例谈巧用圆锥曲线定义求最值问题

例谈巧用圆锥曲线定义求最值问题

在求解有关圆锥曲线的最值问题时, 通常是利用函数的观点, 建立函数表达式进行求解。但是, 一味的强调函数观点, 有时会使思维陷入僵局。这时, 若能考虑用圆锥曲线的定义来求解, 问题就显得特别的简单。下面就列举一些例子加以说明。 以说明。

12题： 例1、2008年福州市数学质检文科、理科的选择题第题： 22如图，M是以A、B为焦点的双曲线x-y=2右支上任一点，若点M到点C（3，1）与点B的距离之和为S，则S的取值范围是（ 的取值范围是（ ）

A、é26+2,+¥ B、é26-22,+¥

ëëC、é26-22,26+22 D、é26-2,+¥

ëë))))

分析：此题的得分率很低，用函数观点求解困难重重。此题的得分率很低，用函数观点求解困难重重。若能利用双曲线的第用函数观点求解困难重重。若能利用双曲线的第一定义，则势如破竹。解法如下： 一定义，则势如破竹。解法如下：

连结MA，由双曲线的第一定义可得：MB+MC=MA-2a+MC =MA+MC-22³AC-22=26-22 当且仅当A、M、C三点共线

时取得最小值。如果此题就到此为止，时取得最小值。如果此题就到此为止，未免太可惜了！如果此题就到此为止，未免太可惜了！于是笔者进一步引导学生作如下的探究： 作如下的探究：

（1）如果M点在左支上，则点M到点C（3，1）与点B的距离之和为S，则S的取值范围是多少？ 的取值范围是多少？

（2）如果M是以A、B为焦点的椭圆x+y=1上任一点，若点M到点

43æ1ö的最大值是多少？ Cç,1÷与点B的距离之差为S，则S的最大值是多少？

2èø22x2（3）如果M是以A、B为焦点的椭圆4+y2=1上任一点，若点M到点3æ1ö的取值范围是多少？ Cç,1÷与点B的距离之和为S，则S的取值范围是多少？ è2ø分析：连结MA，由椭圆的第一定义可得： ，由椭圆的第一定义可得： MB+MC=2a-MA+MC=2a-(MA-MC)，当且仅当A、M、C三点共线时取得最大、最小值，如上图所示。对于抛物线，也有类似的结论，由于较简单，在此就不一一列举了。 简单，在此就不一一列举了。 例2、2008年福建省高考数学试题选择题文科第12题、理科的第11题： 题： 22双曲线x2-y2=1（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2, 若P为其上一点，且ab|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为 则双曲线离心率的取值范围为 A、(1,3)  B、(1,3] C、(3,+¥)  D、[3,+¥) 分析：若能利用双曲线的第一定义，则迅速获解. 解法如下：不妨设|PF2|=m，则|PF|=2m， c1mce故a=m, 由|PF1|+|PF2|≥| F£3,\\1b>0)，A是椭圆C的短轴左ab顶点，过A点作斜率为－1的直线交椭圆于B点，点P（1，0）, 且BP∥y轴，9△APB的面积为2. （1）求椭圆C的方程；（2）在直线AB上求一点M，使得以椭圆C的焦点为焦点，且过M的双曲线E的实轴最长，并求此双曲线E的方程. 分析：同样分析：同样, 此题若采用函数观点, 问题（问题（2）将变得复杂化！若能利用双曲将变得复杂化！若能利用双曲线的第一定义，则解答就容解易得多了。 y P A O x AP×PB=9,又∠PAB＝45°， 22AP＝PB，故AP＝BP＝3. ∵P（1,0），A（－2,0），B（1,－3） ì=ïb2∴ b=2，将B（1，－3）代入椭圆得：íï1+9=1 2a2îb简解：（1） S1DAPB=得 a=12，所求椭圆方程为12+4=1   （2）设椭圆C的焦点为F1，F2，则易知F1（0,－22）F2（0，22）， AB2y2x2直线轴最大， 轴最大， 的方程为：x+y+2=0，因为M在双曲线E上，要双曲线E的实只须｜｜MF1｜－｜MF2｜｜最大，设F1（0，－22）关于直线AB的对称点为 点为 F1'（22－2，－2），则直线F2F1'与直线的交点为所求M， 因为F2F1'的方ìïy+(3+22)x-22=0程为：y+(3+22)x-22=0, 联立í 得M（1,-3） ïx+y+2=0î又2a=｜｜MF1｜-｜MF2｜｜=｜｜MF1'｜－｜MF2｜｜£|F2F1'| 22'''＝(22-2-0)+(-2-22)＝26，故amax=6,b=2， y2故所求双曲线方程为：6-x22 =1  y)在y轴上的射影为H，PH是练习：已知两点M(-2, 0)，N(2, 0)，动点P(x, 2和PM×PN的等比中项.（1）求动点P的轨迹方程；（2）若以点M、N为焦点的双曲线C过直线x+y=1上的点Q，求实轴最长的双曲线C的方程. 总之，在求解有关圆锥曲线的最值问题时, 若能根据题目的实际条件, 考虑用圆锥曲线的定义来求解, 就能起到出奇制胜的效果。总而言之，在教学过程中，不应轻易错过某一细节，如果能够对一些细节问题进行探究反思，就可以提高教学质量，从而提高学生的数学成绩。 学质量，从而提高学生的数学成绩。