc，

32 要使f(x)有极值，则方程f(x)x2xc0有两个实数解，

从而△＝14c0，∴c（2）∵f(x)在x2处取得极值，

∴f(2)42c0，

*

1． 4

∴c2．

11∴f(x)x3x22xd，

32∵f(x)x2x2(x2)(x1)，

∴当x(,1]时，f(x)0，函数单调递增， 当x(1,2]时，f(x)0，函数单调递减．

7∴x0时，f(x)在x1处取得最大值d，

61∵x0时，f(x)d22d恒成立，

671∴dd22d，即(d7)(d1)0， 66∴d7或d1，即d的取值范围是(,7)(1,)．

32f(x)axbxcxd(a0)。定义：例4、（信息迁移题）对于三次函数（1）f(x)的导数f(x)（也叫f(x)一阶导数）的导数f(x)为f(x)的二阶导数，若方程

f(x)0有实数解x0，则称点(x0,f(x0))为函数yf(x)的“拐点”；定义：（2）

设x0为常数，若定义在R上的函数yf(x)对于定义域内的一切实数x，都有

f(x0x)f(x0x)2f(x0)(x,f(x0))恒成立，则函数yf(x)的图象关于点0对

称。

32f(x)x3x2x2， 求函数f(x)的“拐点”A的坐标； （1）己知

、

（2）检验（1）中的函数f(x)的图象是否关于“拐点”A对称;

32f(x)axbxcxd(a0)写出一个有关“拐点”（3）对于任意的三次函数

的结论（不必证明）。

(x)3x26x2f 解：（1）依题意，得： ，f(x)6x6。

由f(x)0 ，即6x60。∴x1，又 f(1)2，

32f(x)x3x2x2的“拐点”坐标是(1,2)。 ∴

（2）由(1)知“拐点”坐标是(1,2)。 而

f(1x)f(1x)=(1x)33(1x)22(1x)2(1x)33(1x)22(1x)2

22 =26x66x444=2f(1)，

由定义(2)知：

fxx33x22x2关于点(1,2)对称。

fxax3bx2cxd(a0)（3）一般地，三次函数的“拐点”是

b,3af(b)3a，它就是

f(x)的对称中心。

或者：任何一个三次函数都有拐点； 任何一个三次函数都有对称中心；

&

任何一个三次函数平移后可以是奇函数 .

例5、（与线性规划的交汇问题）设函数

,

其中 (1)若 (2)若设解:

,是的导函数.

,求函数

的解析式; 满足

.

,函数的两个极值点为

, 试求实数的取值范围.

知,, 故

,将

是二次函数

是方程代入得

图象的对称轴

的两根.

(Ⅰ)据题意, 由 又 设

得:

故

·

比较系数

为所求.

，

另解：

据题意得 故 (2)据题意,

解得为所求.

,则

又

是方程

的两根,且

则 则点 点，A到直线

的可行区域如图

的几何意义为点P

与点的距离的平方.观察图形知

的距离的平方

为的最小值

故的取值范围是

<

3

例6：（1）已知函数f(x)=x-x ,其图像记为曲线C.

（i） （ii）

求函数f(x)的单调区间；

证明：若对于任意非零实数x1 ,曲线C与其在点P1 （x1,f(x1)））处的切线交于另一点P2（x2,f(x2)），曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3（x3,f(x3)），线段P1 P2, P2 P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则

S1为定值； S23

2

（2）对于一般的三次函数g(x)=ax+bx+cx+d(a 0),请给出类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题，并予以证明。 解法一：

3

2

（1）（i）有f(x)=x-x得f’(x)=3x-1=3(x-

33)(x+). 33当x(,33)和(，)时，f’(x)>0; 33当x(33，)时，f’(x)<0。 33

（ⅱ）曲线C在点P1处的切线方程为 y=(3x1-1)(x-x1)+x1-x1，

}

23

即y=(3x1-1)x-2 x1.

2

3

由

得x-x=(3x1-1)x-2 x1

2

3

2

3

即（x-x1）(x+2x1)=0,

解得 x=x1或x=-2x1, 故x2=-2x1.

进而有

用x2代替x1,重复上述计算过程，可得x3= -2x2和S2=又x2=-2x10，所以S2=

274x2。 4s127164x10,因此有1。

s21642

（2）记函数g(x)=ax+bx+cx+d（a0）的图像为曲线C’，类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题为：若对于任意不等于3

b的实数x1,曲线C’与其在点P1（x1, g(x1)）处的切线交于另一3a点P2（x2, g(x2)）,曲线C’与其在点P2处的切线交于另一点P3（x3, g(x3)），线段P1P2、P2P3 与曲线C’所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则

S1为定值。 S2\"

证明如下：

因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线y=g(x)的对称中心

平移至

解法二： （1）同解法一。

（2）记函数g(x)=ax+bx+cx+d(a0)的图像为曲线C’，类似于（1）（ii）的正确命题为：

3

2

若对于任意不等于b的实数x1,曲线C’与其在点P1（x1, g(x1)）处的切线交于另一点P23a（x2, g(x2)）,曲线C’与其在点P2处的切线交于另一点P3（x3, g(x3)），线段P1P2、P2P3 与曲线C’所围成封闭图形的面积分别记为S1，S2，则

S1为定值。 S2证明如下：

(3ax2b)4b用x2代替x1，重复上述计算过程，可得x3= 2x和S2。

12a3a又x2=}

bb2x1且x1, a3a

(3ax2b)(6ax12b)416(3ax1b)40, 所以S212a312a312a3故

S11. S216三次函数作业

1、设

能是（ ）

是函数f(x)的导函数，

的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可

2、函数A. 1，－1

在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是（ ）

B. 1，－17

C. 3，－17

D. 9，－19

3、设函数f(x)6x3(a2)x2ax.

32

（1）若f(x)的两个极值点为x1,x2，且x1x21，求实数a的值；

（2）是否存在实数a，使得f(x)是(,)上的单调函数若存在,求出a的值；若不存在，说明理由.

考查函数利用导数处理函数极值单调性等知识

(

4、设定函数f(x)4。

a3xbx2cxd(a30)，且方程f'(x)9x0的两个根分别为1，

（Ⅰ）当a=3且曲线yf(x)过原点时，求f(x)的解析式； （Ⅱ）若f(x)在(,)无极值点，求a的取值范围。

3ax3x21(xR)25、已知函数f（x）=，其中a>0.

（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；

11,（Ⅱ）若在区间22上，f（x）>0恒成立，求a的取值范围.

326、已知函数f(x)axxbx （其中常数a，b∈R），g(x)f(x)f'(x)是奇函数.

（Ⅰ）求f(x)的表达式；

（Ⅱ）讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间

1,2上的最大值与最小值.

4,

7、已知在函数f(x)mx3x的图象上以N（1，n）为切点的切线的倾斜角为 （1）求m、n的值；

—

（2）是否存在最小的正整数k，使不等式f(x)k1992对于x[1,3]恒成

立求出最小的正整数k，若不存在说明理由；

（3）求证：|f(sinx)f(cosx)|2f(t21)(xR,t0). 2t8、已知函数f(x)(xa)（a-b）(a,bR,a（I）当a=1，b=2时，求曲线yf(x)在点（2，f(x)）处的切线方程。

（II）设x1,x2是f(x)的两个极值点，x3是f(x)的一个零点，且x3x1，x3x2 9、已知函数f（x）=

13xx2axb的图像在点P（0,f(0)）处的切线方程为y=3x-2 3m是[2,]上的增函数。 x1(Ⅰ)求实数a,b的值； (Ⅱ)设g（x）=f(x)+

（i）求实数m的最大值；

(ii)当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线y=g(x)围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由。

@

作业：

1、解：根据图象特征，不妨设f(x)是三次函数。则

①

；

的图象给出了如下信息：

②导方程两根是0，2，（f(x)对称中心的横坐标是1）；

③在（0，2）上；在（－，0）或（2，）上。

由①和性质1可排除B、D；由③和性质1确定选C。

2、解：函数的导方程是

，两根为1和－1，由性质2得：

，

。

故选C。

?

2f(x)18x6(a2)x2a

3、【解析】

（1）由已知有

f(x1)f(x2)02，从而

x1x222a118，所以a9；

（2）由36(a2)4182a36(a4)0， 所以不存在实数a，使得f(x)是R上的单调函数. 4、

3x3x2123x3x, f’25、【解析】（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=，f（2）=3；f’(x)=

(2)=6.所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9.

123ax3x3x(ax1).令f’(x)=0，解得x=0或x=a. （Ⅱ）解：f’(x)=

以下分两种情况讨论：

110a2，则a2，当x变化时，f’(x)，f（x）的变化情况如下表： 若

} X f’(x) 10，2 + 0 10，2 - :0 f(x) 极大值 15a0,f()0,82即11f(1)0,5a0.x，时，f（x）>0822当等价于2，

解不等式组得-50若a>2，则

11a2.当x变化时，f’(x),f（x）的变化情况如下表： 10，2 、X 0 10，a - 1a 0 11，a2 + 0 f’(x) + f(x) …

极大值 极小值

5a1>0,f(-)>0,281112f()>0,1-1>0.x，a5222a2a2当时，f（x）>0等价于即，解不等式组得a或

22.因此26、

7、解：（1）f(x)3mx1，

2

f(1)tan41,m21,n. 33222)(x)0,则x， 2222]时,f(x)0,f(x)在此区间为增函数2（2）令f(x)2(x 在[－1，3]中，x[1,22,]时， 22x[

f(x)0,f(x)在此区间为减函数.

f(x)在x2处取得极大值. 2x[

2，3]时f(x)0,f(x)在此区间为增函数，f(x)在x=3处取得极大2值.……8分

比较f（－

2）和f(3)的大小得：f(x)maxf(3)15 2（无理由f(3)最大，扣3分）

f(x)k1992,k2007,即存在k=2007

2 （3）|f(sinx)f(cosx)||(sin3xcos3x)(sinxcosx)|

3 12222|sinxcosx|3|sin3(x) 3343112112122)2(t)[(t22)]22() 2t2t333334t122)2f(2) 2t3 而2f(t

8、

（也可由单调性：2f(t|f(sinx)f(cosx)|2f(t1) 2t

9、