泛函分析中的概念和命题

赋范空间，算子，泛函

定理：赋范线性空间是有限维的当且仅当它的单位球是列紧的；有限维赋范线性空间上的任两个

范数是等价的；有限维赋范线性空间是Banach空间. 定理：M是赋范线性空间X,||||的一个真闭线性子空间，则0,yX,||y||1,使得： ||yx||1,xM

定理：设X是赋范线性空间，f是X上的线性泛函，则

1.fXNf{xX|fx0}是X的闭线性子空间

*2.非零线性泛函fx是不连续的Nf在X中稠密

定理：X,Y是赋范空间，X{},则Y是Banach空间BX,Y是Banach空间

【

X,Y,Z是赋范空间，ABX,Y,BY,Z,则ABBX,Z,且||AB||||A||||B||

Pp1,l不可分 可分B空间：L0,1,l1p,c,c0,Ca,b可分 L0，Hahn-Banach泛函延拓定理

设X为线性空间，p是定义在X上的实值函数，若：

(1)pxypxpy,x,yX,则称p为次可加泛函

，则称p为正齐性泛函 (2)pxpx,0,xX，则称p为对称泛函 (3) px||px,K,xX实Hahn-Banach泛函定理: 设X是实线性空间，px是定义在X上的次可加正齐性泛函，

X0是X的线性子空间，f0是定义在X0上的实线性泛函且满足f0xpxxX0，则必存

在一个定义在X上的实线性泛函f，且满足：

1．f0xpxxX 2. fxf0xxX0

|

复Hahn-Banach泛函定理: 设X是复线性空间，px是定义在X上的次可加对称泛函，X0是X的线性子空间，f0是定义在X0上的线性泛函且满足|f0x|pxxX0，则必存在一个定义在X上的线性泛函f，且满足：

1．|f0x|pxxX 2. fxf0xxX0

定理: 设X是线性空间， 若X{}， 则在X上必存在非零线性泛函。

Hahn-Banach延拓定理: 设X是赋范线性空间， X0是X的线性子空间，f0是定义在X0上的有界线性泛函，则必存在一个定义在X上的有界线性泛函f，满足：

1．||f||||f0||X0 2. fxf0xxX0

定理：设X是赋范线性空间，M是X的线性子空间，x0X,x0,Md0,则必有

fX*，满足：

(1)fx0,xM；(2)fx0d；(3)||f||1

】

*定理：设X是赋范空间，x0X{},必fX,使fx0||x0||,||f||1 *定理：设X是赋范空间，x0X,必有||x0||sup{|f(x0)|：fX,||f||1}

凸集分离定理

极大线性子空间：一个线性空间的子空间，真包含它的线性空间是全空间

超平面：它是线性空间中某个极大线性子空间对某个向量的平移，也称极大线性流形 承托超平面：凸集E在点x0的承托超平面L是指E在L的一侧，且与L有公共点x0 Minkowski泛函：设X是线性空间，M是X的含有点的凸子集，在X上作一个 取值于[0,]的函数： pxinf{0|与M对应，称函数p为M的Minkowski泛函

xM},xX

定理：L是赋范空间X的(闭)超平面存在X上的非零(连续)线性泛函f及

—

rrR,使LHrf,其中Hf{xX|fxr}

Hahn-Banach定理的几何形式: 设X是赋范空间，E是X的具有内点的真凸子集，又设

x0XE,则必存在一个超平面分离E与x0

定理：设X是赋范空间，E和F是X的两个非空凸集，E具有内点，且EF；则

0sR及fX*{},使得超平面Hsf分离E和F

*Ascoli定理：设X是赋范空间，E是X的真闭凸子集，则x0XE,fX,R适

xE ，合fxfx0Mazur定理：设X是赋范空间，E是X的一个有内点的凸子集，F是X的一个线性流形，又设EF,则存在一个包含F的闭超平面L，使E在L的一侧

定理：设X是赋范空间，E是X的一个含有内点的闭凸集，则通过E的每个边界点都可以

作出E的一个承托超平面

0基本定理

定理：设X,Y是Banach空间，TBX,Y是满射，则0,使得TB,1O, 开映射定理：设X,Y是Banach空间，TBX,Y是满射，则T是开映射

)

1Banach逆算子定理：设X,Y是Banach空间，TBX,Y是双射，则TBX,Y

等价范数定理：设X是线性空间，||•||1和||•||2是X上的两个范数，若X关于这两个范数都成为Banach空间，而且||•||2强于||•||1，则||•||1也强于||•||2，从而||•||1和||•||2等价

T是DTX到Y的映射，闭算子：设X,Y是赋范空间，若T的图像{x,Tx|xDT}是

赋范线性空间XY中的闭集，则称T是闭映射或闭算子

闭算子判别定理：设X,Y是赋范空间，T是DTX到Y的映射，则T是闭映射

{xn}DT,若xnx0X,Txny0Y,则x0DT，且y0Tx0

T是DTX到Y的线性映射，而且是闭算子，若 闭图像定理：设X,Y是Banach空间，DT是X的闭线性子空间，则T是连续的

T是X到Y的线性算子，则T连续T是闭算子 定理：设X,Y是Banach空间，共鸣定理：设X是Banach空间，Y是赋范空间，TBX,Y,.如果xX，都有

sup||Tx||,则{||T||：}有界

~

自反空间与共轭算子

除声明外下面的X,Y都是一般的赋范线性空间

共轭空间：(LP)*Lq,(lp)*lq,，c*(c0)*l1,Ca,bV0a,b，1p,p,q共轭

*，f*xfTx，T*ff*，T*BY*,X*，||T*||||T|| 伴随算子:TBX,Y1.TBX,记T**T*,若将X看成X**的子空间,则T**是T的延拓且||T**||||T|| 2.TBX,Y，则T有有界逆T*有有界逆，且此时(T1)*T*3.映射AA*是由BX,Y到BY*,X*的保范线性算子 4.若ABX,Y,BBY,Z,则ABB*A*

**1

(L，l不自反)；X是Banach空间，X自反X自反 定理：若X可分，则X可分。 自反空间的闭线性子空间是自反空间

~

自然嵌入映射：xx是赋范空间X到X***11***的保范的有界线性算子，即：||x**||||x||

||f||sup{|fx|：xX},则 Riesz表示定理：设X是局部紧空间，fCcX时，(1) 若是CcX上的正线性泛函，则存在X上一个正则Borel测度u，使得对任fCcX都有ffdu

*(2) 若CcX，则存在X上一个广义正则Borel测度u，使ffdu

(3) 若CcX是X上具有紧支集的复连续函数空间，则对CcX上任一有界复线性泛函，

存在复正则Borel测度u，使ffdu

弱收敛和弱列紧

基本概念：弱收敛；算子列的一致收敛，强收敛，弱收敛；泛函列的*弱收敛；

弱列紧；局部弱列紧；*弱列紧；局部*弱列紧

{Tn}BX,Y强收敛于某个TBX,Y当且仅当：定理：设X,Y是Banach空间，

1.{||Tn||}有界，即有M0，使||Tn||Mn1,2,3,

：

{Tnx}收敛 2.存在X中的稠集D，使xD，{fn}X*,则{fn}*弱收敛于某个fX*当且仅当：定理：设X是Banach空间，

1.{||fn||}有界；

{fnx}收敛 2.存在X中的稠集D，使xD，定理：设X是赋范空间，则{xn}X弱收敛于某个xX当且仅当： 1.{||xn||}有界；

* 2.存在X中的稠集D，使fD，有{fxn}收敛于fx

{xn}X弱收敛于某个xX,则存在由{xn}的凸组合构成的点列使其定理：设X是赋范空间，强收敛到x，且||x||lim||xn||

n定理：可分赋范空间的共轭空间是局部*弱列紧的；自反空间是局部弱列紧的

Hilbert Space

@

基本概念：除声明外下面所涉及的空间都是Real or Complex Hilbert Space X

内积：一个(数域K上)线性空间X上的内积指的是共轭双线性泛函：XXK，它满足正定性和共轭对称性。内积空间：定义了内积的线性空间。定义了内积的复(实)线性空间称为复(实)内积空间。内积导出的范数满足平行四边形公式。内积(按内积导出的范数)是XX上的连续函数.若由内积导出的范数是完备的，这样的内积空间称为Hilbert空间

定理：设X,,是内积空间，||||是由内积,导出的范数，则||||与,满足如下关系：

1||xy||2||xy||2,x,yX 412222当X是复线性空间时，x,y||xy||||xy||i||xiy||i||xiy||,x,yX

41极化恒等式：Ax,yAxyAxyiAxiyiAxiy，AxAx,x

4当X是实线性空间时，x,y定理：为了在赋范线性空间X,||||中引入内积,，使得由,导出的范数就是||||，当且

仅当||||满足平行四边形公式：||xy||||xy||2||x||||y||2222

定理：设X,,是内积空间，M是X的非空子集，x,y,ynn1,2,X，则 1.xy||xy||||x||||y|| 2.xynn1,2,,ynyxy

2223.xMxspanM 4.MM{

,MM



5.

6.M是X的闭线性子空间，且MspanMM在X中稠M{}





定理：设X是希尔伯特空间，M是X的非空闭凸子集，则xX,唯一的yoM，使得||xy0||x,Minf{||xy||：yM}

正交分解定理：设M是希尔伯特空间X的一个闭线性子空间，xX，存在唯一的正交

分解：xx0x1,(x0M,x1M),即：XMM

定理：设X,,是希尔伯特空间，M是X的线性子空间，则： 1.MM 2. M在X中稠M{}

定理：Hilbert空间H(H{})中必存在完备标准正交系

定理：假定S{e|}是Hilbert空间H中的标准正交系，那么xH.有Parseval不等式：||x||22||c|| 定理：S{e|}是Hilbert空间H中的完备标准正交系，xH.有Fourier展开式和Parseval等式：x22ce,||x||||c||， 其中：cx,e称为x的Fourier系数。若S{},则称S完备

定理：S{e|}是Hilbert空间H中的完备标准正交系，x,yH.有：

【

x,yx,ey,e定理：标准正交系S{e|}完备Parseval等式xH成立 定理：可分Hilbert空间H中的完备标准正交系一定是可数的。

定理：无穷维可分Hilbert空间与Hilbert空间l同构；实(复)有穷维可分Hilbert空间都与Hilbert空间RCn2同构

nRiesz表示定理：设X,,是希尔伯特空间，f是X上的连续线性泛函，则必有唯一的

yX，使得：fxx,y,xX.而且||f||||y||

有界双线性泛函：x,yAx,yx,Ay，A被唯一确定

* Hermite双线性泛函：x,yy,xAA

* 命题：若C0,使双线性泛函x,xC||x||,则x,y有界,且||||C

2Hilbert Space中的算子

…

常见算子(除声明外下面所涉及的空间都是Real or Complex Hilbert Space X)

**，x,yX 0．正规算子：AAAA。酉算子：等距满射算子。自伴算子：Ax,yx,Ay ||A||||A||||AA||；A是酉算子AAAAIAx,Ayx,y,x,yX

2*2***AA*AA*A1,A21．ABX,有唯一分解AA1iA2,其中A1,A2自伴，

22i ABX,有分解AUP,(称为A的极分解),其中U为部分等距算子，P为正算子 A正规||A||||A||；A是有界线性算子,则,R,eAeA是正规算子

22ii*A正规在A的极分解AUP中,U和P可交换，且U可取为酉算子

A正规对xX,有||Ax||||A*x||在直角坐标分解AA1iA2中，A1，A2可换 A正规酉算子U,使A*UA； A2A,且A正规A自伴

2．当考虑复空间时，有结论：A自伴,即AA对xX,Ax,x是实数

*￥

设A,B是自伴投影算子，则AB自伴投影ABBA

 设{An：nN}是X上的自伴算子序列，若||AnA||0,则A是自伴算子

设A是自伴算子，则它的特征值是实数(Axx)，且不同的特征值对应的特征向量正交 设A是自伴算子，则Ker(A)Rang(A).

设A是自伴算子，则||A||sup{|Ax,x|：xX,||x||1}

3．设ABX为自伴算子，若对xX,都有Ax,x0,则A称为正算子，记作：A (当考虑复空间时,自伴算子的条件可去掉，极化恒等式)

设自伴算子T1T2,S1S2,常数c0,则T1S1T2S2,cT1cT2

n 设A是正算子，则A也是正算子，其中n是正整数；且有性质：|Ax,y|Ax,xAy,y

2 设{An}为一致有界的单调自伴算子列，则存在唯一的自伴算子A，使{An}强收敛到A

$

设A是正算子，则存在唯一的正算子S，使SA，称S为A的正平方根，记为A；A是

21212A的某一多项式序列按强算子拓扑收敛的极限，与A可换的算子必与A可换.

设A是正算子，若xX,Ax,x0,则Tx

设自伴算子A1,A2与正算子A可换，且A1A2,则AA1AA2

24．P是投影算子P是自共轭算子，PPxX,Px,x||Px||P是正算子

212，P2的投影子空间分别是是L1，L2，则： 投影算子P1P1P2是投影算子P1P2P2P1L1L2,此时P1P2的投影子空间是L1L2 P1P2是投影算子P1,P2可换；此时P1P2的投影子空间是L1L2

P1P2是投影算子L2L1P1P2P2P1P2P2P1；此时P1P2的投影子空间

是L2在L1中的正交余空间

定理:A是正规算子，则A对0,x,||Axx||||x|| A是自伴算子,则A||A||,||A||,并且||A||sup{||：A}

《

||1} A是U算子,则A{：定理：设A是Hilbert空间H上的对称紧算子，则必有x0H,||x0||1,使得：

|Ax0,x0|sup{|Ax,x|：||x||1},且Ax0x0,其中|||Ax0,x0|

定理：设A是Hilbert空间H上的对称紧算子，则有至多可数个非零的，只可能以0为聚点的实

数{i}，它们是算子A的本征值，并对应一组正交规范基{ei}(不一定可数)，使得： xx,ee,Axx,eeiiiii

线性算子的谱

，TpTcTrT 概念：正则值，点谱，连续谱，剩余谱，预解式，谱半径，T定理：设T,T1,T2BX,X是巴拿赫空间，则 1.T开，T非空,TT

* 2.RTRTRTRT； RT1RT2T1T2RT1RT2

[

dnnn1RT1RT 3.RT连续可导，且 nd 4.||||T||T,且IT1n1n1n0Tnn1

5.rTlim||T||inf||T||max{||:T}

nnnn紧算子

除声明外下面的X,Y都是一般的赋范线性空间

PBX,Y是紧算子：P将X中的有界集映成Y中的列紧集 PBX,Y是紧算子，则P是连续的，且P的值域可分

PBX,Y是紧算子，则P将X中的弱收敛点列映成Y中的收敛点列 PBX,Y是紧算子，则P*BY*,X*也是紧算子

若PBX,Y,SBY,Z中有一个是是紧算子，则SP是紧算子

?

PBX,Y是紧算子，X,Y中至少有一个是无穷维的，则P没有有界逆算子PnBX,Y是紧算子，Y是巴拿赫空间，||PnP||0，则P是紧算子

X是具有可数基的巴拿赫空间，则PBX是紧算子存在有限秩算子PnBX使||PnP||0Fredholm结论：ABX是紧算子，令TIA，则T是闭值域算子，且：

1.NT{}RTX,即：单满 2.TT,dimNTdimNT*,codimRTdimNT

*3.RTNT*,RTNT

*紧算子的谱：ABX是紧算子，则：

1.dimX0A；2.A\\{0}pA\\{0}；3.pA至多以0为聚点； 4.若dimX2,则A必有非平凡的闭不变子空间

Fredholm算子

—

定义：设X,Y是Banach空间，TBX,Y称为一个Fredholm算子，是指

1，RT是闭的2，dimNT3，codimRT

定义：设X,Y是Banach空间，TBX,Y是一个Fredholm算子，令

indTdimNTcodimRT，并称其为T的指标

，以及紧算子A1BX和紧定理：若TBX,Y是Fredholm算子，则必有SBY,X算子A2BY,使得STIXA1,TSIYA2，IX和IY分别表示X，Y上的恒同算子

定理：TBX,Y，又有R1,R2BY,X，以及紧算子A1BX和紧算子A2BY，使得R1TIXA1,TR2IYA2,则T是Fredholm算子

上面两个定理中X,Y是Banach空间

定理：设X,Y,Z是Banach空间，T1BX,Y,T2BY,Z是Fredholm算子，则有：

T2T1BX,Z是Fredholm算子，且：indT2T1indT1indT2

，定理：若TBX,Y是Fredholm算子，则必有0,使得当SBX,Y且||S||时，

有TSBX,Y是Fredholm算子，而且indTSindT

参考书目：

泛函分析讲义(上册) 张恭庆，林源渠

实变函数与泛函分析概要(下册) 郑维行，王声望 实变函数与泛函分析(下册) 薛昌兴 巴拿赫空间引论 定光桂