高
等 代
数
试
卷
一、判断题（以下命题你认为正确的在题后括号内打“√”
共 10分）
，错的打“×”；每题
1 分，
1、 p( x) 若是数域 F 上的不可以约多项式，那么 p( x) 在 F 中必然没有根。 （
）
2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法规知，这个线性方程组必然是无解的。（ ）
3、实二次型 f (x1 , x2 , , xn ) 正定的充要条件是它的符号差为 4、 W
x1 , x2 , x3 xi
R, i 1,2,3; x1
x2
n 。 （ ）
）
x3 是线性空间 R3 的一个子空间。（
5、数域 F 上的每一个线性空间都有基和维数。 （ ）
6、两个 n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转变的充要条件是它们有相同的正惯性指 数和负惯性指数。 （ ） 7、零变换和单位变换都是数乘变换。 （ ） 8、线性变换
的属于特色根
0 的特色向量只有有限个。
（ ）
9、欧氏空间 V 上的线性变换 称矩阵。
是对称变换的充要条件为
关于标准正交基的矩阵为实对
（ ）
n
10、若
1 2
,,
, n 是欧氏空间 V 的标准正交基，且
i 1
x
n
i i
，那么
i 1
xi2 。
（ ）
二、单项选择题（从以下各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干
1 分，共 10 分） 后边的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每题
1、关于多项式的最大公因式的以下命题中，错误的选项是（ ） ① f n x , g n x ② f1 , f 2 , ③ f x , g x ④若 f x , g x
, f n
1
f x , g x n ；
f i , f j g x , g x f x
1, i
j ,i , j 1,2,
, n ；
f x 1
；
g x , f x
g x
1 。
2、设 D 是一个 n 阶行列式，那么（ ）
② D 中两行互换，则行列式不变符号； ①行列式与它的转置行列式相等；
③若 D 0 ，则 D 中必有一行全部是零； ④若 D 0 ，则 D 中必有两行成比率。 3、设矩阵 A 的秩为 > ，那么（ ）
r (r 1)
① A 中每个 s(s < r ) 阶子式都为零； 可能存在不为零的 r 1阶子式； 4、设 f x1, x2 ,
② A 中每个 r 阶子式都不为零；
④ A 中必然有不为零的 r 阶子式。
③ A 中
, xn 为 n 元实二次型，则 f x1 , x2 , , xn 负定的充要条件为（ ）
1 / 5
高等代数习题及答案
①负惯性指数 = f 的秩； ②正惯性指数 =0； ③符号差 = n ； ④ f 的秩 =n 。
5、设
1
,,
2
,
m
是线性空间 V 的一个向量组，它是线性没关的充要条件为（
）
m
m
i
①任一组不全为零的数 k1 ,k 2 , , km ，都有
i 1
ki
0 ；
i
②任一组数 k1 , k2 , , km ，有
i 1
ki
0 ；
m
③当 k1
k2
km 0时，有
ki
i
0 ；
i 1
m
④任一组不全为零的数 k1 ,k 2 , , km ，都有
ki
i
0 。
i 1
6、若 W1 ,W2 都是 n 维线性空间 V 的子空间，那么（ ）
①维 W1 +维 W1 W2 =维 W2 +维 W1 W2 ； ②维W1
W2 =维 W1③维 W1 +维 W1 W2 =维 W2 +维 W1 W2 ；
④维 W1 -维 W1
W2 =维 W1
W2-维W2 。
7、设 是 n 维线性空间 V 的线性变换，那么以下错误的说法是（
）① 是单射 的亏 =0； ② 是满射 的秩 = n ； ③
是可逆的
核
= 0 ；
④
是双射
是单位变换。
8、同一个线性变换在不相同基下的矩阵是（ ）
①合同的； ②相似的； ③相等的；
④正交的。 9、设 V 是 n 维欧氏空间 ，那么 V 中的元素拥有以下性质（ ） ①若 ,
,
；
②若
；
③若
,
1
1；
④若
,
>0
。
10、欧氏空间 R3 中的标准正交基是（ ）
①1
1 ,0, 1 ; 1 ,0,
1 ; 0,1,0 ；
②
,1
,0 ;
1 , 1 ; 0,0,1 ；
2 2 2 2
2 2
2 2 ③11
1
, , 1 ; 1 , 1 , ; 0,0,0 ； ④ 1, 1,1 ;
1,1,1 ; 1,1,
1
3 3 3 3
3 3
三、填空题（将正确的内容填在各题干预备的横线上，内容填错或未填者，该空无分。
每空 2 分，共 20 分）
2 / 5
+维 W2 ；
高等代数习题及答案
( )
4 2
2
1、多项式 f x
x
x
在实数域 R 上的标准分解为
。
0 a c 0 0 0 0 0
0 0 0 f
2、利用行列式的性质可知四阶行列式
d
e g
b
的值为
。
3、若一个非齐次线性方程组无解且它的系数矩阵的秩为 秩等于 。 4、在线性空间 V 中，定义
3，那么该方程组的增广矩阵的
0 （其中 0 是 V 中一个固定向量），
那么当 0 时， 是 V 的一个线性变换。 5、实对称矩阵的属于不相同特色根的特色向量是互相 的。。 6、 n 阶实对称矩阵的会集按合同分类，可分为 类。
7、若基Ⅰ到Ⅱ的过渡矩阵为 P ，而向量 关于基Ⅰ和Ⅱ的坐标分别为 X 和 Y ，那么着两 个坐标的关系是 。 8、设 W 是线性空间 V 的非空子集，若 W 对 V 的加法和数乘 ，则称W为V 的子 空间。 9、若线性变换 关于基
1 , 2 的矩阵 为
ab
，那么 关于 基 3 2 , 1 的矩阵
c d
为 。 10、两个欧氏空间同构的充要条件是它们有 。
四、改错题（请在以下命题中你认为错误的地方划线，并将正确的内容写在预备的横线
1 分，更正错误 2 分。每题 3 分，共 15 分） 上面。指出错误
1、若是 p(x) 是 f ( x) 的导数 f ' ( x) 的 k 1重因式，那么 p( x) 就是 f ( x) 的 k 重因式。
2、若线性方程组 AX B 相应的齐次线性方程组 AX 0 有无量多解，那么 AX B 也有无量多解。
3、设 A 是一个 m n 矩阵，若用 m 阶初等矩阵 E 3 5 ,4 右乘 A ，则相当对 A 推行了一次
“ A 的第三列乘 5 加到第四列”的初等变换。
4、若 1, 2都是数域F 上的方阵 A的属于特色根 0的特色向量，那么任取
k1 ,k 2 F , k1
1 k2 2 也是 A 的属于 0 的特色向量。
5、设 是欧氏空间 V 的线性变换，那么 是正交变换的充分必要条件是
非零向量的夹角。 五、计算题（每题 10 分，共 40 分） 1、计算 n 阶行列式
2、用相应的齐次线性方程组的基础解系表示以下线性方程组的全部解
能保持任二个
3 / 5
高等代数习题及答案
1 3 2
2 2 1
3 4 X 0
1 10 10
3 0 2 7 7 8
3、解矩阵方程
4 、 设
1
1
0
2
0 , 2 0 1 1
0 1 , 0 0
3
3
0
1 0 , 0
4
4
0 0 是 M 2 0 1
F 的一个基，而
1
2 3 ,
5 2 2 , 1 1 2 , 1 2
1 2 4
3 是另一组基，求由 1 , 2 , 2
34
,到
1
,
2 3
,,
4
5 9
的过渡矩阵，并求向量
2 在
1 2 3
,,,
4 下的坐标。
六、证明题
设 1 , 2 , 3 是三维欧氏空间 V 的一个标准正交基，试证：
也是 V 的一个标准正交基。
高等代数试卷参照解答
一、判断题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
× ×√√×√√×√√
二、单项选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
④ ③ ①④④②③① ② ①
三、填空题
1、 、 ； 、 ； 、 ； 1 1 2 2 ；
3 4 4 0 x x x 2 acef
5、正交；
6 、
n
1 n 2 ； 7 、 Y
2
P1X； 8
、封闭；
c
9、 3
a
d 3 ； 10 、相同的维数。 b
四、改错题
1、若是 p(x) 是 f ( x) 的导数 f ' ( x) 的 k
1重因式，那么 p( x) 就是 f ( x) 的 k 重因式。
p(x) 是 f ( x) 的因式且是 f ' ( x) 的 k 1重因式
2、若线性方程组 AX B 相应的齐次线性方程组 AX 无量多解。 当 AX=B有解时， AX=B也有无量多解 3、设 A 是一个 m
0 有无量多解，那么 AX
B 也有
n 矩阵，若用 m 阶初等矩阵 E 3 5 ,4 右乘 A ，则相当对 A 推行了一次
“ A 的第三列乘 5 加到第四列”的初等变换。
A的第 4列乘 5加到第 3列
4 / 5
高等代数习题及答案
4、若 1,
k1 ,k2 F ,
2都是数域F 上的方阵 A的属于特色根 0的特色向量，那么任取
的属于
0 的特色向量。
k
1 1
k2
2 也是 A
当时 k1 1 2 2 0 时， k1 1 k2 2 是 A 的属于 0 的特色向量
5、设 是欧氏空间 V 的线性变换，那么 是正交变换的充分必要条件是 非零向量的夹角。
必要条件
k
能保持任二个
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