试题数：21，总分：150
1.（单选题，4分）已知 𝑓(𝑥)=√𝑥 ，则f'（x）=（ ） A. √𝑥 B. 𝑥 C. 𝑥 √11
D. 2𝑥 √12.（单选题，4分） (𝑥+A.1 B.6 C.15 D.20
16
) 的展开式中常数项为（ 𝑥
）
3.（单选题，4分）从5件不同的礼物中选出3件分别送给3位同学，不同方法的种数是（ ） A. 𝐴35
3
B. 𝐶5
C.35 D.53
4.（单选题，4分）随机变量X的分布列如表所示： X 1 P 0.1 则P（X≤2）=（ ） A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4
5.（单选题，4分）已知随机变量X～N（1，σ2），P（X≤2）=0.84，则P（X≤0）=（ ） A.0.16 B.0.42 C.0.5
2 m 3 0.3 4 2m D.0.84
6.（单选题，4分）以下4幅散点图所对应的样本相关系数最大的是（ ）
A.r1 B.r2 C.r3 D.r4
7.（单选题，4分）甲和乙两个箱子中各装有10个大小相同的球，其中甲箱中有6个红球、4个白球，乙箱中有8个红球、2个白球．现掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，则从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，则从乙箱子中随机摸出1个球，那么摸出红球的概率为（ ） A. 30 B. 15 C. 15 D. 10 8.（单选题，4分）若0＜x1＜x2＜1，则下列不等式正确的是（ ） A.x1lnx1＜x2lnx2 B.x1lnx1＞x2lnx2 C.x2lnx1＜x1lnx2 D.x2lnx1＞x1lnx2
77117
3𝑥−𝑥3，𝑥＞0
9.（单选题，4分）若函数 𝑓(𝑥)={ 在区间（a-1，3-2a）上有最大值，则实数
2
2𝑥，𝑥≤0a的取值范围是（ ） A.（-∞，1） B.[0，1） C.（-∞，2） D.（0，1）
10.（单选题，4分）在下列函数 ① f（x）=x2+1； ② f（x）=lnx； ③ f（x）=sinx； ④ f（x）=-x2中，满足在定义域内f'（x0）（x-x0）+f（x0）≥f（x）恒成立的函数个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4
11.（填空题，5分）已知f（x）=xex，f'（x0）=0，则x0=___ ．
12.（填空题，5分）甲经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口都遇到红灯的概率为0.3，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为 ___ ． 13.（填空题，5分）随机变量ξ的分布列如表所示，则D（ξ）=___ ．
1 1p 314.（填空题，5分）杨辉三角如图所示，在我国南宁数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，就已经出现了这个表，它揭示了（a+b）n（n∈N）展开式的项数及各项系数的有关规律．图中第7行从左到右第4个数是 ___ ；第n行的所有数的和为 ___ ．
ξ P 15.（填空题，5分）已知函数 ① f（x）至多有三个零点；
f（x）=ex-ax2，a∈R，现有下列结论：
② ∃a∈[2，+∞），使得∀x∈（0，+∞），f（x）＞0； ③ 当 𝑎∈[0，] 时，f（x）在R上单调递增．
2其中正确的结论序号是 ___ ．
𝑒
16.（问答题，14分）甲、乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5，甲、乙之间互不影响． （1）求甲、乙都命中目标的概率； （2）求目标至少被命中1次的概率；
（3）已知目标至少被命中1次，求甲命中目标的概率．
17.（问答题，14分）某学校学生会有10名志愿者，其中高一2人，高二3人，高三5人，现从这10人中任意选取3人参加一个冬奥会志愿活动． （1）求选取的3个人来自同一年级的概率；
（2）设X表示选取的志愿者是高二学生的人数，求X的分布列和期望．
18.（问答题，14分）已知函数f（x）=x3+x2-x．
（1）若曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线斜率为 −3 ，求x0的值； （2）求f（x）在区间[-1，1]上的最大值与最小值．
19.（问答题，14分）某商场举行有奖促销活动，顾客消费每满400元，均可抽奖一次．抽奖箱里有3个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同．抽奖方案由如下两种，顾客自行选择其中的一种．
方案一：从抽奖箱中，有放回地每次摸取1个球，连摸2次，每摸到1次红球，获现金100元．
方案二：从抽奖箱中，一次性摸出2个球，若摸出2个红球，则获现金200元；若摸出1个红球，则获现金100元；若没摸出红球，则不获得钱．
（1）若顾客消费满400元，且选择抽奖方案一，求他所获奖金X的分布列和期望； （2）若顾客消费满800元，且选择抽奖方案二，求他恰好获得200元奖金的概率； （3）写出抽奖一次两种方案所获奖金期望的大小关系．（直接写出结果）
4
1+𝑙𝑛𝑥
20.（问答题，14分）已知函数 𝑓(𝑥)= ．
𝑥
（1）求f（x）的极值；
（2）若关于x的方程f（x）=ax无实数解，求实数a的取值范围；
（3）写出经过原点且与曲线y=f（x）相切的直线有几条？（直接写出结果）
21.（问答题，15分）已知函数f（x）=lnx． （1）求证：当x＞1时， 𝑓(𝑥)＞1−1
𝑥 ；
（2）设斜率为k的直线与曲线y=lnx交于两点A（x1，y1），B（x2，y2）（1𝑥2＜𝑘＜1𝑥1
．
x1＜x2），证明：
2020-2021学年北京市大兴区高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
试题数：21，总分：150
1.（单选题，4分）已知 𝑓(𝑥)=√𝑥 ，则f'（x）=（ ） A. √𝑥 B. C. D. 2𝑥 √11√𝑥1𝑥
【正确答案】：D
【解析】：根据幂函数的求导公式求导即可．
【解答】：解：∵ 𝑓(𝑥)=√𝑥 ， ∴ 𝑓′(𝑥)=2𝑥 ．
√1故选：D．
【点评】：本题考查了幂函数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题． 2.（单选题，4分） (𝑥+A.1 B.6 C.15 D.20
【正确答案】：D
【解析】：由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中常数项．
【解答】：解：∵ (𝑥+
16𝑟) 的展开式的通项公式为 Tr+1= 𝐶6 •x6-2r， 𝑥
16
) 的展开式中常数项为（ 𝑥
）
3
令6-2r=0，求得r=3，可得展开式中常数项为 𝐶6 =20，
故选：D．
【点评】：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题． 3.（单选题，4分）从5件不同的礼物中选出3件分别送给3位同学，不同方法的种数是（ ） A. 𝐴35
3B. 𝐶5
C.35 D.53
【正确答案】：A
【解析】：根据题意，该问题为排列问题，由排列数公式计算可得答案．
【解答】：解：根据题意，从5件不同的礼物中选出3件分别送给3位同学，是排列问题， 有A53种不同方法， 故选：A．
【点评】：本题考查排列数公式的应用，注意排列、组合的定义，属于基础题． 4.（单选题，4分）随机变量X的分布列如表所示： X 1 P 0.1 则P（X≤2）=（ ） A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4
【正确答案】：C
【解析】：利用分布列的性质求出m的值，然后由概率的分布列求解概率即可．
【解答】：解：由分布列的性质可得，0.1+m+0.3+2m=1，可得m=0.2， 所以P（X≤2）=P（X=1）+P（X=2）=0.1+0.2=0.3． 故选：C．
【点评】：本题考查了概率分布列性质的应用以及分布列求解概率的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
5.（单选题，4分）已知随机变量X～N（1，σ2），P（X≤2）=0.84，则P（X≤0）=（ ） A.0.16
2 m 3 0.3 4 2m B.0.42 C.0.5 D.0.84
【正确答案】：A
【解析】：利用正态分布的对称性以及参数μ的含义进行分析求解即可．
【解答】：解：因为随机变量X～N（1，σ2），则μ=1， 又P（X≤2）=0.84，
所以P（X≤0）=P（X≥2）=1-P（X≤2）=1-0.84=0.16． 故选：A．
【点评】：本题考查了正态分布曲线的应用，解题的关键是掌握正态分布曲线的对称性，对正态分布N（μ，σ2）中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，考查了运算能力，属于基础题．
6.（单选题，4分）以下4幅散点图所对应的样本相关系数最大的是（ ）
A.r1 B.r2 C.r3 D.r4
【正确答案】：A
【解析】：先由散点图判断是正相关还是负相关，然后再观察散点哪个更集中，即可得到答案．
【解答】：解：由题中给出的4幅散点图可以看出， 图2和图4是负相关，相关系数小于0，
图1和图3是正相关，相关系数大于0，其中图1的点相对更集中，所以相关性更强， 故样本相关系数最大的是r1． 故选：A．
【点评】：本题考查了由散点图判断两变量的相关性，相关系数的比较，散点越集中，说明相关系数越接近于1或-1，考查了识图能力与推理能力，属于基础题．
7.（单选题，4分）甲和乙两个箱子中各装有10个大小相同的球，其中甲箱中有6个红球、4个白球，乙箱中有8个红球、2个白球．现掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为1或2，则从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为3，4，5，6，则从乙箱子中随机摸出1个球，那么摸出红球的概率为（ ） A. 30 B. 15 C. 15 D. 【正确答案】：B
【解析】：摸出红球有两种情况，第一种：从甲箱中摸出红球，第二种：从乙箱中摸出红球，两种情况概率相加即可求解．
【解答】：解：由题可知，摸出红球有两种情况， 第一种：从甲箱中摸出红球，概率为 10×6 = 5 ， 第二种：从乙箱中摸出红球，概率为 10×6 = 15 ， 所以摸出红球的概率为 + = ， 故选：B．
【点评】：本题考查古典概型的概率求解，考查分类讨论和运算能力，属于基础题． 8.（单选题，4分）若0＜x1＜x2＜1，则下列不等式正确的是（ ） A.x1lnx1＜x2lnx2 B.x1lnx1＞x2lnx2 C.x2lnx1＜x1lnx2
15
815
1115
8
4
8
6
2
1
7107117
D.x2lnx1＞x1lnx2 【正确答案】：C
【解析】：构造函数f（x）=xlnx，利用导数进行研究单调性，即可判断选项A，B，构造函数 𝑔(𝑥)=
【解答】：解：令f（x）=xlnx，则f'（x）=1+lnx， 当0＜x＜1时，f'（x）的正负不能确定， 故x1lnx1与x2lnx2的大小不能确定， 故选项A，B错误； 令 𝑔(𝑥)=
𝑙𝑛𝑥
，则𝑥
𝑙𝑛𝑥
，利用导数研究其单调性，即可判断选项𝑥
C，D．
g'（x）=
1−𝑙𝑛𝑥
， 𝑥2当0＜x＜1时，g'（x）＞0，则g（x）在（0，1）上单调递增， 因为0＜x1＜x2＜1， 所以g（x1）＜g（x2），即
𝑙𝑛𝑥1𝑙𝑛𝑥2
＜ ，即𝑥1𝑥2
x2lnx1＜x1lnx2，
故选项C正确，选项D错误． 故选：C．
【点评】：本题考查了函数值大小的比较，利用导数研究函数单调性的应用，解题的关键是构造函数，考查了逻辑推理能力，属于中档题．
3𝑥−𝑥3，𝑥＞0
9.（单选题，4分）若函数 𝑓(𝑥)={ 在区间（a-1，3-2a）上有最大值，则实数
2
2𝑥，𝑥≤0a的取值范围是（ ） A.（-∞，1） B.[0，1） C.（-∞，2） D.（0，1） 【正确答案】：B
【解析】：先根据单调性画出函数f（x）的大致图象，再数形结合建立不等式，解不等式可得答案．
【解答】：解：令g（x）=3x-x3，x＞0，则g′（x）=3-3x2=3（1-x2）， 令g′（x）＞0，解得0＜x＜1；令g′（x）＜0，解得x＞1， 所以g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
又f（1）=2=f（-1），作出函数f（x）的大致图象，
结合图象，由题意可得-1⩽a-1＜1＜3-2a，解得0⩽a＜1， 所以实数a的取值范围是[0，1）． 故选：B．
【点评】：本题考查函数的最值，考查导数的应用，考查数形结合的数学思想，考查直观想象的核心素养，属于中档题．
10.（单选题，4分）在下列函数 ① f（x）=x2+1； ② f（x）=lnx； ③ f（x）=sinx； ④ f（x）=-x2中，满足在定义域内f'（x0）（x-x0）+f（x0）≥f（x）恒成立的函数个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4
【正确答案】：B
【解析】：分别求得给出的函数的导数，结合因式分解和导数的运用，求得最值，可判断结论．
【解答】：解：对于 ① f（x）=x2+1，f′（x）=2x，
f'（x0）（x-x0）+f（x0）-f（x）=2x0（x-x0）+x02+1-（x2+1） =2x0（x-x0）+（x0-x）（x0+x）=-（x-x0）2≤0， 即f'（x0）（x-x0）+f（x0）≤f（x），故 ① 不满足题意； 对于 ② f（x）=lnx，导数为f′（x）= （x＞0），
设F（x）=f'（x0）（x-x0）+f（x0）-f（x）= 𝑥 （x-x0）+lnx0-lnx，
0
1𝑥
1
F′（x）= 𝑥 - 𝑥 = 𝑥𝑥0 ，当x＞x0时，F′（x）＞0，F（x）递增；
0
0
11𝑥−𝑥
当0＜x＜x0时，F′（x）＜0，F（x）递减． 所以F（x）在x=x0处取得最小值0，即F（x）≥0， 故 ② 符合题意；
对于 ③ f（x）=sinx，导数为f′（x）=cosx，
设F（x）=f'（x0）（x-x0）+f（x0）-f（x）=cosx0（x-x0）+sinx0-sinx， F′（x）=cosx0-cosx，由F′（x）=0，可得x有无数个解，故 ③ 不符合题意； 对于 ④ f（x）=-x2，导数为f′（x）=-2x，
f'（x0）（x-x0）+f（x0）-f（x）=-2x0（x-x0）-x02-（-x2） =-2x0（x-x0）-（x0-x）（x0+x）=（x-x0）2≥0， 即f'（x0）（x-x0）+f（x0）≥f（x），故 ④ 满足题意． 故选：B．
【点评】：本题考查函数恒成立问题解法，以及导数的运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
11.（填空题，5分）已知f（x）=xex，f'（x0）=0，则x0=___ ． 【正确答案】：[1]-1
【解析】：根据导数的运算法则求导，再代值计算即可
【解答】：解：∵f（x）=xex， ∴f′（x）=（1+x）ex， ∴f'（x0）=（1+x0）ex0=0 ∴x0=-1， 故答案为：-1
【点评】：本题考查了导数的运算法则和导数值的求法，属于基础题．
12.（填空题，5分）甲经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口都遇到红灯的概率为0.3，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为 ___ ． 【正确答案】：[1]0.6
【解析】：利用条件概率的概率公式求解即可．
【解答】：解：设第一个路口遇到红灯为事件A，第二个路口遇到红灯为事件B， 则P（A）=0.5，P（AB）=0.3，
所以P（B|A）= 𝑃(𝐴)=0.5 =0.6，
则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为0.6． 故答案为：0.6．
【点评】：本题考查了条件概率的求解，解题的关键是掌握条件概率的概率公式，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
13.（填空题，5分）随机变量ξ的分布列如表所示，则D（ξ）=___ ．
ξ P 【正确答案】：[1] 【解析】：先利用分布列的性质求出p，然后由数学期望和方差的计算公式求解即可．
【解答】：解：由题意可得， 3+𝑝=1 ，则 𝑝=3 ， 所以E（ξ）=0× 3 +1× 3 = 3 ，
D（ξ）= 3 ×（0- 3 ）2+ 3 ×（1- 3 ）2= 3×9+3×9=27 = 9 ． 故答案为： ．
【点评】：本题考查了分布列的性质，数学期望和方差的求解，解题的关键是掌握数学期望和方差的计算公式，考查了运算能力，属于基础题．
14.（填空题，5分）杨辉三角如图所示，在我国南宁数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，就已经出现了这个表，它揭示了（a+b）n（n∈N）展开式的项数及各项系数的有关规律．图中第7行从左到右第4个数是 ___ ；第n行的所有数的和为 ___ ．
291
2
2
2
1
4
2
1
6
2
1
2
2
1
2
29
𝑃(𝐴𝐵)0.3
1 31 p 【正确答案】：[1]35; [2]2n
【解析】：根据题意，分析图中杨辉三角的各行数字之间的规律、关系，据此分析可得答案．
【解答】：解：根据题意， 在图中，第0行有1个数，为1，
01
第1行有2个数，依次为 𝐶1 、 𝐶1 ， 012第2行有3个数，依次为 𝐶2 、 𝐶2 、 𝐶2 ，
……
0173则第7行有8个数，依次为 𝐶7 、 𝐶7 、…… 𝐶7 ，故第7行从左到右第4个数是 𝐶7 =35， 012𝑛012𝑛第n行有n+1个数，依次为 𝐶𝑛 、 𝐶𝑛 、 𝐶𝑛 、……、 𝐶𝑛 ，其和为 𝐶𝑛 + 𝐶𝑛 + 𝐶𝑛 +……+ 𝐶𝑛 =2n，
故答案为：35，2n．
【点评】：本题考查归纳推理的应用，涉及杨辉三角的相关知识，属于基础题． 15.（填空题，5分）已知函数f（x）=ex-ax2，a∈R，现有下列结论： ① f（x）至多有三个零点；
② ∃a∈[2，+∞），使得∀x∈（0，+∞），f（x）＞0； ③ 当 𝑎∈[0，2] 时，f（x）在R上单调递增． 其中正确的结论序号是 ___ ． 【正确答案】：[1] ① ③
【解析】： ① 0不是方程f（x）=0的解，所以方程f（x）=0的解的个数等价于方程 𝑎=的解的个数，结合导数知识作出函数数 𝑔(𝑥)=
𝑒𝑥
𝑒𝑥
的大致图象，方程 𝑎𝑥2𝑒𝑥
𝑥2𝑒
=
𝑒𝑥
的解的个数即直线𝑥2y=a与 𝑔(𝑥)=𝑥2 图象交点的个数，再数形结合可判断 ① ；
② ∀x∈（0，+∞），f（x）＞0，等价于 ∀𝑥∈(0，+∞)，𝑎＜𝑥2 ，结合 ① 求g（x）的最值即可判断 ② ；
③ 当 𝑎∈[0，] 时，判断f′（x）≥0在R上是否恒成立可判断 ③ ．
2
【解答】：解： ① 函数f（x）的零点个数，即方程f（x）=0的解的个数， 因为当x=0时，f（x）=1≠0，所以0不是方程f（x）=0的解， 所以方程f（x）=0的解的个数等价于方程 𝑎=令 𝑔(𝑥)=
𝑒𝑥
，𝑥𝑥2𝑒𝑥
的解的个数， 𝑥2𝑒
𝑒𝑥
≠0 ，则 𝑔′(𝑥)=
𝑒𝑥
(𝑥24𝑥
−2𝑥) ，
当x＜0或x＞2时，g′（x）＞0，所以g（x）在（-∞，0）和（2，+∞）上单调递增， 当0＜x＜2时，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，2）上单调递减，
当x→0-时，g（x）→+∞，当x→0+时，g（x）→+∞，当x→+∞时，g（x）→+∞，
又 𝑔(2)=
𝑒2
，作出函数 𝑔(𝑥)4
=𝑥2 的大致图象，
𝑒𝑥
因为方程 𝑎=
𝑒𝑥
的解的个数等价于直线𝑥2
𝑒𝑥
y=a与 𝑔(𝑥)=
𝑒𝑥
图象交点的个数， 𝑥2
所以数形结合直线y=a与 𝑔(𝑥)=𝑥2 图象最多3个交点， 故函数f（x）至多有3个零点． ① 正确．
② ∀x∈（0，+∞），f（x）＞0，等价于 ∀𝑥∈(0，+∞)，𝑎＜𝑥2 ， 由 ① 的分析可知，当x＞0由 𝑒＜2.8＜2√2⇒𝑒＜8⇒
2
𝑒𝑥
时， (2)𝑥𝑚𝑖𝑛𝑒2
＜2 ， 4
𝑒𝑥
=
𝑒2𝑒2
，所以 𝑎＜ ， 44
所以不存在a∈[2，+∞），使得∀x∈（0，+∞），f（x）＞0， ② 错误． ③ f′（x）=ex-2ax，
当a=0时，f′（x）=ex＞0在R上恒成立，所以f（x）在R上单调递增；
当 0＜𝑎⩽2 时，令h（x）=ex-2ax，h′（x）=ex-2a，令h′（x）=0，解得x=ln2a， 当x＜ln2a时，h′（x）＜0，h（x）在（-∞，ln2a）上单调递减； 当x＞ln2a时，h′（x）＞0，h（x）在（ln2a，+∞）上单调递增， 所以h（x）min=h（ln2a）=2a-2aln2a=2a（1-ln2a）≥0，
所以f′（x）≥0在R上恒成立，所以f（x）在R上单调递增．故 ③ 正确． 故答案为： ① ③ ．
【点评】：本题考查函数的零点、方程的解和函数图象与x轴交点三者之间的关系，考查导数的应用，利用导数研究函数单调性和最值，考查数形结合的数学思想，属于中档题．
𝑒
16.（问答题，14分）甲、乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5，甲、乙之间互不影响． （1）求甲、乙都命中目标的概率； （2）求目标至少被命中1次的概率；
（3）已知目标至少被命中1次，求甲命中目标的概率．
【正确答案】：
【解析】：（1）利用相互独立事件的概率乘法公式即可求解．
（2）目标至少被命中1次包含3种情况，再利用相互独立事件的概率乘法公式即可求解． （3）利用条件概率公式即可求解．
【解答】：解：（1）设甲、乙都命中目标为事件A， 则p（A）=0.6×0.5=0.3．
（2）设目标至少被命中1次为事件B，
则p（B）=0.6×（1-0.5）+（1-0.6）×0.5+0.6×0.5=0.8． （3）设甲命中目标为事件C，
∵p（BC）=0.6×（1-0.5）+0.6×0.5=0.6， ∴p（C|B）= 𝑝(𝐵) = 0.8 = 4 ．
【点评】：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，条件概率公式，属于中档题． 17.（问答题，14分）某学校学生会有10名志愿者，其中高一2人，高二3人，高三5人，现从这10人中任意选取3人参加一个冬奥会志愿活动． （1）求选取的3个人来自同一年级的概率；
（2）设X表示选取的志愿者是高二学生的人数，求X的分布列和期望．
【正确答案】：
𝑝(𝐵𝐶)
0.6
3
【解析】：（1）利用古典概型的概率公式求解即可；
（2）先求出随机变量X的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可．
【解答】：解：（1）由题意可知，选取的3
33
𝐶3+𝐶511
个人来自同一年级的概率为 𝐶3 = 120 ；
10
（2）由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3， 则
03𝐶3𝐶35
P（X=0）= 𝐶37 = 120 ；
10
1𝐶2𝐶3637
= ； 3𝐶101202𝐶1𝐶3217
= ； 3𝐶10120
P（X=1）= P（X=2）=
3𝐶0𝐶31
P（X=3）= 𝐶37 = 120 ；
10
所以X的分布列为：
35 120356321故E（X）=0× +1× +2× +3×
120
120
120
X P 1120
1 63 1209 = ．
10
2 21 1203 1 120
【点评】：本题考查了古典概型的概率公式的运用，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题． 18.（问答题，14分）已知函数f（x）=x3+x2-x．
（1）若曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线斜率为 −3 ，求x0的值； （2）求f（x）在区间[-1，1]上的最大值与最小值．
【正确答案】：
【解析】：（1）根据导数的几何意义可求解；
（2）先求函数的单调性，进而求出极值，比较极值和端点值最大的为最大值，最小的为最小值．
4
【解答】：解：（1）函数f（x）的定义域为R， 求导得f′（x）=3x2+2x-1，
因为曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线斜率为 − ， 所以 𝑓′(𝑥0)=−3 ，
2
即 3𝑥0+2𝑥0−1=−3 ，
4
4
4
3
解得 𝑥0=− ．
（2）令f′（x）=0，即3x2+2x-1=0， 解得x=-1，或 𝑥=3 ， 因为x∈[-1，2]，
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如表所示： 1 3 f′（x） 51 f（x） 单调递减 − 275所以f（x）在区间[-1，1]上的最大值是 1，最小值是 − ．
x -1 27
1
13
1(−1，) 3- 1(，1) 3+ 单调递增 1 1
【点评】：本题考查导数的几何意义，考查导数在求函数最值中的应用，考查数学运算和数学抽象的核心素养，属于基础题．
19.（问答题，14分）某商场举行有奖促销活动，顾客消费每满400元，均可抽奖一次．抽奖箱里有3个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同．抽奖方案由如下两种，顾客自行选择其中的一种．
方案一：从抽奖箱中，有放回地每次摸取1个球，连摸2次，每摸到1次红球，获现金100元．
方案二：从抽奖箱中，一次性摸出2个球，若摸出2个红球，则获现金200元；若摸出1个红球，则获现金100元；若没摸出红球，则不获得钱．
（1）若顾客消费满400元，且选择抽奖方案一，求他所获奖金X的分布列和期望； （2）若顾客消费满800元，且选择抽奖方案二，求他恰好获得200元奖金的概率； （3）写出抽奖一次两种方案所获奖金期望的大小关系．（直接写出结果）
【正确答案】：
【解析】：（1）先求出随机变量X的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可；
（2）利用分类计数原理以及古典概型的概率公式求解即可； （3）分别求出两种方案获得奖金的数学期望，比较即可得到答案．
【解答】：解：（1）顾客消费满400元，获得一次抽奖机会， 由方案一的规则，每次摸到红球的概率是 2 ， 所以X的可能取值为0，100，200， 则
2101
P（X=0）= 𝐶2(2) = 4 ，
1
2111
P（X=100）= 𝐶2(2) = 2 ， 2
P（X=200）= 𝐶2(2) = 4 ，
12
1
故X的分布列为：
1 4111所以E（X）=0× 4 +100× 2 +200× 4 =100；
（2）因为顾客消费满800元，所以他可以抽奖2次，
他恰好获得200元奖励有两种可能：一次200元，一次0元或者两次各得100元， 所以他恰好获得200元奖金的概率为 2×
2𝐶32𝐶6
X P 100 1 2200 1 4×
2𝐶32𝐶6
+
1𝐶1
𝐶33
2𝐶61𝐶1
𝐶311×𝐶23 = 25 ；
6
（3）若选择方案一：由（1）可知，所获奖金X的期望为100元，
若选择方案二：设所获奖金为随机变量Y，则Y的可能取值为0，100，200， 所以
0𝐶2𝐶31
P（Y=0）= 𝐶23 = 5 ，
6
1𝐶1𝐶333
= ， 2𝐶65
P（Y=100）=
2𝐶0𝐶31
P（Y=200）= 23 = ，
𝐶65
所以E（Y）=0× 5 +100× 5 +200× 5 =100， 所以两种方案所获得奖金的数学期望相等．
131
【点评】：本题考查了古典概型概率公式的应用，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题． 20.（问答题，14分）已知函数 𝑓(𝑥)=（1）求f（x）的极值；
（2）若关于x的方程f（x）=ax无实数解，求实数a的取值范围；
（3）写出经过原点且与曲线y=f（x）相切的直线有几条？（直接写出结果）
【正确答案】：
【解析】：（1）求出函数f（x）的定义域以及f'（x），通过研究f'（x）的正负确定函数f（x）的单调性，由极值的定义求解即可；
（2）方程无解等价于方程1+lnx-ax2=0无实数解，构造g（x）=1+lnx-ax2（x＞0），将问题转化为函数g（x）无零点，利用导数判断函数g（x）的单调性以及最值，结合零点的存在性定理进行分析求解即可；
（3）设切点坐标，求出切线的斜率，写出切线方程，将原点代入切线方程，只有一解，从而得到答案．
【解答】：解：（1）函数 𝑓(𝑥)=且f'（x）=
−𝑙𝑛𝑥
，令𝑥2
1+𝑙𝑛𝑥
，则𝑥
1+𝑙𝑛𝑥
． 𝑥
f（x）的定义域为（0，+∞），
f'（x）=0，解得x=1，
当0＜x＜1时，f'（x）＞0，则f（x）单调递增， 当x＞1时，f'（x）＜0，则f（x）单调递减，
所以当x=1时，f（x）有极大值f（1）=1，无极小值；
（2）因为关于x的方程f（x）=ax无实数解，等价于方程1+lnx-ax2=0无实数解， 令g（x）=1+lnx-ax2（x＞0），等价于函数g（x）无零点，
1−2𝑎𝑥2
g'（x）= 𝑥 ，
① 当a≤0时，g'（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立， 所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，
又g（1）=1-a＞0，g（ea-2）=a（1-e2a-4）-1＜0， 所以函数g（x）有零点，不符合题意；
② 当a＞0时，令g'（x）=0，解得 𝑥=𝑥0=√ 或 𝑥=−√ （舍）， 当0＜x＜x0时，g'（x）＞0，则g（x）单调递增， 当x＞x0时，g'（x）＜0，则g（x）单调递减，
所以当 𝑥=𝑥0=√2𝑎 时，g（x）取得最大值 2+𝑙𝑛√2𝑎 ， 故当 +𝑙𝑛√ ＜0，即 𝑎＞ 时，函数g（x）无零点， 当 2+𝑙𝑛√2𝑎 ≥0，即 0＜𝑎≤2 时，g（e-1）=-ae-2＜0， 所以函数g（x）有零点，不符合题意． 综上所述，实数a的取值范围为 (，+∞) ． （3）设切点坐标为 (𝑡，因为f'（x）=
1+𝑙𝑛𝑡
) ， 𝑡
𝑒
2
1
1
𝑒
12
12𝑎
𝑒2
1
1
1
12𝑎12𝑎
−𝑙𝑛𝑥𝑙𝑛𝑡
，故切线的斜率为 − ， 𝑥2𝑡21+𝑙𝑛𝑡
𝑡
所以切线方程为 𝑦−
=−
𝑙𝑛𝑡
(𝑥𝑡2−𝑡) ，
因为切线经过坐标原点，
1+𝑙𝑛𝑡
则有 0−𝑡
=
𝑙𝑛𝑡
−𝑡2(0−
𝑡) ，即t= 𝑒 ，
−
12所以切点只有一个，
故经过原点且与曲线y=f（x）相切的直线有1条．
【点评】：本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值问题，函数与方程的综合应用，利用导数研究曲线的切线问题，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得到函数的零点）；（2）图象法（直接画出函数的图象分析得解）；（3）方程+图象法（令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解）．属于中档题． 21.（问答题，15分）已知函数f（x）=lnx． （1）求证：当x＞1时， 𝑓(𝑥)＞1− ；
（2）设斜率为k的直线与曲线y=lnx交于两点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），证明：
11
＜𝑘＜ ． 𝑥2𝑥1
1
𝑥
【正确答案】：
【解析】：（1）令g（x）=lnx+ 𝑥 -1，求导，分析单调性，最值，即可得出答案． （2）由于斜率为k的直线与曲线y=lnx交于两点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），要证 ＜k＜ ，只需证1- 1 ＜ln 2 ＜ 2 -1，令t= 2 （t＞1），即证1- ＜lnt＜t-1，即可得
1
11𝑥𝑥𝑥𝑥1
𝑥2
𝑥1
𝑥2
𝑥1
𝑥1
𝑥1
𝑡出答案．
【解答】：解：（1）证明：令g（x）=lnx+ 1𝑥
-1， g′（x）= 1 - 1𝑥−1
𝑥
𝑥
2 =
𝑥2 ， 所以当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增， 所以g（x）＞g（1）=0， 所以lnx＞1- 1
𝑥 ．
（2）证明：因为斜率为k的直线与曲线y=lnx交于两点A（x1，y1），B（x2，y2）（x2），
所以y1=lnx1，y2=lnx2，k= 𝑦2−𝑦
1𝑥2
−𝑥1
，
要证 11
𝑥2
＜k＜ 𝑥1
，
只需证 1𝑦−𝑦1
𝑥2
＜ 21𝑥2
−𝑥1
＜ 𝑥1
，
即证 1
𝑙𝑛𝑥2−𝑙𝑛𝑥1𝑥2
＜
𝑥2−𝑥1 ＜ 1
𝑥1
， 只需证
𝑥2−𝑥1𝑥2 ＜lnx2-lnx1＜ 𝑥2−𝑥1
𝑥1
， 只需证1- 𝑥
1𝑥
2𝑥
𝑥2
＜ln 𝑥1
＜ 2𝑥1
-1，
令t= 𝑥
2 （t＞1），即证1- 1𝑥1
𝑡
＜lnt＜t-1， 由（1）得t＞1时，lnt＞1- 1
𝑡 ， 令h（x）=lnx-x+1， 求导得h′（x）= 1
𝑥 -1=
1−𝑥
𝑥
， 所以当x＞1时，h′（x）＜0，h（x）单调递减， 所以h（x）＜h（1）=0， 所以lnx-x+1＜0， 所以当t＞1时，lnt＜t-1， 综上，当t＞1时，1- 1
𝑡 ＜lnt＜t-1，
x1＜所以 𝑥 ＜k＜ 𝑥 ．
2
1
11
【点评】：本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
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