线性代数超强的总结(不看你会后悔的)

A不可逆 A可逆 r(A)n r(A)n Ax0只有零解 AAx有非零解 0是的特征值A A的特征值全不为零 A的列（行）向量线性相关 AA的列（行）向量线性无关 ATA是正定矩阵 A与同阶单位阵等价 Ap1p2ps,pi是初等阵 nR,Ax总有唯一解向量组等价具有相似矩阵反身性、对称性、传递性矩阵合同√ 关于e1,e2,,en：

①称为:n的标准基，:n中的自然基，单位坐标向量；②e1,e2,,en线性无关；③e1,e2,,en1；

ginit a t a④tr(E)=n；

⑤任意一个n维向量都可以用e1,e2,,en线性表示.

1

emn aA dhtll gini sht neb rieging er aooof ds rnihtemo√ 行列式的计算：

AAA ① 若A与B都是方阵（不必同阶）,则

BBBABAB(1)mnAB ②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.

a1na1n ③关于副对角线：

a2n1a2n1n(n1)2(1)a1na2nan1an1an1√ 逆矩阵的求法:

①A1AAheir ②(AE)初等行变换(EA1)sn t③ab11dbABATCTcdadbcca CDBTDTa111a1d All thTing ia11④a2a 2ie a1a2namn1aann1a1g at a t2

nr somethigood fo are eing1an1a2inbA1⑤A2A11An1A21A2 An1AnA11A11A21An1√ 方阵的幂的性质：AmAnAmn (Am)n(A)mn√ 设f(x)amxmam1xm1a1xa0，对n阶矩阵A规定：f(A)amAmam1Am1a1Aa0E为A的一个多项式.√

则：即ri Ai,i1,2,,s, 若则 (b1,b2,,bn)T,设Amn,Bns,A的列向量为1,2,,n,B的列向量为1,2,,s，AB的列向量为r1,r2,,rs,

A(1,2,,s)(A1,A2,,As)Ab11b22bnn即：的第个列向量是的列向量的线性组合组合系数就是的各分量；ABiriA,i AB的第个行向量是的行向量的线性组合组合系数就是的各分量iriB,i√ 用对角矩阵左乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量；用对角矩阵右乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量.√ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,

A11与分块对角阵相乘类似,即：Aginit a t aemn aA dA22htll B11,BAkkgini sht nB22eb rie用中简A,B 单的一个提高运算速度. ging er aooof ds rnihtemoBkk3

A11B11ABA22B22AkkBkk√ 矩阵方程的解法：设法化成(I)AXB 或 (II)XAB 当A0时,

初等行变换 (I)的解法：构造(AB)(EX)（当为一列时B, 即为克莱姆法则）(II)的解法：将等式两边转置化为，ATXTBT

用(I)的方法求出，再转置得XTX√ Ax和Bx同解（A,B列向量个数相同）,则：

① 它们的极大无关组相对应,从而秩相等；

② 它们对应的部分组有一样的线性相关性； ③ 它们有相同的内在线性关系.

√ 判断1,2,,s是Ax0的基础解系的条件： ① 1,2,,s线性无关；

② 1,2,,s是Ax0的解；

ginit a t a③ snr(A)每个解向量中自由变量的个数.

4

emn aA dhtll gini sht neb rieging er aooof ds rnihtemo①零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.②单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.③部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关.

④原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关.⑤两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关.⑥向量组1,2,,n中任一向量i(1≤i≤n)都是此向量组的线性组合.

⑦向量组1,2,,n线性相关向量组中至少有一个向量可由其余n1个向量线性表示.

向量组1,2,,n线性无关向量组中每一个向量i都不能由其余n1个向量线性表示.⑧m维列向量组1,2,,n线性相关r(A)n； m维列向量组1,2,,n线性无关r(A)n.⑨r(A)0A.

⑩若1,2,,n线性无关，而1,2,,n,线性相关,则可由1,2,,n线性表示,且表示法惟一.⑪矩阵的行向量组的秩等于列向量组的秩.阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数.

⑪矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩,且不改变列向量间的线性关系. 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行向量间的线性关系.

ginit a t aemn aA dhtll gini sht neb rieging er aooof ds rnihtemo5

向量组等价 1,2,,n和1,2,,n可以相互线性表示. 记作：1,2,,n1,2,,n矩阵等价 A经过有限次初等变换化为B. 记作：AB⑪矩阵A与B等价r(A)r(B)A,B作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价.矩阵A与B作为向量组等价r(1,2,,n)r(1,2,,n)r(1,2,n,1,2,,n)矩阵A与B等价.

⑪向量组1,2,,s可由向量组1,2,,n线性表示r(1,2,n,1,2,,s)r(1,2,,n)r(1,2,,s)≤r(1,2,,n).⑪向量组1,2,,s可由向量组1,2,,n线性表示,且sn，则1,2,,s线性相关.向量组1,2,,s线性无关,且可由1,2,,n线性表示,则s≤n.

⑪向量组1,2,,s可由向量组1,2,,n线性表示,且r(1,2,,s)r(1,2,,n),则两向量组等价；⑪任一向量组和它的极大无关组等价.

⑪向量组的任意两个极大无关组等价,且这两个组所含向量的个数相等.⑪若两个线性无关的向量组等价,则它们包含的向量个数相等.

⑪若A是mn矩阵,则r(A)minm,n,若r(A)m，A的行向量线性无关； 若r(A)n，A的列向量线性无关,即：

1,2,,n线性无关.

ginit a t aemn aA dhtll gini sht neb rieging er aooof ds rnihtemo6

线性方程组的矩阵式 Ax 向量式 x11x22xnna11aA21am1a12a1n1jx1b1xba22a2n,x2,2 2j,j1,2,,njam2amnxbnmmjginit a t aemn aA dhtll gini sht neb rieging er aooof ds rnihtemo7

可由线性表示有解1,2,,nAx不可由线性表示无解1,2,,n Ax当为方阵时AAx有无穷多解有非零解AxA0n1,2,,n线性相关 当为方阵时AAx有唯一组解只有零解AxA0r(A)r(A)n1,2,,n线性无关 当为方阵时A克莱姆法则 r(A)r(A) r(A)r(A)r(A)1r(A)矩阵转置的性质：(AT)TA(AB)TBTAT(kA)TkAT矩阵可逆的性质：(A1)1A(AB)1B1A1伴随矩阵的性质：

ginit a t a(A)Aemn aAA dhtll gini sht neb rieging er aooof ds rnihtemoATA(AB)TATBT(kA)1k1A1A1A1(A1)T(AT)1(A1)k(Ak)1Akn2(AB)BA(kA)kn1AAAn1(A1)(A)1(AT)(A)TAA(A)k(Ak)AAAAAE8

n 若r(A)n r(A)1 若r(A)n10 若r(A)n1 ABABkAknAAkAkginit a t aemn aA dhtll gini sht neb rieging er aooof ds rnihtemo9

√ 设A为mn矩阵,若r(A)m,则r(A)r(A),从而Ax一定有解. 当mn时,一定不是唯一解. m是r(A)和r(A)的上限.√ 矩阵的秩的性质：

① r(A)r(AT)r(ATA) ② r(AB)≤r(A)r(B)ing方程个数未知数的个数向量维数向量个数e a⑦ 若且则Amn,Bns,P,Q,则⑧ 若可逆ndA0,⑥若则 AA ⑤ rr(A)r(B)Bll thinr(A) 若k0 ④ r(kA)0 若k0r(A)≥1r(AB)0,gs ③ r(AB)≤minr(A),r(B)r(PA)r(AQ)r(A)a timA,r(AB)r(B)⑨ 若可逆则若可逆则B,r(AB)r(A)r(AB)r(B),且A在矩阵乘法中有左消去律:

10

hing at r(A)n, ⑩ 若则 in thr(A)r(B)≤neir be are g(1) 1,2是的解也是它的解Ax0,12(2) 是的解对任意也是它的解Ax0,k,k齐次方程组(3) ,,,是的解对任意个常数Ax0,k12k 1,2,,k,1122kk也是它的解线性方程组解的性质：(4) 是的解是其导出组的解是的解Ax,Ax0,Ax(5) ,是的两个解是其导出组的解Ax,12Ax012(6) 2是的解则也是它的解是其导出组的解Ax,112Ax0Ax,(7) 1,2,,k是的解则 也是的解Ax12k11122kkAx012k01122kk是的解 ,则该向量组线性相关.

ood for somethin

标准正交基 n个n维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.

AB0B ABACBC是单位向量 (,)1.

√ 内积的性质： ① 正定性：(,)0,且(,)0 ② 对称性：(,)(,)③ 双线性：(,12)(,1)(,2) (12,)(1,)(2,) (c,)(c,)(,c)施密特 1,2,3线性无关,

gs 单位化：1正交矩阵 AATE.

e aa tim at A的特征矩阵 EA.

11

hingnd√ 正交矩阵的性质：① ATA1；

② AATATAE；

③ A是正交阵,则AT（或A1）也是正交阵；④ 两个正交阵之积仍是正交阵；⑤ 正交阵的行列式等于1或-1.

A√ A是正交矩阵的充要条件：A的n个行（列）向量构成:n的一组标准正交基.

ll thin in11(,) 正交化22211(11)(3,1)(3,2)2331(11)(22) th1 22 33123eir being are good for与正交 (,)0.

somethinA的特征多项式 EAf().

xA的特征方程 EA0. Axx  Ax与线性相关√ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n各元素.

√ 若A0,则0为A的特征值,且Ax0的基础解系即为属于0的线性无关的特征向量.√ A12n itrA1n√

① f(A)的全部特征值为f(1),f(2),,f(n)；

1② 当A可逆时,A1的全部特征值为,12,,1n,1 their be√ 若A的全部特征值1,2,,n，f(x)是多项式,则:

A的全部特征值为1,2,,n.

A inll tkAaAbE1A√ 是的特征值则A,:分别有特征值2AAmAkab1gshin2mA. Aa timkAaAbE1A√ x是关于的特征向量则也是关于的特征向量A,x.2AAmAndkab1e a2mAA与B相似 BP1AP （P为可逆阵） 记为：A:B at √ A相似于对角阵的充要条件：A恰有n个线性无关的特征向量. 这时,P为A的特征向量拼成

hing12

ingA的特征值为：1trAa1b1a2b2anbn, 23n0.

A are gAa1a若r(A)1,则A一定可分解为A=2b1,b2,,bn、A2(a1b1a2b2anbn)A,从而

anood for somethin的矩阵，P1AP为对角阵,主对角线上的元素为A的特征值.√ A可对角化的充要条件：nr(iEA)ki ki为i的重数.√ 若n阶矩阵A有n个互异的特征值,则A与对角阵相似.

A与B正交相似 BP1AP （P为正交矩阵）√ 相似矩阵的性质：① A1:B1 若A,B均可逆

② AT:BT③ Ak:Bk （k为整数）

④ EAEB,从而A,B有相同的特征值,但特征向量不一定相同.即:

⑥ r(A)r(B)⑦ tr(A)tr(B)√ 数量矩阵只与自己相似.√ 对称矩阵的性质：

① 特征值全是实数,特征向量是实向量； ② 与对角矩阵合同；

③ 不同特征值的特征向量必定正交；

④ k重特征值必定有k个线性无关的特征向量；

√ 若A为可对角化矩阵,则其非零特征值的个数（重数重复计算）r(A).

at √ 设i为对应于i的线性无关的特征向量,则有：

13

hinga timA可以相似对角化 A与对角阵相似. 记为：A: （称是A的相似标准型）e and⑤ 必可用正交矩阵相似对角化（一定有n个线性无关的特征向量,A可能有重的特征值,重数=nr(EA)）.

All things in their be⑤ AB 从而A,B同时可逆或不可逆

ingx是A关于0的特征向量,P1x是B关于0的特征向量.

are good for somethin二次型 f(x1,x2,,xn)XTAX A为对称矩阵 X(x1,x2,,xn)T,CA与B合同 BCTAC. 记作：A:B （A,B为对称阵为可逆阵√ 两个矩阵合同的充分必要条件是：它们有相同的正负惯性指数.√ 两个矩阵合同的充分条件是：A:B√ 两个矩阵合同的必要条件是：r(A)r(B)正交变换T their being√ f(x1,x2,,xn)XAX经过合同变换XCY化为f(x1,x2,,xn)diyi2标准型.

1 in可逆线性变换 are g）

n√ 若A:B,则f(A):f(B),f(A)f(B).

oor(A)正惯性指数负惯性指数AB√ 若A:B, C:D,则：.:CD√ 二次型的标准型不是惟一的,与所作的正交变换有关,但系数不为零的个数是由惟一确定的.

d for12.A(1,2,,n)(A1,A2,,An)(11,22,,nn)1,2,,nnP so

√ 实对称矩阵的正（负）惯性指数等于它的正（负）特征值的个数.

at 111合同.√ 任一实对称矩阵A与惟一对角阵100a time and All t√ 当标准型中的系数di为1，-1或0时,则为规范形 .hingshing14

methin√ 用正交变换法化二次型为标准形:

①求出A的特征值、特征向量；②对n个特征向量单位化、正交化；③构造C（正交矩阵）,C1AC；

n④作变换XCY,新的二次型为f(x1,x2,,xn)diyi2,的主对角上的元素di即为A的

d for somethin1特征值.

正定二次型 x1,x2,,xn不全为零，f(x1,x2,,xn)0.r正定矩阵 正定二次型对应的矩阵.a √ 合同变换不改变二次型的正定性.gni√ 成为正定矩阵的充要条件（之一成立）：

eb①正惯性指数为n； ri②A的特征值全大于0；

eht③A的所有顺序主子式全大于0n；

i④A合同于E，即存在可逆矩阵 sQ使QTAQE；

⑤存在可逆矩阵P，使gnAPTP （从而A0）；

ih1⑥存在正交矩阵，使t 2lCTACC1ACl A n√ 成为正定矩阵的必要条件：dnaii0 ； A0.

a emit a t15

oogi大于0）. a（hinge