一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.A.2.A.3.
已知是虚数单位，，则复数的模等于()B.
已知集合C.
，D.
，则()B.
，，则C.
是D.
的()A.充分不必要条件C.充要条件4.A.5.
已知双曲线在下列区间中，函数B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件单调递增的区间是()B.
：与C.D.
，若对任意实数，直线)至多有一个交点，则的离心率为(A.6.
B.
考察下列两个问题：，记C.
已知随机变量；D.
，且，个景点去旅游，表示“有一个甲、乙、丙三人随机到某每人只去一个景点，设景点仅甲一人去旅游”，记表示“甲、乙、丙所去的景点互不相同”，，则()A.B.C.D.
第1页，共25页7.
如图，在正四棱柱、分别在线段、中，上，则线段，，动点长度的最小值是()A.8.A.
已知B.C.
，则()D.
B.C.D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.
小明用某款手机性能测试对部不同品牌的手机的某项性能进行测试，所排列为：，，，，，得的分数按从小到大的顺序，则()，，相等数据相邻排列，，，已知总体的中位数为A.
B.该组数据的均值一定为C.该组数据的众数一定为和D.若要使该总体的标准差最小，则10.
如图，棱长为，在棱，的正方体、分别是棱上移动，则()平面、的内切球球心为的中点，A.对于任意点第2页，共25页B.存在点C.直线D.过直线，使的被球平面截得的弦长为所得截面圆面积的最小值为的平面截球11.将函数位后得到函数的图象，若对，则的可能取值为()，的图象向左平移，且个单A.12.
线已知函数B.C.
为自然对数的底数)，过点D.
作曲线的切下列说法正确的是(A.当B.当C.当D.当时，若只能作两条切线，则，时，则可作三条切线时，可作三条切线，则，时，有且只有两条切线三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.14.
已知有名男生和，名女生共，则．人组成两个志愿者队伍去两个不同的场馆，要求用数字表示每队既有男生又有女生，则不同的分配方法有______种．15.16.
椭圆：与展开式中奇次项的系数之和为______．，，，直线，，四的左右焦点分别为相交于，两点，若第3页，共25页点共圆其中在第一象限．，且直线倾斜角不小于，则椭圆的实轴长的取值范围是四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.
在三角形本小题分，，．的对边分别为，，，中，内角，且求角；所在平面内的一点，且，求线段为三角形的长．18.
本小题分年提出了以下猜想：数学家也有一些美丽的错误，如法国数学家费马于是质数，该数不是质数年，瑞士数学家欧拉算出已知为数列的前项和，且求数列若明：对任意的通项公式；，设为数列，分．的前项和，求出，并证19.
本小题在东京奥运会中，甲、乙、丙三名射击运动员参加小组赛，已知甲晋级的概率为，乙、丙晋级的概率均为，且三人是否晋级相互对立．若甲晋级的概率与乙、丙两人均没有晋级的概率相等，与乙、丙两人有且仅有一人晋级的概率也相等，求，；第4页，共25页若概率相等，求，记三个人中成功晋级的人数为．分中，侧面，的交线为平面上，直线，求当．；与平面底面，，若时和时的20.
本小题如图，在三棱锥边长为面的正三角形，与平面证明：直线设点与在直线，分别是，，是的中点，记平所成的角为．，异面直线所成的角为为何值时，21.
本小题：分的焦点为交于点的方程；，，都在抛物线的最小值．上，若是以为，且，直线．分别与轴交于已知抛物线点，与抛物线求抛物线如图，设点斜边的等腰直角三角形，求第5页，共25页22.
本小题分已知函数．Ⅰ求函数的极小值；Ⅱ若存在，，使得数的底数，求实数的取值范围．第6页，共25页是自然对答案和解析
1.【答案】【解析】解：，．故选：．根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．本题主要考查复数模公式，属于基础题．2.【答案】【解析】【分析】本题考查了交集及其运算，属于基础题．分别化简集合，，再根据交集的定义求解即可．【解答】解：，．故选D．，3.【答案】【解析】【分析】第7页，共25页本题主要考查了充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由故由故是是的必要条件，的必要不充分条件．是，当时，不能够推出的不充分条件，，，综上所述：故选：．4.【答案】【解析】解：因为令解得所以函数的单调递增区间为当因为所以函数在故选：．根据余弦函数的性质求出函数的单调递增区间，再判断即可．本题考查了余弦函数的单调性，属于基础题．时可得函数的一个单调递增区间为，，，，，，，，，，上单调递增．5.【答案】第8页，共25页【解析】解：依题意可知直线即，，从而．，与双曲线的渐近线平行或重合，则，所以的离心率故选：．根据直线心率．与双曲线的渐近线的关系求得，从而求得，以及双曲线的离本题考查了双曲线的离心率计算，属于基础题．6.【答案】【解析】解：由，解得，，故选：．根据二项分布的期望公式和方差公式求出，从而可求得，再根据条件概率公式求得，即可求出答案．本题考查概率的运算，考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．．，，7.【答案】【解析】【分析】本题考查了空间向量的模，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．设，，，利用向量模的计算公式可得：，从而得解．【解答】第9页，共25页解：建立如图所示的空间直角坐标系，，设，，，，，．，．，，当且仅当即线段，，，时取等号．长度的最小值为．故选C．8.【答案】【解析】【分析】本题考查了利用函数的性质比较大小的应用问题，也考查了推理与判断能力，属于中档题．先判断，得出，再构造函数，判断与的大小关系．第10页，共25页【解答】解：因为又因为设所以又因为所以所以故选D．．与，，且，所以，，所以；时，和原点，，且，所以，；，，；的图象交于点时，，即9.【答案】【解析】【分析】本题考查中位数、平均数、标准差、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．依题意可得式判断．【解答】解：对于、，总体的中位数为该组数据的均值为对于，当故C错误；对于，要使该总体的标准差最小，即方差最小，即，最小，时，众数为，，，当，，，，故A，均正确；时，众数为，，，，，即可求出平均数，即可判断、，再利用特殊值判断，利用基本不等第11页，共25页当且仅当故选ABD．时，即时等号成立，故D正确．10.【答案】【解析】解：正方体的内切球的球心即正方体的中心，对于，当与重合时，所以误；对于，当为且同理，且对于，由对称性可知，因为所以直线，所以的被球截得的弦长为，所以平面的中点时，，所以平面，，而，，即垂直于平面的中点，，选项B正确；，平面，则，与平面平面，平面平面，，相交，此时不成立，选项A错，可得平面，所以，取，，即到的距离为，，选项C错误；，对于，设截面圆的半径为，到平面的距离为，则当到平面的距离最大时，截面圆的半径最小，因为到平面的距离小于等于到，所以半径最小时圆的面积为故选：．，选项D正确．的距离，所以当时，取得最小值为当与重合时，即可判断选项A错误；第12页，共25页取为的中点，由此判断选项B正确；的距离，再求直线的被球截得的弦长，即可判断选项C错误；求出球心到由球与截面圆的关系求解最小圆的半径，得到半径最小圆的面积，从而判断选项D正确．本题考查了空间中直线与平面间的位置关系和正方体的内切球应用问题，也考查了空间想象能力与思维能力，以及运算求解能力，是中档题．11.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了三角函数的图象变换和性质的应用，属于中档题．由图象平移可得结合范围可得【解答】解：将函数的图象，故函数对即故所以又故，所以，，所以，所以，，，，为偶函数，因为，，，为偶函数，，，的图象向左平移个单位后得到函数，代入，分析，，可得为偶函数，，分析即得解．第13页，共25页可得和故选AC．均为的奇数倍，故的可能取值为．12.【答案】【解析】解：函数设切点坐标为切线方程为对于，当设当，，，时，，，当，，单调递减，，，则切线的斜率为，，，单调递增，如图，当当时，时，取得极小值，极小值为，取得极大值，极大值为，与时，则有且只有两个交点，则与，故A正确；若只能做两条切线，对于，当时，有且只有一个交点，可做和一条切线，故B错误；对于，当设时，则，则，，第14页，共25页，当当时，时，，，单调递减，单调递增，如图，当当时，取得极小值，极小值为，当与，，则，如图，时，取得极大值，极大值为，时，可作三条切线，时，有个交点，则，故C正确；对于，当此时，设，单调递减，且当时，与只有个交点，有且只有条切线，故D错误．故选：．，设出切点，写出切线方程，然后再根据个选项中的取值，确定的取值，设出与函数图象的交点个数，从而确定先根据函数函数，求导，判断其单调区间，求解其极值并作图，观察第15页，共25页切线方程的条数，即可完成求解．本题考查命题真假的判断，考查导数性质、导数的几何意义、切线方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式，诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．由已知利用同角三角函数基本关系式可求可得解．【解答】解：因为所以则故答案为．，，．，的值，进而利用二倍角公式，诱导公式化简所求即14.【答案】【解析】解：设两个不同的场馆为甲、乙，当甲场馆名男生名女生，乙场馆名男生名女生时，不同的分配方法有当甲场馆名男生名女生，乙场馆名男生名女生时，不同的分配方法有当甲场馆名男生名女生，乙场馆名男生名女生时，不同的分配方法有由得，不同的分配方法有．甲场馆名男生名女生，乙场馆名男生名女生，甲场馆名男生名女种，种，种，种，故答案为：由分类计数原理，分第16页，共25页生，乙场馆名男生名女生，甲场馆名男生名女生，乙场馆名男生名女生三种情况求解即可，本题考查了排列组合，重点考查了分类计数原理，属基础题．15.【答案】【解析】解：开式中奇次项的系数之和故答案为：．展开即可得出．．本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.【答案】【解析】解：设椭圆的半焦距为，由椭圆的中心对称性和，则四边形所以以则所以故，，又由题意，即，，即，为矩形，为直径的圆与椭圆有公共点，，，四点共圆，因为直线所以直线则因为倾斜角不小于，的倾斜角不小于，，化简可得，，第17页，共25页所以又故所以，，则，所以，解得，，，综上所述，椭圆的实轴长的取值范围是故答案为：．为直径的圆与椭圆有公共点，得到，先求得，由椭圆的中心对称性和圆的性质得到以再利用直线倾斜角，结合椭圆的定义，得到关于，的不等式，求解即可得到答案．本题主要考查了椭圆的性质，属于中档题．17.【答案】解：又由，，得，，因为是三角形内角，所以，，，又所以设．与交于，，第18页，共25页由，，又在，，知四边形，为平行四边形，，为的中点，，是等边三角形，，，中，由余弦定理有．【解析】本题考查正余弦定理，考查学生的运算求解能力，属于中档题．由设与，得交于，由，在，进而由已知可得，知为，可求；的中点，可求得．，中，由余弦定理可求18.【答案】解：当则时，，；，，则，，时，，，对也成立，第19页，共25页由于即对任意【解析】随着的增大而增大，可得，．时，，求得，运用数列的递推式：，时，，即可得到所求通项公式；求得，运用数列的裂项相消求和和数列的单调性、不等式的性质，即可得到所求．本题考查数列的递推式的运用，考查数列的裂项相消求和和数列的单调性的判断以及运用，化简运算能力，属于中档题．19.【答案】解：乙没有晋级的概率为甲晋级的概率为，丙没有晋级的概率为，乙、丙晋级的概率均为，，三人是否晋级相互对立，乙与丙均没有晋级的概率为，甲晋级的概率与乙、丙两人均没有晋级的概率相等，，又甲晋级的概率与乙、丙两人有且仅有一人晋级的概率也相等，，联立可得，．三人是否晋级相互对立，，时和时的概率相等，，解得，，由题意可得，所有可能取值为，，，，第20页，共25页，，，，故E．【解析】本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题．根据已知条件，结合相互独立事件的概率公式可得，，联立三人是否晋级相互对立，则，结合已知条件，时和，即可求解．，时的概率相等，求出的值，所有可能，取值为，，，，分别求出对应的概率，并结合期望公式，即可求解．20.【答案】，又平面平面又平面．，，证明：，分别为，中点，，平面，，平面平面，，，第21页，共25页，平面平面，平面，直线平面，，，的法向量，，、直线，，，，，如图建立坐标系得出：，为平面，设直线分别与平面，即存在即当【解析】面，求解或时，，，．，，所成的角分别为，，，，，利用中位线，直线平面的平行问题得出平面．，，根据直线平面的垂直问题得出平，即可得出直线建立坐标系得出平面的法向量，，，，，．，直线平面，直线的夹角的关系求解即可，本题综合考查了空间直线，平面的位置关系，判断方法，空间向量解决存在性问题，运用代数方法求解几何问题，考查了学生的计算能力．21.【答案】解：设点，由点在抛物线上，且得：，解得：，第22页，共25页故抛物线的方程为：设设直线，的斜率为，直线的斜率为，，，．，，，，即，，，即，，即将即则，代入得：，，，，，，则，，，第23页，共25页，当且仅当所以【解析】物线方程；设然后结合案．，，，的最小值为设点．时取等号，，根据点在抛物线上，且列方程组求得值，即可求得抛，直线，可得：的斜率为，由，然后可得可得，，然后可求出答本题考查抛物线的标准方程及抛物线的性质，是难题．22.【答案】解：Ⅰ函数，当所以由故函数当，单调递增，单调递增，故得：，由时，函数，，单调递增，得：取极小值；，所以单调递增，故在单调递增，单调递增，由故函数在得：在时，函数，由时，函数取极小值得：取极小值；分，Ⅱ因为存在，所以当时，，使得，分第24页，共25页由知，在时，上递减，在上递增，，所以当，而记因为所以所以当也就是当当当当时，时，时，时，由时，由．，再对进行讨在；当；分，，，当时取等号，，，上单调递增，而时，，综上知，所求的取值范围为【解析】Ⅰ先求原函数的导数得：论，分析函数的单调性，进而得到函数的极小值；Ⅱ的最大值减去，最小值的最大值减去最小值的最小值大于或等于，由大于或等于，由单调性知，与的最大值是或的单调性，判断求出的取值范围的大小关系，再由本题考查了基本函数导数公式，导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性及利用导数求闭区间上函数的最值．属于中档题第25页，共25页
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