右玉县一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

一、选择题

1． 已知函数f（x）＝（

）

{ax－1，x≤1

（a＞0且a≠1），若f（1）＝1，f（b）＝－3，则f（5－b）＝1loga＋，x＞1

x1

)A．－1 B．－142C．－3 D．－544

2． 随机变量x1～N（2，1），x2～N（4，1），若P（x1＜3）=P（x2≥a），则a=（ A．1　

3． 复数满足A．1＋i C．1－i

4． 下列命题中错误的是（

B．2

C．3

D．4

）

）

2＋2z1－i

＝iz，则z等于（

B．－1＋iD．－1－i）

A．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B．圆锥的轴截面是所在过顶点的截面中面积最大的一个C．圆台的所有平行于底面的截面都是圆面D．圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形　

5． 下列命题正确的是（

2）

222A．已知实数a,b，则“ab”是“ab”的必要不充分条件

B．“存在x0R，使得x010”的否定是“对任意xR，均有x10”C．函数f(x)x()的零点在区间(,)内

D．设m,n是两条直线，,是空间中两个平面，若m,n，mn则6． 如图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C、B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为（，﹣

），∠AOC=α，若|BC|=1，则

cos2

﹣sin

cos

﹣

的值为（

）

1312x1132第 1 页，共 18 页

A．　

B．C．﹣D．﹣

7． 若直线l:ykx1与曲线C：f(x)x1A．－1　　　　B．

1没有公共点，则实数k的最大值为（ ）xe1　　　　C．1　　　　D．32【命题意图】考查直线与函数图象的位置关系、函数存在定理，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力．

8． 设0＜a＜1，实数x，y满足

，则y关于x的函数的图象形状大致是（

）

A．B．C．D．

9． 为了得到函数A．向右平移C．向右平移

个单位长度个单位长度

的图象，只需把函数y=sin3x的图象（

B．向左平移D．向左平移

个单位长度个单位长度

）

10．某大学数学系共有本科生1000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4：3：2：1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为（ A．80　

11．已知a为常数，则使得A．a＞0等于（

）

B．a＜0

成立的一个充分而不必要条件是（

C．a＞e

D．a＜e

）

B．40

C．60

D．20

）

12．在等比数列{an}中，a1an82，a3an281，且数列{an}的前n项和Sn121，则此数列的项数n第 2 页，共 18 页

A．4 B．5 C．6 D．7

【命题意图】本题考查等比数列的性质及其通项公式，对逻辑推理能力、运算能力及分类讨论思想的理解有一定要求，难度中等.

二、填空题

13．一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是　　　　　　．　

14．若点p（1，1）为圆（x﹣3）2+y2=9的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为　 15．设所有方程可以写成（x﹣1）sinα﹣（y﹣2）cosα=1（α∈[0，2π]）的直线l组成的集合记为L，则下列说法正确的是　　　　　　；①直线l的倾斜角为α；

②存在定点A，使得对任意l∈L都有点A到直线l的距离为定值；③存在定圆C，使得对任意l∈L都有直线l与圆C相交；④任意l1∈L，必存在唯一l2∈L，使得l1∥l2；⑤任意l1∈L，必存在唯一l2∈L，使得l1⊥l2．

16．已知一个算法，其流程图如图，则输出结果是　　　　　　．　

17．命题“∃x∈R，2x2﹣3ax+9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为　　．

三、解答题

18．（本小题满分12分）某媒体对“男女延迟退休”这一公众关注的问题进行名意调查，下表是在某单位得到的数据：

赞同

男女合计

5030 80

反对 150 170320

合计200 200 400

（Ⅰ）能否有能否有97.5%的把握认为对这一问题的看法与性别有关？

第 3 页，共 18 页

（Ⅱ）从赞同“男女延迟退休”的80人中，利用分层抽样的方法抽出8人，然后从中选出2人进行陈述发言，求事件“选出的2人中，至少有一名女士”的概率．

n(adbc)22参考公式：K，(nabcd)(ab)(cd)(ac)(bd)【命题意图】本题考查统计案例、抽样方法、古典概型等基础知识，意在考查统计的思想和基本运算能力

19．已知F1，F2分别是椭圆且|PF1|=4，PF1⊥PF2．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）求点P的坐标．

=1（9＞m＞0）的左右焦点，P是该椭圆上一定点，若点P在第一象限，

20．已知△ABC的顶点A（3，2），∠C的平分线CD所在直线方程为y﹣1=0，AC边上的高BH所在直线方程为4x+2y﹣9=0．

（1）求顶点C的坐标；（2）求△ABC的面积．

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21．（本小题满分13分）

11，数列{an}满足：a1，an1f(an),nN．1x2a1（Ⅰ）若1,2为方程f(x)x的两个不相等的实根，证明：数列n为等比数列；

an2设f(x)（Ⅱ）证明：存在实数m，使得对nN，a2n1a2n1ma2n2a2n．

 ）

22．（本小题满分12分）求下列函数的定义域：（1）fx（2）fx2x3；x1.x23x4x5x62第 5 页，共 18 页

23．（本小题满分12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S990，S15240．（1）求{an}的通项公式an和前n项和Sn；

（2）设bn1an是等比数列，且b27,b571，求数列bn的前n项和Tn．

n【命题意图】本题考查等差数列与等比数列的通项与前n项和、数列求和等基础知识，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、代数变形能力，以及分类讨论思想、方程思想、分组求和法的应用．

24．衡阳市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者，现从符合条件的志愿者中随机抽取100名后按年龄分组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示.

（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，则应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？

（2）在（1）的条件下，该市决定在第3，4组的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.

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右玉县一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】

【解析】解析：选C.由题意得a－1＝1，∴a＝2.若b≤1，则2b－1＝－3，即2b＝－2，无解．∴b＞1，即有log21＝－3，∴1＝1，∴b＝7.

b＋1b＋18

∴f（5－b）＝f（－2）＝2－2－1＝－3，故选C.

4

2． 【答案】C

【解析】解：随机变量x1～N（2，1），图象关于x=2对称，x2～N（4，1），图象关于x=4对称，因为P（x1＜3）=P（x2≥a），所以3﹣2=4﹣a，所以a=3，故选：C．

【点评】本题主要考查正态分布的图象，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解．　

3． 【答案】

2＋2z

【解析】解析：选D.法一：由＝iz得

1－i

2＋2z＝iz＋z，

即（1－i）z＝－2，

－2－2（1＋i）∴z＝＝＝－1－i.

2－1i

法二：设z＝a＋bi（a，b∈R），∴2＋2（a＋bi）＝（1－i）i（a＋bi），即2＋2a＋2bi＝a－b＋（a＋b）i，

＋2a＝a－b∴2，2b＝a＋b

{)∴a＝b＝－1，故z＝－1－i.4． 【答案】 B

【解析】解：对于A，设圆柱的底面半径为r，高为h，设圆柱的过母线的截面四边形在圆柱底面的边长为a，则截面面积S=ah≤2rh．

∴当a=2r时截面面积最大，即轴截面面积最大，故A正确．

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对于B，设圆锥SO的底面半径为r，高为h，过圆锥定点的截面在底面的边长为AB=a，则O到AB的距离为

，

∴截面三角形SAB的高为

=

故截面的最大面积为

．

．故B错误．

，∴截面面积S=

=

≤

对于C，由圆台的结构特征可知平行于底面的截面截圆台，所得几何体仍是圆台，故截面为圆面，故C正确．对于D，由于圆锥的所有母线长都相等，轴截面的底面边长为圆锥底面的直径，故圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形，故D正确．故选：B．

【点评】本题考查了旋转体的结构特征，属于中档题．　

5． 【答案】C【解析】

考

点：1.不等式性质；2.命题的否定；3.异面垂直；4.零点；5.充要条件．

【方法点睛】本题主要考查不等式性质，命题的否定，异面垂直，零点，充要条件.充要条件的判定一般有①定义法:先分清条件和结论（分清哪个是条件,哪个是结论），然后找推导关系（判断pq,qp的真假），最后下结论（根据推导关系及定义下结论）. ②等价转化法:条件和结论带有否定性词语的命题,常转化为其逆否命题来判断.6． 【答案】 A

【解析】解：∵|BC|=1，点B的坐标为（又∠AOC=α，∴∠AOB=∴sin（

﹣α）=

﹣（

．﹣α）]=cos

cos（

﹣α）+sin

sin（

﹣α）

﹣α，∴cos（

，﹣﹣α）=

），故|OB|=1，∴△BOC为等边三角形，∴∠BOC=，﹣sin（

﹣α）=﹣

，

，

∴cosα=cos[

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=+

﹣（=﹣sin﹣

=﹣α）]=sin

．

cos

﹣=

，cos（

﹣α）﹣cos

sin（

﹣α）

∴sinα=sin[=∴=

故选：A．

﹣cos2

=（2cos2，

﹣1）﹣sinα=cosα﹣sinα

【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，三角恒等变换，属于中档题．　

7． 【答案】C

1，则直线l：ykx1与曲线C：yfx没有公共点，ex11等价于方程gx0在R上没有实数解．假设k1，此时g010，g10．又函1k1ek1数gx的图象连续不断，由零点存在定理，可知gx0在R上至少有一解，与“方程gx0在R上没

【解析】令gxfxkx11kx有实数解”矛盾，故k1．又k1时,gx为1，故选C．

8． 【答案】A

【解析】解：0＜a＜1，实数x，y满足轴对称，

在（0，+∞）上单调递增，且函数的图象经过点（0，1），故选：A．

【点评】本题主要指数式与对数式的互化，函数的奇偶性、单调性以及特殊点，属于中档题．　

9． 【答案】A

【解析】解：把函数y=sin3x的图象向右平移故选：A．

【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．　

个单位长度，可得y=sin3（x﹣

）=sin（3x﹣

）的图象，

，即y=

，故函数y为偶函数，它的图象关于y

10,知方程gx0在R上没有实数解，所以k的最大值xe第 10 页，共 18 页

10．【答案】B

【解析】解：∵要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为200的样本，∴三年级要抽取的学生是故选：B．

【点评】本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三年级学生所占的比例，本题也可以先做出三年级学生数和每个个体被抽到的概率，得到结果．　

11．【答案】C

【解析】解：由积分运算法则，得

=lnx

因此，不等式即

=lne﹣ln1=1

即a＞1，对应的集合是（1，+∞）

×200=40，

将此范围与各个选项加以比较，只有C项对应集合（e，+∞）是（1，+∞）的子集∴原不等式成立的一个充分而不必要条件是a＞e故选：C

【点评】本题给出关于定积分的一个不等式，求使之成立的一个充分而不必要条件，着重考查了定积分计算公式和充要条件的判断等知识，属于基础题．　

12．【答案】B

二、填空题

13．【答案】　　．

【解析】解：由题意可得，2a，2b，2c成等差数列∴2b=a+c

∴4b2=a2+2ac+c2①∵b2=a2﹣c2②

①②联立可得，5c2+2ac﹣3a2=0

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∵

∴5e2+2e﹣3=0∵0＜e＜1∴故答案为：

【点评】本题主要考查了椭圆的性质的应用，解题中要椭圆离心率的取值范围的应用，属于中档试题　

14．【答案】：2x﹣y﹣1=0

解：∵P（1，1）为圆（x﹣3）2+y2=9的弦MN的中点，∴圆心与点P确定的直线斜率为∴弦MN所在直线的斜率为2，

则弦MN所在直线的方程为y﹣1=2（x﹣1），即2x﹣y﹣1=0．故答案为：2x﹣y﹣1=015．【答案】　②③④　

【解析】解：对于①：倾斜角范围与α的范围不一致，故①错误；对于②：（x﹣1）sinα﹣（y﹣2）cosα=1，（α∈[0，2π）），可以认为是圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的切线系，故②正确；对于③：存在定圆C，使得任意l∈L，都有直线l与圆C相交，如圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=100，故③正确；

对于④：任意l1∈L，必存在唯一l2∈L，使得l1∥l2，作图知④正确；对于⑤：任意意l1∈L，必存在两条l2∈L，使得l1⊥l2，画图知⑤错误．故答案为：②③④．

=﹣，

【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要注意直线方程、圆、三角函数、数形结合思想等知识点的合理运用．　

16．【答案】　5　．

【解析】解：模拟执行程序框图，可得

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a=1，a=2

不满足条件a2＞4a+1，a=3不满足条件a2＞4a+1，a=4不满足条件a2＞4a+1，a=5

满足条件a2＞4a+1，退出循环，输出a的值为5．故答案为：5．

【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的a的值是解题的关键，属于基本知识的考查．　

17．【答案】﹣2

≤a≤2

【解析】解：原命题的否定为“∀x∈R，2x2﹣3ax+9≥0”，且为真命题，则开口向上的二次函数值要想大于等于0恒成立，只需△=9a2﹣4×2×9≤0，解得：﹣2故答案为：﹣2

≤a≤2

≤a≤2

．

【点评】存在性问题在解决问题时一般不好掌握，若考虑不周全、或稍有不慎就会出错．所以，可以采用数学上正难则反的思想，去从它的反面即否命题去判定．注意“恒成立”条件的使用．　

三、解答题

18．【答案】

400501703015026.25【解析】（Ⅰ）根据题中的数据计算：80320200200因为6．25＞5．024，所以有97．5%的把握认为对这一问题的看法与性别有关

281=，故抽出的8人中，男士有5人，女士有3人．分别设为a,b,c,d,e,1,2,3，选8010取2人共有a,b，a,c，a,d，a,e，a,1，a,2，a,3，b,c，b,d，b,e，b,1，

（Ⅱ）由已知得抽样比为

b,2，b,3，c,d，c,e，c,1，c,2，c,3，d,e，d,1，d,2，d,3，e,1，

e,2，e,3，1,2，1,3，2,328个基本事件，其中事件“选出的2人中，至少有一名女士”包含18个

189=．2814基本事件，故所求概率为P19．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由已知得：|PF2|=6﹣4=2，在△PF1F2中，由勾股定理得，即4c2=20，解得c2=5．∴m=9﹣5=4；

，

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（Ⅱ）设P点坐标为（x0，y0），由（Ⅰ）知，∵

，

，

，

，

∴，解得．

∴P（）．

【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查了椭圆的简单性质，属中档题．　

20．【答案】

【解析】解：（1）由高BH所在直线方程为4x+2y﹣9=0，∴∵直线AC⊥BH，∴kACkBH=﹣1．∴

，

，

=﹣2．

直线AC的方程为联立

∴点C的坐标C（1，1）．（2）

∴直线BC的方程为联立

，

，，即

．，

．

．

点B到直线AC：x﹣2y+1=0的距离为又∴

【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、角平分线的性质、点到直线的距离公式、两点间的距离公式、三角形的面积计算公式，属于基础题．　

21．【答案】

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221110111【解析】解：证明：f(x)xxx10，∴，∴．

22221012211an111an111an121an1an12∵， （3分）

1an122122an22an2an21ana110，10，

a1222∴数列an1为等比数列． （4分）

an251，则f(m)m．21123由a1及an1得a2，a3，∴0a1a3m．

1an235（Ⅱ）证明：设m∵f(x)在(0,)上递减，∴f(a1)f(a3)f(m)，∴a2a4m．∴a1a3ma4a2，（8分）下面用数学归纳法证明：当nN时，a2n1a2n1ma2n2a2n．

①当n1时，命题成立． （9分）

②假设当nk时命题成立，即a2k1a2k1ma2k2a2k，那么由f(x)在(0,)上递减得f(a2k1)f(a2k1)f(m)f(a2k2)f(a2k)∴a2ka2k2ma2k3a2k1由ma2k3a2k1得f(m)f(a2k3)f(a2k1)，∴ma2k4a2k2，∴当nk1时命题也成立， （12分）

由①②知，对一切nN命题成立，即存在实数m，使得对nN，a2n1a2n1ma2n2a2n.

22．【答案】（1）,11,；（2）1,23,4．【解析】

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考

点：函数的定义域. 1

【方法点晴】本题主要考查了函数的定义域的求解，其中解答中涉及到分式不等式的求解、一元二次不等式的求解、集合的交集运算等综合考查，着重考查了学生的推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中正确把握函数的定义域，列出相应的不等式或不等式组是解答的关键，同时理解函数的定义域的概念，也是解答的一个重要一环.23．【答案】

【解析】（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则由S990，S15240，得9a136d90，解得a1d2，……………3分

15a1105d240所以an2(n1)22n，即an2n，

Sn2nn(n1)2n(n1)，即Sn（．……………5分nn1）2第 16 页，共 18 页

24．【答案】（1）3,2,1；（2）【解析】111]

7 .10试题分析：（1）根据分层抽样方法按比例抽取即可；（2）列举出从名志愿者中抽取名志愿者有10种情况，其中第组的名志愿者B1,B2至少有一名志愿者被抽中的有种，进而根据古典概型概率公式可得结果. 1

（2）记第3组的3名志愿者为A1,A2,A3，第4组的2名志愿者为B1,B2，则从5名志愿者中抽取2名志愿者有(A1,A2)，(A1,A3)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A2,A3)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A3,B1)，(A3,B2)，(B1,B2)，共10种，其中第4组的2名志愿者B1,B2至少有一名志愿者被抽中的有(A1,B1)，(A1,B2)，(A2,B1)，

(A2,B2)，(A3,B1)，(A3,B2)，(B1,B2)，共7种，所以第4组至少有一名志愿都被抽中的概率为

7.10第 17 页，共 18 页

考点：1、分层抽样的应用；2、古典概型概率公式.

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