莱阳市三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

莱阳市三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 若函数yfx的定义域是1,2016，则函数gxfx1的定义域是（ ）

A．0,2016 B．0,2015 C．1,2016 D．1,2017

2． 过点P（﹣2，2）作直线l，使直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l一共有（ ） A．3条

B．2条

C．1条

D．0条

3． 在极坐标系中，圆的圆心的极坐标系是( )。

ABCD

4． 已知全集为R，集合A={x|（）x≤1}，B={x|x2﹣6x+8≤0}，则A∩（∁RB）=（ ） A．{x|x≤0} B．{x|2≤x≤4} A．﹣2 B．2

C．{x|0≤x＜2或x＞4}

D．{x|0＜x≤2或x≥4}

5． 已知f（x）在R上是奇函数，且f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（7）=（ ）

C．﹣98 D．98

x2y26． 已知直线l：ykx2过椭圆221(ab0)的上顶点B和左焦点F，且被圆

ab45，则椭圆离心率e的取值范围是（ ） x2y24截得的弦长为L，若L5253550， （D） （A） 0， （ B ） 0， （C） 5557． 使得（3x2+A．3

B．5

n+

）（n∈N）的展开式中含有常数项的最小的n=（ ）

450， 5C．6 D．10

都

8． 已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（ax+1）≤f（x﹣2）对任意成立，则实数a的取值范围为（ ）

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A．[﹣2，0] B．[﹣3，﹣1] C．[﹣5，1] D．[﹣2，1）

9． 等差数列{an}中，已知前15项的和S15=45，则a8等于（ ） A．

B．6

C．

D．3

10．设sin（A．﹣

+θ）=，则sin2θ=（ ）

B．﹣

C．

D．

11．在等差数列{an}中，a1=1，公差d0，Sn为{an}的前n项和.若向量m=(a1,a3)，n=(a13,-a3)， 且m?n0，则

2Sn+16的最小值为（ ）

an+39 2A．4 B．3 C．23-2 D．

【命题意图】本题考查等差数列的性质，等差数列的前n项和，向量的数量积，基本不等式等基础知识，意在考查学生的学生运算能力，观察分析，解决问题的能力． 12．不等式

≤0的解集是（ ）

B．[﹣1，2]

A．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2） 1，2]

C．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞） D．（﹣

二、填空题

1lnx，x1，x 若13．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数fx{m52x2mx，x1，28gxfxm有三个零点，则实数m的取值范围是________．

14．已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和．若a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根，则S6= ．

15．在（1+2x）10的展开式中，x2项的系数为 （结果用数值表示）． 16．对于函数yf(x),xR,,“y|f(x)|的图象关于y轴对称”是“yf(x)是奇函数”

的 ▲ 条件． （填“充分不必要”， “必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”） 17．如图，E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD的中点，沿图中虚线将边长为2的正方形折起来，围成一个三棱锥，则此三棱锥的体积是 ．

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18．如图，函数f（x）的图象为折线 AC B，则不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是 ．

三、解答题

19．如图，椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的离心率e=

，且椭圆C的短轴长为2．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设P，M，N椭圆C上的三个动点．

（i）若直线MN过点D（0，﹣），且P点是椭圆C的上顶点，求△PMN面积的最大值；

（ii）试探究：是否存在△PMN是以O为中心的等边三角形，若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由．

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20．已知函数y=f（x）的图象与g（x）=logax（a＞0，且a≠1）的图象关于x轴对称，且g（x）的图象过（4，2）点．

（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；

21．（本题满分15分）

如图AB是圆O的直径，C是弧AB上一点，VC垂直圆O所在平面，D，E分别为VA，VC的中点. （1）求证：DE平面VBC；

（2）若VCCA6，圆O的半径为5，求BE与平面BCD所成角的正弦值.

（Ⅱ）若f（x﹣1）＞f（5﹣x），求x的取值范围．

【命题意图】本题考查空间点、线、面位置关系，线面等基础知识，意在考查空间想象能力和运算求解能力．

22．已知函数f（x）=1+

（﹣2＜x≤2）．

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（1）用分段函数的形式表示函数； （2）画出该函数的图象； （3）写出该函数的值域．

23．某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的“相近”作物 株数X之间的关系如下表所示：

X 1 2 3 4 Y 51 48 45 42

这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．

（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰 好“相近”的概率； （II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．

24．（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲

如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B,C两点，弦CD//AP，AD,BC相 交于点E，F为CE上一点，且DE2EFEC． （Ⅰ）求证：EDFP；

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（Ⅱ）若CE:BE3:2,DE3,EF2，求PA的长．

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莱阳市三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】B 【解析】

2． 【答案】C 设直线l的方程为：则

．

【解析】解：假设存在过点P（﹣2，2）的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为8，

，

即2a﹣2b=ab

直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积S=﹣ab=8， 即ab=﹣16， 联立

，

，

解得：a=﹣4，b=4． ∴直线l的方程为：即x﹣y+4=0， 故选：C

即这样的直线有且只有一条，

【点评】本题考查了直线的截距式、三角形的面积计算公式，属于基础题．

3． 【答案】B 【解析】4． 【答案】C

【解析】解：∵

≤1=

，

，圆心直角坐标为（0,-1），极坐标为

，选B。

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∴x≥0， ∴A={x|x≥0}；

又x﹣6x+8≤0⇔（x﹣2）（x﹣4）≤0，

2

∴2≤x≤4． ∴B={x|2≤x≤4}， ∴∁RB={x|x＜2或x＞4}， ∴A∩∁RB={x|0≤x＜2或x＞4}， 故选C．

5． 【答案】A

【解析】解：因为f（x+4）=f（x），故函数的周期是4 所以f（7）=f（3）=f（﹣1）， 又f（x）在R上是奇函数，

2

所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2×1=﹣2，

故选A．

【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性．

6． 【答案】 B

【解析】依题意，b2,kc2.

4516,解得d2 55。

111612又因为d，所以解得,k1k254。 1k2设圆心到直线l的距离为d，则L24d2254c2c2120e.故选B． 0e,e2222，所以于是解得55abc1k7． 【答案】B

22

【解析】解：（3x+﹣5r，

）（n∈N）的展开式的通项公式为Tr+1=

n

+•（3x2）n﹣r•2r•x﹣3r=•x2n

令2n﹣5r=0，则有n=故选：B．

，

故展开式中含有常数项的最小的n为5，

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．

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8． 【答案】A

【解析】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上是增函数， 则f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，

则f（x﹣2）在区间[，1]上的最小值为f（﹣1）=f（1） 若f（ax+1）≤f（x﹣2）对任意当

则﹣2≤a≤0 故选A

9． 【答案】D

【解析】解：由等差数列的性质可得：S15=故选：D．

10．【答案】A

【解析】解：由sin（

=15a8=45，则a8=3．

都成立，

时，﹣1≤ax+1≤1，即﹣2≤ax≤0恒成立

+θ）=sin

cosθ+cos

sinθ=

（sinθ+cosθ）=，

两边平方得：1+2sinθcosθ=，即2sinθcosθ=﹣， 则sin2θ=2sinθcosθ=﹣． 故选A

【点评】此题考查学生灵活运用二倍角的正弦函数公式、两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．

11．【答案】A 【

解

析】

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12．【答案】D

，

【解析】解：依题意，不等式化为解得﹣1＜x≤2， 故选D

【点评】本题主要考查不等式的解法，关键是将不等式转化为特定的不等式去解．

二、填空题

13．【答案】1，

74【解析】14．【答案】63 【解析】解：解方程x2﹣5x+4=0，得x1=1，x2=4．

因为数列{an}是递增数列，且a1，a3是方程x2﹣5x+4=0的两个根， 所以a1=1，a3=4．

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设等比数列{an}的公比为q，则则

故答案为63．

，所以q=2． ．

【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．

15．【答案】 180

【解析】解：由二项式定理的通项公式Tr+1=Cna

2

可知r=2，所以系数为C10×4=180，

rn﹣rr

b可设含

x2项的项是Tr+1=C7r （2x）r

故答案为：180．

【点评】本题主要考查二项式定理中通项公式的应用，属于基础题型，难度系数0.9．一般地通项公式主要应用有求常数项，有理项，求系数，二项式系数等．

16．【答案】必要而不充分 【解析】

试题分析：充分性不成立，如yx2图象关于y轴对称，但不是奇函数；必要性成立，yf(x)是奇函数，

|f(x)||f(x)||f(x)|，所以y|f(x)|的图象关于y轴对称.

考点：充要关系

【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．

1.定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．

2.等价法：利用p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．

3.集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件． 17．【答案】

．

【解析】解：由题意图形折叠为三棱锥，底面为△EFC，高为AC， 所以三棱柱的体积：××1×1×2=， 故答案为：．

【点评】本题是基础题，考查几何体的体积的求法，注意折叠问题的处理方法，考查计算能力．

18．【答案】 （﹣1，1] ．

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【解析】解：在同一坐标系中画出函数f（x）和函数y=log2（x+1）的图象，如图所示：

由图可得不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是：（﹣1，1]，． 故答案为：（﹣1，1]

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由题意得

解得a=2，b=1，

所以椭圆方程为

．

（Ⅱ）（i）由已知，直线MN的斜率存在，

设直线MN方程为y=kx﹣，M（x1，y1），N（x2，y2）．

由22

得（1+4k）x﹣4kx﹣3=0，

∴x1+x2=又

．

，x1x2=，

所以S△PMN=|PD|•|x1﹣x2|==令t=

，则t≥

2，k=

．

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所以S△PMN=令h（t）=则t=

，t∈[

，

，+∞），则h′（t）=1﹣

=）=

＞0，所以h（t）在[，

，+∞），单调递增，

，即k=0时，h（t）的最小值，为h（

．

所以△PMN面积的最大值为

（ii）假设存在△PMN是以O为中心的等边三角形．

（1）当P在y轴上时，P的坐标为（0，1），则M，N关于y轴对称，MN的中点Q在y轴上． 又O为△PMN的中心，所以从而|MN|=

，|PM|=

，可知Q（0，﹣），M（﹣

，

），N（

，

）．

，|MN|≠|PM|，与△PMN为等边三角形矛盾．

（2）当P在x轴上时，同理可知，|MN|≠|PM|，与△PMN为等边三角形矛盾． （3）当P不在坐标轴时，设P（x0，y0），MN的中点为Q，则kOP=又O为△PMN的中心，则

，可知

．

，

设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=2xQ=﹣x0，y1+y2=2yQ=﹣y0，

2222

又x1+4y1=4，x2+4y2=4，两式相减得kMN=

，

从而kMN=所以kOP•kMN=

． •（

）=

≠﹣1，

所以OP与MN不垂直，与等边△PMN矛盾． 综上所述，不存在△PMN是以O为中心的等边三角形．

【点评】本小题考查点到直线的距离公式、椭圆的性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、分析解决问题能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、特殊与一般思想、化归与转化思想

20．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）∵g（x）=logax（a＞0，且a≠1）的图象过点（4，2）， ∴loga4=2，a=2，则g（x）=log2x．…

∵函数y=f（x）的图象与g（X）的图象关于x轴对称，

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∴．… ，

（Ⅱ）∵f（x﹣1）＞f（5﹣x）， ∴

即，解得1＜x＜3，

所以x的取值范围为（1，3）…

【点评】本题考查对数函数的性质的应用，注意真数大于零，属于基础题．

3146. 146【解析】（1）∵D，E分别为VA，VC的中点，∴DE//AC，…………2分

21．【答案】（1）详见解析；（2）∵AB为圆O的直径，∴ACBC，…………4分 又∵VC圆O，∴VCAC，…………6分 ∴DEBC，DEVC，又∵VCBCC，∴DE面VBC；…………7分

11（2）设点E平面BCD的距离为d，由VDBCEVEBCD得DESBCEdSBCD，解得

3332，…………12分 设BE与平面BCD所成角为，∵BCAB2AC28， d2d314622.…………15分 ，则sinBEBCCE73BE14622．【答案】

【解析】解：（1）函数f（x）=1+（2）函数的图象如图：

=

，

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．

（3）函数值域为：[1，3）．

23．【答案】

【解析】

【专题】概率与统计． 的概率；

【分析】（I）确定三角形地块的内部和边界上的作物株数，分别求出基本事件的个数，即可求它们恰好“相近”（II）确定变量的取值，求出相应的概率，从而可得年收获量的分布列与数学期望． 数为12，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有

【解答】解：（I）所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株

=36种，选取的两株作物恰好“相

近”的不同结果有3+3+2=8，∴从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率为

=；

（II）先求从所种作物中随机选取一株作物的年收获量为Y的分布列 ∴只需求出P（X=k）（k=1，2，3，4）即可

∵P（Y=51）=P（X=1），P（48）=P（X=2），P（Y=45）=P（X=3），P（Y=42）=P（X=4） 记nk为其“相近”作物恰有k株的作物株数（k=1，2，3，4），则n1=2，n2=4，n3=6，n4=3 由P（X=k）=

得P（X=1）=

，P（X=2）=

48

+48×

+45×+42×=46

45

，P（X=3）=

=，P（X=4）=

42

=

∴所求的分布列为 Y 51 P

数学期望为E（Y）=51×

【点评】本题考查古典概率的计算，考查分布列与数学期望，考查学生的计算能力，属于中档题．

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24．【答案】

【解析】【命题意图】本题考查相交弦定理、三角形相似、切割线定理等基础知识，意在考查逻辑推理能力．

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