跳扩散过程下带有随机利率的脆弱期权定价

摇摇摇摇摇摇

Vol郾36摇No郾3

摇

JChongqingTechnol&BusinessUniv(NatSciEd)

重庆工商大学学报(自然科学版)

摇摇摇摇摇摇摇摇

2019年6月Jun郾2019

doi:10郾16055/j郾issn郾1672-058X郾2019郾0003郾005

跳扩散过程下带有随机利率的脆弱期权定价*

王之渊,陈摇萍

(南京理工大学理学院,南京210094)

摘摇要:针对含有信用风险的期权定价问题,提出了基于Klein模型的跳扩散过程下带有随机利率的脆弱期权定价模型;在一个连续时间金融市场中,根据风险中性假设得到股票价格和公司价值的跳扩散模型;在随机利率条件下,引入零息债券价格过程构造等价鞅测度,应用It觝引理和鞅方法推导出了脆弱看涨期权定价公式;该模型考虑了跳风险且引入了随机利率,故更加切合实际情况,并且在一定的条件下可以退化为经典的Klein模型和B鄄S模型等。

关键词:随机利率;期权定价;信用风险;跳扩散模型

中图分类号:F830郾9摇摇摇文献标志码:A摇摇摇文章编号:1672-058X(2019)03-0024-05

0摇引摇言

脆弱期权是指含有信用风险的期权。近年来,场外衍生品市场在不断的发展,由于没有第三方的监管,场外交易的期权持有者易受到交易对手信用风险的影响,若对手方违约,则持有者仅能得到一部分收益,从而造成损失。

信用违约风险通常分为两种模型:结构化模型和简约化模型。1987年,Johnson和Stulz[1]首次将信用风险纳入期权定价模型,提出了脆弱期权的概念;Hull和White得出了脆弱期权定价公式的显示解;Klein[2]假设信用风险与标的资产价格相关,推出了相应的期权定价公式;Tian等[3]在Klein模型的基础上,假设标的资产和公司价值均服从跳扩散过程,考虑两种资产相互关联的情况下,给出了脆

弱期权定价公式的表达式。上面所提到的期权定价模型,都是假设利率期限结构是水平的,而实际生活中利率是随机波动的。有关这一方面的研究,杨云峰等[4]推出了具有随机利率的跳扩散模型欧式期权定价公式;Zhou等给出了随机利率下的欧式期权定价模型,但带有跳过程的随机利率下的欧式脆弱期权还鲜有研究。

本文结合杨云峰等和Tian等的研究结果,在Klein模型框架基础上,假设标的资产和公司价值均服从具有随机利率的跳扩散过程,运用结构化方法对违约风险定价,从而推导出了更为一般化的脆弱期权定价公式,扩展了Klein的模型。

1摇模型介绍

考虑一个连续时间金融市场[5],给定一个完备

摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇摇

摇摇收稿日期:2018-10-17;修回日期:2018-11-20.摇*基金项目:国家自然科学基金(11271189).

作者简介:王之渊(1993—),男,浙江嘉兴人,硕士,从事衍生证券定价理论研究.

摇摇摇摇摇摇摇摇第3期王之渊,等:跳扩散过程下带有随机利率的脆弱期权定价

25

的概率空间(赘,F{Ft}0臆t臆T,P),其中{Ft}0臆t臆T满足一般的条件。假设由跳产生的风险是非系统风险,不会带来风险回报,故存在与P等价的风险中性概率测度Q,在该测度下,假设交易对手标的股票价格St和公司价值Vt分别服从如下跳扩散过程[6]:

涨期权的价格可以表示为[3]

T

-r(u)du

Ct=EQé(St-K)+æ1{V逸D*}+êe乙t

ëèt

ç

摇摇摇摇

(1-琢)Vtöù

1{VtøûD

÷

摇

2摇脆弱期权定价公式

dSSt

t

=r(t)dt-ks姿sdt+滓sdWst+(Js-1)dNvt(1)dVVtt

=r(t)dt-kv姿vdt+滓vdWvt+(Jv-1)dNv

t(2)

其中,r(t)为可能的随机短期利率,即利率服从一般化的随机结构模型;滓s,滓v分别表示跳跃没有发生时标的资产和公司价值的波动率;Wst,Wvt是测度Q下的标准brown运动,其相关系数为籽w分别表示强度为姿;Nst,Nvts,姿v的泊松过程,且相互独立;ks姿sdt,kv姿vds

t表示由泊松过程产生跳跃的平均增长,ks=E[J-1],kv=E[Jv

-1],其中Js

-1,Jv

表示跳跃时标的资产和公司价值的相对跳跃高度-1分别

;此外,假设Ws

t

,Wvt

和Nst

,Nvt

相互独立。

在风险中性概率测度Q下,假设到期日为T的

零息债券价格B(t,T)满足如下随机微分方程[4]d:

BB((tt,,TT)

)

=r(t)dt+滓bb(t)dW

t

(3)

其中,r(t)为可能的随机短期利率,Wbt是测度

Q下的标准布朗运动,Wbt分别与Wst,Wv

t相互独立,

滓b(t)基于是波动率函数Klein(1996)。

的模型,当公司价值Vt小于

某一违约边界D*时,违约发生。违约边界D*不设为期权的价值,但大致相当于在T时刻未偿付的索赔金额D。假设D*和D均为常数,D*可能小于D,因为当Vt表示公司的破产成本占总资产的比例,破产资本包,其中琢

括破产或重组的直接成本和破产压力下公司经营过程产生的间接成本。如果Vt不小于D*

发生违约,持有方可以获得全额支付。

,此时不

所以,在风险中性测度Q下,t时刻欧式脆弱看

由于欧式脆弱看涨期权与看跌期权类似,本文只考虑看涨期权的情况。假设一个欧式脆弱看涨期权,K为执行价格,T为期权到期日,Ct为看涨期权在t时刻的价值,并且标的价格过程St和公司价值Vt分别满足方程式(1)(2),零息债券价格B(t,T)满足方程式(3)。

定理1摇在上述限定模型下,0时刻欧式脆弱看涨期权的价格为

伊

-ks姿sT

N2(a1,a2,籽)-

KB(0,T){C¥

¥0=

移m=0移n=0

Pm,n(T)着m,nS仪m0JSi=1

i

e

N2(b1,b2,籽)+(1DB-(0,琢)ST0)V0摇

e(r+籽仪msnv

i=1Ji仪i=1Ji

伊

w滓s滓v-ks姿s-kv姿v)TN(1-琢)KV2(c1,c2,-籽)-

D0仪ni=1Jvie-kv姿vT

N2(d1,d2,-籽)其中,籽=

(姿乙滓s滓vT

}

T兹(t)dt乙T0

2

s

0

兹2(t)dt

籽w,Pm,n(T)=

v

ms!T)m(姿nv!T)ne-姿mn

sT-姿vT,着m,n是关于仪i=1Jsi和仪i=1

Jv

i的

期望算子,N2变量的累积分布函数(·,·,·。

)表示二元标准联合正态随机a1=b1+a乙T0

兹2s(t)dt

T2=b2+籽

0

兹2s

(t)dt

lnS0

移m=1

b1=

KB(0,T)

+lnJs乙T2i

i

-1

s

乙(t)dt-ks

姿s

T

T20

0

兹2

s

(t)dt

乙兹26

重庆工商大学学报(自然科学版)第36卷

b2=

lnD*BV(0,0T)+移n

i=1

lnJvi-120

兹2v(t)dt-kv姿vT

兹2v(t)dt

乙T

c1=b1+æ

ç

è

0

兹2s(t)d乙T0

t+籽

c乙T2=-b2-æ

T乙T0

兹2÷

v(t)dtö

ø

T

ç

÷

è

0

2v

0

兹2s

(t)dtö

ød乙兹(t)dt+籽T乙1=b1+籽乙乙0

兹2v(t)dt

dT2=-b2-0

兹2v

(t)dt

证明摇0时刻脆弱看涨期权的价格为

CEQ

éêe-T

0=ë

0

u(S

t

-K)ç

æ1(1乙r(u)d摇

+

伊

è{Vt逸D*}+-D

琢)Vt1{Vöù

túû=E1-E2+E3-E4

其中,

E1=E

Q

[

e-[乙T

0r(u)duSt(1{St逸K,Vt逸D*})

E2=KE

Q

e-

乙

T

0

r(u)du

(1{St逸K)E=EQéêT

]

],Vt逸D*}

3ëe-乙0r(u)duSt(1-D琢)Vt(1{Sùt逸K,VtûET

4=KEQéêë

e-乙0r(u)du(1-D

琢)Vt(1{Sù

t逸K,VtûE1,E2,E3,E乙

4的求解方法相似,本文只求解E1。令Q~

=

乙BB(0,(t,TT))

e-乙t0r(u)dudQ,Zt=Wbt

-t

0

滓b

(u)du,对方程(3)应用Ito

^公式可得:B(t,tB(0,TT))

e

-0

(u)du=

exp

{乙tb乙r0

滓b

(u)dW

u

-

1t2

乙0

滓2b

(u)du}

由Girsanov定理知,Zt为～Q下的标准布朗运动,所以

E1=B(0,T)E

Q

~

[St

(1

{St逸K,Vt逸D*}

)

S]

令Xt=B(t,t

T)

,由Ito

^公式可得:dXXtt

=滓2b(t)-滓b(t)dWbt+滓sdWs

t+(Js-1)dNts

-ks姿sdt

(4)

令兹t

s(t)=

滓2

s

+滓2b

(t),Zst

=

滓bu-滓s0

(u)dZs(u)

dWs兹u

则式(4)可以化简为

乙

ìïïïdXt=-兹s(t)dZst-ks姿síXtdt+(Js-1)dNs

t

ïïî

X0=B(0,S0T)由Ito

^公式解为lnXNst

t=lnX1

乙0+

T

移i=1

lnJsi-T

2

0

兹2

s

(t)dt-ks

姿s

T-乙兹(t)dZ

s

0

s

t

(5)

同理,令Yt=

B(Vt,t

T)v

乙

,兹(t)=滓2v+滓2b(t),Zv

t=

t

滓b0

(u)d兹Zu-滓vv(u)dWvu

可得:

lnYt=lnY0+

移Nvt

lnJv

-1

T

i=1

i2姿T-vt

其中,Zst和Zv乙兹(t)dt-k～乙T

0

2

v

v

v

0

兹v

(t)dZ

t的相关系数为籽,在Q下,

TsTsT0

st)dZ

t

=-

0

s

t

0

b

W

bt

其中,

乙兹(乙滓dW+乙滓(t)dt

乙

T

0

滓sdWst~N((0,滓2

s乙

乙

t

0

dt

bT

)

0

b

W

t

~N0,0

滓2

b(t)dt

)

且

乙T滓dW乙滓(t)d与t

b

b0

s

st

乙滓(t)dW

t

相互独立,所以有

T

0

兹s(t)dZst~N由式(5)知乙

0

:(0,乙

T

0

兹2

s(t)dt

)

X仪Nst

T

TXt

0

=i=1

Jsiexp-120

兹2s(t)dt-ks姿sT-0s

(t)dZst

=

仪Nst

{i=1

Jsiexp{-1

乙

2

乙乙兹}T

兹2s(t)dt-kT0

s姿sT-

乙0兹2

s

(t)dt孜s

}第3期王之渊,等:跳扩散过程下带有随机利率的脆弱期权定价

其中,孜s

乙兹(t)dZ=

T0s

st

27

运用上述方法可得到脆弱看跌期权价格。

~N(0,1)。

t0

2s

(t)dt

此外,

乙兹～Q(Xt*～逸K,Yt逸D)=

Q(lnXTT逸lnK,lnYTt

逸lnD*)=

～æQçt

ç0

s

t)dZs

t

ç乙兹乙(t兹(t)dt臆b1

,摇乙0

兹v

(t)dZvö

t2

è0

2s

0

2v

所以,

乙兹(t)dt臆b÷

÷

÷ø

ES~1=0EQéêXtëX(1{Xt逸K,Xt逸D*})ùú0û

=

bS¥

¥

1b2

m

s{0移m=0移n=0

着m,n

i-乙¥-乙¥仪i=1

Jexp

-1

TT2乙兹s

(t)dt-ks

姿s

T-10

2乙0

兹2s

(t)dtx}

伊

2仔1-籽2exp{-2(11

-籽2

)

(x2-2籽xy+y2)}=¥

¥

aS1a2

m

0m=0n=0

Pm,n(T)着m,n

Js

i

-乙¥-e

-ks姿sT

伊

2仔11移移乙¥仪i=1

移-籽2exp{

-2(11

-籽2

)(～x2-2籽～～xy+～y2)}

=¥

¥

Pm

m,n(T)着m,ss

m=0移n=0

n[S0仪i=1

Jsie-k姿TN2(a1,a2,籽)]定理2摇在上述限定模型下,t时刻欧式脆弱看

涨期权的价格为

{Ct=

m移¥

¥m=0移n=0

Pm,n(T-t)着m,n伊

St

仪s-ks姿s(T-t)

i=1

Ji

e

N2(a1,a2,籽KB(t,T)N2(b1,b2,籽)+(1DB-(琢t,)TS)tVt摇

)-

仪mi=1Jsi仪ni=1Jv

i

伊

e

(r+籽w滓s滓v-ks姿s-kv姿v)(T-t)

N2(c1,c2,-籽)-

(1-D琢)KVt仪nJvie-kv姿v(T-t)N2(d1,d2摇

摇

i=1,-籽)证明摇证明过程与定理1类似。

}

3摇结摇论

引入带有随机利率的跳扩散模型,假设标的资产和公司价值均服从该模型,用结构化方法对脆弱期权进行定价,从而推导出了定价公式,扩展了Klein的模型。该模型不仅考虑到重大不确定事件对期权价格的影响(模型中用跳过程来表示这一影响),而且假设利率模型服从一般化的随机结构模型,相比Klein和Tian等人的模型更加切合实际,并且在一定的条件下可以退化为一些经典模型。若r(t)=r为常数,有滓b(t)=0,那么B(t,T)=e-r(T-t),则模型退化为Tian等人的模型;若r(t)=r且Js=0,Jv-1=0,则模型退化为Klein模型的定价公

-1

式;若r(t)=r且D*=0,则模型退化为=0,姿Merton的跳

扩散模型;若r(t)=r,D*s=姿v=0且m=n=0,此时公司价值Vt>D*(假设公司价值不可能为负),即公司不可能破产,则定价公式后两项不存在,模型可退化为经典的B-S公式。此外,模型还可以进一步扩展成违约边界为随机的情况等。

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PricingVulnerableOptionswithStochasticInterestRatesunder

Jump-diffusionProcessWANGZhi鄄yuan,CHENPing

(SchoolofScience,NanjingUniversityofScienceandTechnology,Nanjing210094,China)

Abstract:Tosolvetheoptionpricingproblemwithcreditrisk,avulnerableoptionpricingmodelwithstochasticinterestrateunderjump鄄diffusionprocessbasedonKleinmodelisproposed.Inacontinuous鄄timefinancialmarket,thejump鄄diffusionmodelofstockpriceandcompanyvalueisobtainedundertheassumptionofandthepricingformulaofvulnerablecalloptionisderivedbyusingtheIt侪lemmaandmartingalemethod.Themodeltakesintoaccountjumpriskandintroducesstochasticinterestrate,soitismorepracticalandcanbedegeneratedintoclassicalKleinmodelandB鄄Smodelundercertainconditions.

Keywords:stochasticinterestrate;optionpricing;creditrisk;jumpdiffusionmodel

riskneutrality.Anequivalentmartingalemeasureisconstructedforthepricingprocessofinterest鄄bearingbonds,

责任编辑:李翠薇

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摇摇引用本文/Citethispaper:

王之渊,陈萍.跳扩散过程下带有随机利率的脆弱期权定价[J].重庆工商大学学报(自然科学版),2019,36(3):24—28WANGZY,CHENP.PricingVulnerableOptionswithStochasticInterestRatesunderJump鄄diffusionProcess[J].JournalofChongqingTechnologyandBusinessUniversity(NaturalScienceEdition),2019,36(3):24—28

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