指数函数

基础自测

1.已知a＜

14，则化简4(4a1)2的结果是 （ ） A.4a1 B.-4a1

C.14a D.-14a

答案C

2.设指数函数f(x)=ax

(a＞0且a≠1)，则下列等式不正确的是 （ ）  A.f(x+y)=f(x)·f(y) B.f((xy)n

)=f n

(x)·f n

(y)

C.f(x-y)=

f(x)f(y) D.f(nx)=f n

(x) 答案B

3.函数f(x)=ax-b

的图象如图所示，其中a、b为常数，则下列结论正确的是 （ A.a＞1,b＞0 B.a＞1,b＜0 C.0＜a＜1,b＞0 D.0＜a＜1,b＜0 答案D

4.关于函数f(x)=2x

-2-x

(x∈R)，有下列三个结论：

①f(x)的值域为R； ②f(x)是R上的增函数；

③对任意x∈R,有f(-x)+f(x)=0成立.

其中全部正确的结论是 （ ）A.①②③  B.①③ C.①② D.②③ 答案A 5.已知集合M={-1,1},N={x|

12＜2x+1

＜4,x∈Z },则M∩N等于 （ ） A.{-1,1} B.{-1}  C.{0} D.{-1,0} 答案B

例1已知a=

19,b=9.求： 37（1）a2a33a83a15;

a1b1（2）(ab)1.

71解 （3151）原式=a23.a213÷［a

(813)2·a312］

7= a612(4532)=a12.

） ≧a=

19，≨原式=3. （2）方法一 化去负指数后解.

1 a1b1a1abbab(ab)111ab.≧a=19,b9,≨a+b=829. abab方法二 利用运算性质解.

a1b1(ab)1a1b111a1b1a1b1b1a1ba. ≧a=19,b9,≨a+b=829.

例2 函数f(x)=x2-bx+c满足f(1+x)=f(1-x)且f(0)=3,则f(bx)与f(cx

)的大小关系是 A.f(bx

)≤f(cx

) B.f(bx

)≥f(cx

)

C.f(bx

)＞f(cx

) D.大小关系随x的不同而不同答案A

例3 求下列函数的定义域、值域及其单调区间：

（1）f(x)=3

x25x4; （2）g(x)=-(114)x4(2)x5.

解 （1）依题意x2

-5x+4≥0, 解得x≥4或x≤1,

≨f（x）的定义域是（-≦，1］∪［4，+≦）.

令u=x25x4(x592)24,≧x∈（-≦，1］∪［4，+≦），

≨u≥0，即x25x4≥0，而f(x)=3x25x4≥30

=1,

≨函数f(x)的值域是［1，+≦）.

≧u=(x592)24,≨当x∈（-≦，1］时，u是减函数，

当x∈［4，+≦）时，u是增函数.而3＞1,≨由复合函数的单调性可知， f（x）=3

x25x4在（-≦，1］上是减函数，在［4，+≦）上是增函数.

故f（x）的增区间是［4，+≦），减区间是（-≦，1］. （2）由g(x)=-(1)x4(1)x5(1)2x14224(2)x5,

≨函数的定义域为R，令t=(1x22

2) (t＞0),≨g(t)=-t+4t+5=-(t-2)+9,

≧t＞0,≨g(t)=-(t-2)2

+9≤9,等号成立的条件是t=2,

即g(x)≤9,等号成立的条件是(12)x=2，即x=-1，≨g（x）的值域是（-≦，9］.

由g(t)=-(t-2)2

+9 (t＞0),而t=(12)x是减函数，≨要求g(x)的增区间实际上是求g(t)的减区间，求g(x)的减区间实际上是求g(t)的增区间.

） （

≧g（t）在（0，2］上递增，在［2，+≦）上递减， 由0＜t=(12)x≤2,可得x≥-1,由t=(12)x≥2,可得x≤-1.

≨g（x）在［-1，+≦）上递减，在（-≦，-1］上递增，

故g(x)的单调递增区间是（-≦，-1］，单调递减区间是［-1，+≦）. 例4 （12分）设a＞0,f(x)=exaaex是R上的偶函数.

（1）求a的值；

（2）求证：f(x)在（0，+∞）上是增函数.

（1）解 ≧f（x）是R上的偶函数，≨f（-x）=f（x）， 1ex≨aaexexaaex,

≨（a-1a)(ex1ex)=0对一切x均成立， ≨a-

1a=0，而a＞0,≨a=1. 4（2）证明 在（0，+≦)上任取x1、x2，且x1＜x2, 5则f(x11)-f(x2)=ex1 +

-ex21ex-1ex 2=(ex2ex1) (

1ex1x21).

≧xx122x1＜x2,≨eex,有exe10.

≧x1＞0,x2＞0,≨x1+x2＞0,≨ex1x2＞1, 101ex-1＜0.≨f(x1)-f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2),

1x2故f(x)在（0,+≦）上是增函数. 12

1.化简下列各式（其中各字母均为正数）:

2111（1）

(a3b1)2a2b36ab5;

51121（2）

6a3b2(3a2b1)(4a3b3)2. 11113解 （1）原式=

ab2a2b3111115a326b21536a0b01.

a6b6（2）原式=-5116332ab(2a·b312)54a16b3(a3b32)54a12b32515ab4ab34ab2. 2.已知实数a、b满足等式(12)a(13)b，下列五个关系式：

①0＜b＜a;②a＜b＜0;③0＜a＜b;④b＜a＜0;⑤a=b.

分3分

分 分 8分

分

分

其中不可能成立的关系式有 （ ） A.1个  B.2个 C.3个 D.4个 答案B

3.求下列函数的单调递增区间： 1（1）y=()6x2x;(2)y=2xx6.

222解 （1）函数的定义域为R. 12

令u=6+x-2x,则y=()u.

2≧二次函数u=6+x-2x的对称轴为x=在区间［

2

1, 412

，+≦）上，u=6+x-2x是减函数， 41u

又函数y=()是减函数，

211≨函数y=()6x2x在［，+≦）上是增函数.

24211故y=()6x2x单调递增区间为［，+≦）.

242（2）令u=x-x-6,则y=2, ≧二次函数u=x-x-6的对称轴是x=在区间［

2

2u

1, 212

，+≦）上u=x-x-6是增函数. 2u

又函数y=2为增函数， ≨函数y=2xx6在区间［

221，+≦）上是增函数. 21，+≦）. 2故函数y=2xx6的单调递增区间是［

2x4.已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x∈(0,1)时，f(x)=x.

41（1）求f（x)在［-1，1］上的解析式； （2）证明：f(x)在（0，1）上是减函数. （1）解 当x∈(-1,0)时，-x∈(0,1). ≧f（x）是奇函数，≨f（x）=-f（-x）=-

2x2x.由f(0)=f(-0)=-f(0)，且f(1)=-f(-1)=-f(-1+2)=-f(1),4x14x12x4x1x2得f(0)=f(1)=f(-1)=0.≨在区间［-1，1］上，有f（x）=x4102x. (2)证明 当x∈(0,1)时，f(x)=x41x(0,1)x(1,0) x1,0,1设0＜x1＜x2＜1,

2x2x(2x2x)(2xx1)则f(x1)-f(x2)=x,

414x1(4x1)(4x1)1221121212≧0＜x1＜x2＜1,≨2x2x＞0，2

21x1x2-1＞0,≨f(x1)-f(x2)＞0,即f(x1)＞f(x2),

故f(x)在（0，1）上单调递减.

一、选择题

2111.2,(),33的大小顺序为 （ ）

312112122 A.32() B.233()1

331312111122C.（)12233 D.22()133

33答案 B

2.若a＜0,则 （ ） A.2a＞(C.(

1a1aaa

)＞(0.2) B.(0.2)＞()＞2a 221a1aaa

)＞(0.2)＞2a D.2a＞(0.2)＞() 22x

x

答案B

3.若函数y=4-3·2+3的定义域为集合A，值域为［1，7］，集合B=（-∞，0］∪［1，2］，则集合A与集合B的关 系为 ( )  A.AB B.A=B  C.BA D.无法确定 答案 B

4.（2009·保定模拟）若f(x)=-x+2ax与g(x)=(a+1)在区间［1，2］上都是减函数，则a的取值范围是 ( ）

A.（-1，0） B.（-1，0）∪（0，1］ C.（0，1］ D.（0，1） 答案C

5.设函数f(x)=a(a＞0,且a≠1),f(2)=4,则 （ ）A.f(-2)＞f(-1) B.f(-1)＞f(-2) 答案A

6.当x＞0时，函数f(x)=(a-1)的值总大于1，则实数a的取值范围是 （ ） A.1＜|a|＜2 B.|a|＜1  答案C 二、填空题

7.若函数f(x)=a-1 (a＞0,a≠1)的定义域和值域都是［0，2］，则实数a等于 . 答案 3

8.函数y=a（a＞0,且a≠1）在［1，2］上的最大值比最小值大

x

x

2

x

-|x|

2

1-x

C.f(1)＞f(2) D.f(-2)＞f(2)

C.|a|＞2 D.|a|＜2

a，则a的值是 . 2答案

13或 22x

x

三、解答题

9.要使函数y=1+2+4a在x∈（-，1］上y＞0恒成立，求a的取值范围.

12x解 由题意得1+2+4a＞0在x∈（-,1］上恒成立，即a＞-x在x∈（-≦，1］上恒成立.

4x

x

12x11111又≧-x=-()2x()x()x,

4222422111111≧x,1,≨()x,.令t=()x,则f(t)(t)2,t,.

222422则f(t)在［

1,+）上为减函数， 211113f(t)≤f()=-()2,

224423即f(t)∈,.

4≧a＞f(t),≨a∈（-10.已知函数f(x)=(

3，+）. 4113)x. 2x12（1）求f(x)的定义域； （2）讨论f(x)的奇偶性； （3）证明：f(x)＞0.

（1）解 由2-1≠0x≠0,≨定义域为（-≦,0）∪(0,+≦).

x

（2）解 f(x)=(

11)x3 212x2x13可化为f(x)=x,

2(2x1)2x12x133则f(-x)=(x)xf(x).

2(2x1)2(2x1)≨f(x)=（

113

)x是偶函数. 212x（3）证明 当x＞0时，2＞1,x＞0. ≨（

113

)x＞0. 2x12x3

≧f(x)为偶函数，≨当x＜0时，f(x)=f(-x)＞0. 综上可得f(x)＞0. 11.已知函数f(x)=

ax-x

（a-a） (a＞0，且a≠1). a12（1）判断f(x)的单调性；

（2）验证性质f(-x)=-f(x),当x∈(-1,1)时，并应用该性质求满足f(1-m)+f(1-m)＜0的实数m的范围. 解 （1）设x1＜x2,x1-x2＜0,1+

1ax1x22

＞0.

若a＞1,则axax,

12a＞0, a1212所以f(x1)-f(x2)=

a1(axax)(1xx)＜0， a1a212即f(x1)＜f(x2),f(x)在（-≦,+≦）上为增函数； 同理，若0＜a＜1，则axax,

12a＜0, a21f(x1)-f(x2)=

a1(axax)(1+xx)＜0,

aa112212即f(x1)＜f(x2),f(x)在（-≦,+≦）上为增函数. 综上，f(x)在R上为增函数. （2）f(x)=

aaxx则f(-x)=(aa),(axax), 22a1a12

2

2

显然f(-x)=-f(x).f(1-m)+f(1-m)＜0, 即f(1-m)＜-f(1-m)f(1-m)＜f(m-1),

2

函数为增函数，且x∈(-1,1)，故解-1＜1-m＜m-1＜1,可得1＜m＜2.

10x10x12.已知f（x）=x.

1010x（1）判断函数奇偶性；

（2）证明：f（x）是定义域内的增函数； （3）求f（x）的值域.

（1）解 ≧f（x）的定义域为R， 10x10x且f（-x）=x=-f（x），

1010x≨f（x）是奇函数.

10x10x102x121（2）证明 方法一 f（x）=x.

1010x10211021xx令x2＞x1，则f（x2）-f（x1）

102x102x=(1-2x )(12x)2101101(102x1)(102x1)21212122当x2＞x1时，102x2-102x＞0.又≧10

12x1+1＞0,102x+1＞0，

2故当x2＞x1时，f（x2）-f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1）.所以f（x）是增函数. 方法二 考虑复合函数的增减性. 由f（x）=

2x

10x10x2x

12x.≧y1=10为增函数， xx101010121012x≨y2=10+1为增函数，y3=y4=-2102x1为减函数，

为增函数， 2f(x)=1-

1012x为增函数.

10x10x≨f（x）=x在定义域内是增函数.

1010x102x12x1y（3）解 方法一 令y=f（x），由y=2x. ,解得10=

1011y≧10＞0，≨-1＜y＜1. 即f（x）的值域为（-1，1）. 方法二 ≧f（x）=1-≨0＜

2102x121012x2x

,≧10＞0,≨10+1＞1. 22x2x

＜2,≨-1＜1-

102x1＜1,即值域为(-1,1).