(新课程)高中数学《3.1.1两角差的余弦公式》教案 新人教A版必修4

本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦、和正切公式，以及运用这些公式进行简单的恒等变换.

三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.通过本章学习，要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生体会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用.

1. 了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用； 2. 理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；

3. 运用上述公式进行简单的恒等变换，以引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式（不要求记忆）作为基本训练，使学生进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用.

二、编写意图与特色

1. 本章的内容分为两节：“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”，“简单的三角恒等变换”，在学习本章之前我们学习了向量的相关知识，因此作者的意图是选择两角差的余弦公式作为基础，运用向量的知识来予以证明，降低了难度，使学生容易接受； 2. 本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式；

3. 本章在内容的安排上有明暗两条线，明线是建立公式，学会变换，暗线是发展推理和运算的能力，因此在本章全部内容的安排上，特别注意恰时恰点的提出问题，引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题，强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识； 4. 本章在内容的安排上贯彻“删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末叶的内容”的理念，严格控制了三角恒等变换及其应用的繁、难程度，尤其注意不以半角公式、积化和差、和差化积公式作为变换的依据，而只把这些公式的推导作为变换的基本练习. 三、教学内容及课时安排建议

本章教学时间约8课时，具体分配如下：

3.1两角和与差的正弦、余弦、和正切公式 约3课时 3.2简单的恒等变换 约3课时 复习 约2课时

§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

一、课标要求：

本节的中心内容是建立相关的十一个公式，通过探索证明和初步应用，体会和认识公式的特征及作用. 二、编写意图与特色

本节内容可分为四个部分，即引入，两角差的余弦公式的探索、证明及初步应用，和差公式的探索、证明和初步应用，倍角公式的探索、证明及初步应用. 三、教学重点与难点

1. 重点：引导学生通过独立探索和讨论交流，导出两角和差的三角函数的十一个公式，并

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了解它们的内在联系，为运用这些公式进行简单的恒等变换打好基础；

2. 难点：两角差的余弦公式的探索与证明. 3.1.1 两角差的余弦公式

一、教学目标

掌握用向量方法建立两角差的余弦公式.通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础. 二、教学重、难点

1. 教学重点：通过探索得到两角差的余弦公式；

2. 教学难点：探索过程的组织和适当引导，这里不仅有学习积极性的问题，还有探索过程必用的基础知识是否已经具备的问题，运用已学知识和方法的能力问题，等等. 三、学法与教学用具 1. 学法：启发式教学 2. 教学用具：多媒体 四、教学设想：

（一）导入：我们在初中时就知道 cos4523，cos30，由此我们能否得到22cos15cos4530?大家可以猜想，是不是等于cos45cos30呢？

根据我们在第一章所学的知识可知我们的猜想是错误的！下面我们就一起探讨两角差的余弦公式cos? （二）探讨过程：

在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角的终边与单位圆的交点为P1，cos等于角与单位圆交点的横坐标，也可以用角的余弦线来表示，大家思考：怎样构造角和角？（注意：要与它们的正弦线、余弦线联系起来.）

展示多媒体动画课件，通过正、余弦线及它们之间的几何关系探索cos与

cos、

cos、

sin、

sin之间的关系，由此得到

cos()coscossinsin，认识两角差余弦公式的结构.

思考：我们在第二章学习用向量的知识解决相关的几何问题，两角差余弦公式我们能否用向

量的知识来证明？

提示：1、结合图形，明确应该选择哪几个向量，它们是怎样表示的？

2、怎样利用向量的数量积的概念的计算公式得到探索结果？

2

展示多媒体课件

比较用几何知识和向量知识解决问题的不同之处，体会向量方法的作用与便利之处. 思考：cos?，coscos，再利用两角差的余弦公式得出

coscoscoscossinsincoscossinsin

（三）例题讲解

例1、利用和、差角余弦公式求cos75、cos15的值. 解：分析：把75、15构造成两个特殊角的和、差.

cos75cos4530cos45cos30sin45sin3023216222224 cos15cos4530cos45cos30sin45sin30232162 22224点评：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：

cos15cos6045，要学会灵活运用.

例2、已知sin54，,,cos,是第三象限角，求cos的值.

135223442解：因为,，sin由此得cos1sin1

552512552又因为cos,是第三象限角，所以sin1cos1

131313所以cos()coscossinsin23335412 51351365点评：注意角、的象限，也就是符号问题.

（四）小结：本节我们学习了两角差的余弦公式，首先要认识公式结构的特征，了解公式的推导过程，熟知由此衍变的两角和的余弦公式.在解题过程中注意角、的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.

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