各向异性复合材料周期性Ⅱ型裂纹尖端应力分析

第３２卷第６期　太原科技大学学报　Ｖｏ１．３２　Ｎｏ．６　Ｄｅｃ．２０１　１　２０１　１年１２月　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＴＡＩＹＵＡＮ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ　ＯＦ　ＳＣＩＥＮＣＥ　ＡＮＤ　ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ　文章编号：１６７３—２０５７（２０１１）０６—０４８８—０５　各向异性复合材料周期性Ⅱ型裂纹尖端应力分析　陈　云　，谢秀峰　，李俊林　（１．黎明职业大学，福建泉州３６２０００；２．太原科技大学应用科学学院，太原０３００２４）　摘要：对各向异性复合材料板的周期性Ⅱ型裂纹尖端应力场进行了有关的力学分析，通过求解一　类线性偏微分方程的边值问题，引入Ｗｅｓｔｅｒｇａａｒｄ应力函数、采用复变函数方法及待定系数法，给出在无　穷远处受对称载荷　ｒ作用下，周期性Ⅱ型裂纹尖端的应力强度因子，推出了各向异性复合材料板周期性　Ⅱ型裂纹尖端附近应力场的理论计算公式。　关键词：应力场；周期性裂纹；偏微分方程；复变函数方法　中图分类号：０３４６．１　文献标志码：Ａ　纤维增强复合材料是２１世纪迅速发展的材料之一，其具有比强度高、比刚度高、抗疲劳性能好、结构可　设计等优点。如今，以各种先进纤维和各种高性能基体制造的复合材料已经广泛应用于工业领域和人们的　日常生活中。在航空航天领域，以各种复合材料制造的结构部件已经占到整个结构的相当比例，在交通运　输和汽车工业有复合材料铁路客车、汽车车体、各种船舶及其部件。但是，复合材料在高应力状态下，内部　极易产生开裂，周期性分布裂纹是材料结构中的一个重要而又较难解决的问题。路见可¨　应用周期Ｒｉｅ—　ｍａｎｎ边值问题的求解法讨论了各向同性介质的周期性裂纹平面问题。蔡海涛　应用Ｈｉｌｂｅｒｔ核积分方法对　各向异性平面弹性理论的周期问题进行了研究，他们的方法比较复杂。贾红刚＿３　应用保角映射法　对正交　异性复合材料板星形周期性裂纹的应力进行了分析。本文采用复变函数方法和待定系数法，对各向异性复　合材料板的周期性Ⅱ型裂纹尖端应力场进行了有关的力学分析，通过引人Ｗｅｓｔｅｒｇａａｒｄ应力函数，推出了各　向异性复合材料板周期性Ⅱ型裂纹尖端附近应力场的理论计算公式。　．．．．．．．－　．　．＋　．．．．．．．，　．．．．．－．．　１力学模型　设无限大线弹性各向异性纤维复合材料板，如图１　所示，含有相距为２６，裂纹长为２ｏ的共线周期排列的　ｌ　。　ｌ　穿透裂纹，且　轴与纤维方向所成的角为　，受反对称　载荷　的作用。　程　（相容方程）为：　ｌ　．　＋—一＋—一　●—一＋—一　在平面应力状态下，二维线弹性体的应变协调方　ｌ　图１含周期性Ⅱ型裂纹的各向异性板　Ｆｉｇ．１　Ａｎｉｓｏｔｒｏｐｉｃ　ｐｌａｔｅ　ｗｉｔｈ　ｐｅｒｉｏｄｉｃⅡｃｒａｃｋｓ　收稿日期：２０１１－０４－１８　基金项目：太原科技大学博士科研基金（２００８２００９）　作者简介：陈云（１９７８一），女，讲师，硕士，主要研究方向为数学模型分析及其应用。　第３２卷第６期　陈云，等：各向异性复合材料周期性ｌＩ型裂纹尖端应力分析４８９　ｄＶ　，　ｙ　：磐　＝一Ｏ。　，　＂＝一：÷　　ｘ＂ｄｘｄｙ　（２（））　其中０　０ｌ２，口１６，０２２，口２６，０－，６６是非弹性主方向的柔度系数。　医　目　，　。　＝。　㈩　㈩　（５ａ）　将式（２），式（３）代入式（１），得到各向异性复合材料板平面问题的基本方程　引。　。砣　对于图１所示的周期性裂纹，受反对称载荷ｒ作用，其边界条件如下：　∞时：　＿０，一　＝　ｙ＝Ｏ，２ｎｂ－ａ＜ｘ＜２ｎｂ＋ａ时：警　＝ｄ　　Ｏｄ　ｙ　＿０．（删’±１＇±２…）　当　∞时：一　０２４，＝　＝ｒ　（、　５ｂ）　（５ｃ）　由此，各向异性纤维复合材料板的周期性裂纹尖端的断裂问题归结为求解线性偏微分方程的边界问　假设应力函数　将式（６）代入式（４），得到特征方程　ａｌｌｓ４－＝　（　＋　）　（６）　２ａ１６ｓ　＋（２口１２＋０，６６）　一２ａ２６ｓ＋口２２＝０　（７）　Ｃ．ｒ．列赫尼茨基指出，式（７）的特征根有两种基本情况：互不相同或成对相等的共轭复根　引：　其中ａ，卢，’，，　是实数，且』Ｂ＞０，　＞０．　或　记　ｓ　＝　＋　，ｓ：＝　－ｉ＃，ｓ　＝ｉ　，ｓ　＝＿２　＝　＋　ｙ＝　＋ｉｙ，．ｊ＝１，２　（９）　（１０）　当特征根是式（８）时，得：　当特征根是式（９）时，得：　ｌ＝　＋　，Ｙ１＝　；　２＝　＋　，ｙ２＝　ｌ＝　＋ｏｔｙ，ｙｌ＝　；　２＝　＋ｃｒｙ，，，２＝一Ｂｙ　（１１）　（１２）　由式（１０）和柯西－黎曼方程基本方程式（４）可化为广义重调和方程：　；　＝（壶＋矗）（矗＋蕞）　＝０　２引入应力函数　由式（１３）知，方程式（４）在　平面上有实值解析解：　２．——．——　（・３）　［　Ｒｅ（　）＋哆Ｉｍ（　）】√＝１，２　（１４）　其中　＝　（　＝　（　警＝　警＝　，２　，（１５）　利用式（１０），式（１１），式（１２），注意到受对称载荷．ｒ作用，将式（１４），式（１５）代入式（４）得应力场为：　４９０　太原科技大学学报　：　：∑２［Ｌ　勺Ｒｅ（２０　Ｌ　Ｓｊ　）＋ａ　＋　ｊ　ｌｍ（ｓＬ　ｊ　）］ｆ，Ｊ　０Ｖｉ—＝—ｌ　。　Ｏｒｙ　：　：　刍　Ｅ　ｃｌｆｅ（。Ｌ　）＋　＋　Ｉ　ｍ　ｍ（　）］　：　Ｏ：一∑２　Ｅ　ｃｘＯ　ｙｉ—　＝　１　＋Ｒｅ（ｓ、Ｊ／Ｐｊ）＋　Ｉｍ（ｓ　‘　Ｊ…　、Ｊ　Ｊｊ　）］　考虑到受对称载荷丁的作用，选取Ｗｅｓｔｅｒｇａａｒｄ应力函数　：　：　（　一　１，２　√　“　／．２　ｎｚ　Ｊ　ｍ　．２，ｉｒａ　当ｙ：ｏ，２凡６一口＜　＜２凡６＋。时，　：一ｉ——　二二　｜．２　ａ　．２　Ｘ　√　“　ｍ　当Ｉｙｌ一∞时，　＝ｒ，　当Ｉｘ　ｌ一∞时，　＝ｒ．（　＝１，２）　若定义周期性裂纹应力强度因子为：ＫⅡ＝ｌｉａｒ［２竹（ｚ，一ａ）］　（ｚ，）　ｒ　将式（１７）代人式（１９），得周期性裂纹的应力强度因子为：　ｕ＝　√２６ｔａｎ　＝　其中　ｙ＿　２ｂｔａｎ，ｈａ＂ｌｆＵ　２ｂ　将式（２０），式（１９）代人式（１７），则在裂纹尖端附近：　当　。时，　（　）＝　或当卜如时，　（　）：　３周期性ｌＩ型裂纹尖端的应力场　（１）当特征根为式（８）时，将式（１６），式（１８）代人边界条件（５），得到：　ｄ１＋ｄ２＝０，　ｃ１＋６ｃ２一　ｄ１一Ｔｄ２＝０　Ｃ１＋Ｃ２＝０，　ＯＬＣ１＋Ｔｃ２＋　旧１＋６ｄ２＝一１　解该方程组，有．ｃ　，ｃ２　，　Ｏ　，１　一（ａ—ｙ）　＋（卢一６）　’，　　¨２一（　—　）　＋（卢一　）　‘・　　将式（２４），式（１７）代人式（１６），得周期性ＩＩ型裂纹尖端附近的应力场　，　，丁　解析表达式：　｛－［（　（　。　）＋２０；Ｂ（　＋　［（　—　）（　一　）＋２　（　一６）］Ｒｅ　１一　ｌ　ｃ０ｓ　＋　，ｓｌｎ　Ｊ　［（卢一６（Ｏｒ－－　）一２ｑＢ（　—　）］Ｉｍ　１＋　Ｉ　ＣＯＳ　＋“１　ｓｉｎ　Ｊ　２０１１矩　（１６ａ）　（１６ｂ）　（１６ｅ）　（１７）　（１８ａ）　（１８ｂ）　（１８ｅ）　（１９）　（２０）　（２１）　（２２）　（２３）　（２４）　第３２卷第６期　陈＝　各向异性复合材料周期性Ⅱ型裂纹尖端应力分析云，等：４９１　（２５ａ）　［（卢一　）（ｙ２＿６２）一２　（　㈨　ＫⅡ　１　１１　）　（ｃｏｓＯ＋／ｚ１ｓｉｎ０）　丽｛（　一ｙ）ａｅ［　（ｃｏｓ０＋　２ｓｉｎＯ）　　（ｃｏｓ０＋　１　ｓｉｎ０）　儿　＋　一（　ｙ＋　）　］＋　（２５ｂ）　（卢一６）Ｉｍ『　（ｃｏｓ０＋／ｚ２ｓｉｎ０）　（　—ｙ）　＋（　一６）　＋　［ｙ　＋６　一（ａｙ＋　）］Ｒｅ　（　ＣＯＳ１＋　，／．ｔ　ｓｉｎ　）　＋　（　一　）Ｉｍ［　１　解该方程组，有：　一　１　】）　Ｃ１＋ｃ２＝Ｏ，ｏｔ（ｃ１＋Ｃ２）＋卢（ｄ１一ｄ２）＝一１　厶ｐ　（２５ｃ）　（２）当特征根为式（９）时，将式（１６），式（１８）代人边界条件（５），得到：　ｄ１＋ｄ２＝０，　（Ｃ１一Ｃ２）一　（ｄ１＋ｄ２）＝０；　（２６）　ｃ　＝ｃ：＝０，ｄ。＝一ｄ　＝一　（２７）　将式（２７），式（１７）代入式（１６），得周期性Ⅱ型裂纹尖端附近的应力场解析表达式：　南去｛一２　Ｒｅ［　１　ｎｎ、…　一　＋　１一…，１／２］＋Ｏｌ－－　・　１　】）　（２８ａ）　（２８ｂ）　Ｋ　ＩＩ　＝　姗【［　（ｃｏｓＯ＋／ｚ２ｓｉｎＯ）　（ｃｏｓ０＋　１　ｓｉｎＯ）　ｍ（ｃｏｓ０＋　２ｓｉｎ０）　（２８ｃ）　４结果和讨论　本文采用较简单的复变函数方法和待定系数法，通过引入Ｗｅｓｔｅｒｇａａｒｄ应力函数，推出了各向异性复合　材料板周期性Ⅱ型裂纹尖端附近应力场的理论计算公式，且裂纹尖端处的应力场与材料常数有关。　（１）式（２０）表明在裂纹尖端ｚ，—　处，应力强度因子ＫⅡ趋于无穷大，在裂纹尖端具有应力奇异性　Ｊ。　（２）应力强度因子随着裂纹长度ａ的增加而增大，这表明各向异性复合材料所含周期性裂纹的长度越　长越容易破坏。　（３）随着间距ｂ的增大，ｙ逐渐趋于常数１，应力强度因子　Ⅱ逐渐趋于　Ｃ４ｇ．当６　ｏ。时，退化为各向　异性复合材料含单个中心裂纹的情形，与文献［３］中的结果完全一致。　这里考虑的是面内断裂Ⅱ型周期性裂纹问题，对于反平面断裂Ⅱ型周期性裂纹问题本文方法也适用。　参考文献：　［１］路见可，蔡海涛．平面弹性理论的周期问题［Ｍ］．长沙：湖南科学技术出版社，１９８６．　［２］蔡海涛．平面各向异性弹性介质的周期裂纹问题［Ｊ］．数学物理学报，１９８２（１）：３５—４４．　［３］　程海霞，李俊林．保角映射方法在各向异性板断裂分析中的应用［Ｊ］．太原科技大学学报，２０１１，３２（３）：２２４－２２８　［４］贾红刚，李俊林．正交异性复合材料板星形裂纹的应力分析［Ｊ］．太原科技大学学报，２０１１，３２（２）：１４８－１５２．　４９２　５　６　７　太原科技大学学报　２０１１正　杨维阳，李俊林，张雪霞．复合材料断裂复变方法［Ｍ］．北京：科学出版社，２００５．　Ｃ　Ｆ列赫尼茨基．各向异性板［Ｍ］．胡海昌，译．北京：科学出版社，１９６３．　胡卫华，吕运冰．周期性Ｉ．Ⅱ复合型裂纹的应力强度因子［Ｊ］．武汉理工大学学报，２００２，２６（１）：１２３－１２５．　ＬＩ　Ｊ　Ｌ，ＺＨＡＮＧ　Ｓ　Ｑ，ＹＡＮＧ　Ｗ　Ｙ．Ｓｔｒｅｓｓ　ｆｉｅｌｄ　ｎｅａｒ　ｉｎｔｅｒｆａｃｅ　ｃｒａｃｋ　ｔｉｐ　ｏｆ　Ｄｏｕｂｌｅ　ｄｉｓｓｉｍｉｌａｒ　ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ　ｍａｔｅｒｉａｌｓ［Ｊ］．Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ　Ｊｏｕｒｎａｌ，２００８，２９（８）：１０４５—１０５２．　８　Ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　Ｓｔｒｅｓｓ　ｆｏｒ　Ｍ　Ａｎｉｓｏｔｒｏｐｉｃ　Ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ　Ｍａｔｅｒｉａｌｓ　ＣＨＥＮ　Ｙｕｎ　，ＸＩＥ　Ｘｉｕ．ｆｅｎｇ　，ＬＩ　Ｊｕｎ－ｌｉｎ　（１．　Ｌｉｍｉｎｇ　Ｖｏｃａｔｉｏｎａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｆｕｊｉａｎ　Ｑｕａｎｚｈｏｕ　３６２０００，Ｃｈｉｎａ；　２．Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｔａｉｙｕａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｔａｉｙｕａｎ　０３００２４，Ｃｈｉｎａ）　ａｎａｌｙｚｅｄ．Ｔｈｅ　Ｘａｃｔ：Ｔｈｅ　ｓｔｒｅｓｓ　ｆｉｅｌｄｓ　ｎｅａｒ　Ｍｏｄｅ・ＩＩ　ｐｅｒｉｏｄｉｃ　ｃｒａｃｋｓ　ｔｉｐ　ｏｆ　ａｎｉｓｏｔｒｏｐｉｃ　ｃｏｍｐｏｓｉｔｅ　ｍａｔｅｒｉａｌｓ　ｗｅｒｅ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｏｆ　ｏｎｅ　ｋｉｎｄ　ｏｆ　ｐａｒｔｉａｌ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｗａｓ　ｓｏｌｖｅｄ．Ｔｈｅ　ｓ￣ｅｓｓ　ｉｎｔｅｎｓｉｔｙ　ｆａｃｔｏｒｓ　ａｔ　ｔｈｅ　ｃｒａｃｋ　ｔｉ　ｆｏｒ　ｍｏｄｅ　ＩＩ　ｐｅｒｉｏｄｉｃ　ｃｒａｃｋｓ　ｗｅｒｅ　ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ　ｕｎｄｅｒ　ｓｙｍｍｅｔｉｒｃ　ｌｏａｄｉｎｇ　ｂｙ　ｉｎｔｒｏｄｕｃｉｎｇ　Ｗｅｓｔｅｒｇａａｒｄ’Ｓ　ｓｔｒｅｓｓ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｕｓｉｎｇ　ｃｏｍｐｌｅｘ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ａｐｐｒｏａｃｈ　ｏｆ　ｕｎｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄ　ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ．Ｔｈｅ　ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ　ｆｏｒｍｕ—　ｌａｅ　ｏｒ　ｆｃｏｍｐｕｔｉｎｇ　ｓｔｒｅｓｓ　ｆｉｅｌｄ　ｏｆ　ｍｏｄｅ　ＩＩ　ｐｅｒｉｏｄｉｃ　ｃｒａｃｋ　ｔｉｐｓ　ｗｅｒｅ　ｏｂｔａｉｎｅｄ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｓｔｒｅｓｓ　ｆｉｅｌｄ，ｐｅｒｉｏｄｉｃ　ｃｒａｃｋｓ，ｐａ￣ｉａｌ　ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ｃｏｍｐｌｅｘ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄ