盈亏问题

仁华学校四年级盈亏问题课程讲义

总份数=总差÷个差

(1)一盈一亏:总差=盈+亏 （盈+亏）÷（初分的数—再分的数）==人数

(2)两盈:总差=大盈-小盈 （大盈—小盈）÷（初分的数—再分的数）==人数

(3)两亏:总差=大亏-小亏 （大亏—小亏）÷（初分的数—再分的数）==人数

( 4)一盈一正好:总差=盈 盈数÷（初分的数—再分的数）==人数

(5)一亏一正好:总差=亏 亏数÷（初分的数—再分的数）==人数

以一定的人数去平分一定数量的物品，每人少分，则物品有余，如果每人多分，则物品不足，分物时会出现盈（有余）、亏（不足）或正好分完几种情况。已知所盈和所亏数量多少，求物品数量和人数的应用题叫盈亏问题

解答公式： 两次分配的结果差÷两次分配数差＝人数

或，由于参加分配的总人数不变，参加分配的物品总数不变，因此，可根据

第一种分法的人数＝第二种分法的人数

第一种分法物品总数＝第二种分法物品总数

1、一批树苗，如果每人种树苗8棵，则缺少3棵；如果每人种7棵，则有4棵没人种。求参加种树的人数是多少？这批树苗共有多少棵？

分析：

每人种8棵，则缺少3棵，也就是少3棵。每人种7棵，则有4棵没人种，也就是多4棵。

那么两次分配的结果差是3＋4＝7， 两次分配的数差是 8－7＝1

种树人数是：7÷1＝7（人） 树苗总数是：8×7－3＝53（人）

解法一： （3＋4）÷（8－7）

＝7÷1

＝7（人）

8×7－3＝53（棵）

答：参加种树的人数是7人，这批树苗共有53棵。

解法二：这道题种树人数不变，树苗总棵数不变，若设种树人数为X人，根据第一种分法的树苗总棵数＝第二种分法的树苗总棵数，列方程解。

解： 设种树人数为X人，列方程得

8X－3＝7X＋4

8X－7X＝4＋3

X＝7

8×7－3＝53（棵）

答：（略）

2、幼儿园老师把一堆苹果分给小朋友，如果每人分6个，则少10个，每人分4个，还少2个。有多少小朋友？有多少个苹果？

分析：

两次分配都不足，则两次不足数量差就是两次分配的结果差，结果差÷分配差＝人数

解： （10－2）÷（6－4）

＝8÷2

＝4（人）

6×4－10＝14（个）

答：有4个小朋友，有14个苹果。

3、学校安排新生住宿，若每间宿舍住6人，则多出34人；若每间宿舍住7人，则多出4间宿舍，求住宿的学生和宿舍各有多少？

分析：

每间住6人，多出34人，就是不足34张床位；每间住7人，多出4间宿舍，就是多出7×4＝28张床位。两次分配的结果差就是（34＋28），结果差÷分配差＝宿舍

解： （34＋28）÷（7－6）

＝62÷1

＝62（间）

6×62＋34＝406（人）

答：住宿的学生共406人，宿舍有62间。

4、学生分练习本，其中两个人每人分6本，其余每人分4本，则多2本；如果有一个学生分8本，其余每人分6本，则不足18本。学生有多少人？练习本有多少本？

分析：

1、有两人分6本，其余每人分4本，余2本，若将分6本的这两人也分4本，那么这两人又每人余2本，共余2×2＋2＝6（本）。

2、一个学生分8本，其余分6本，不足18本。若将分8本这个学生也同样分6本，则不足应是18－2＝16（本）。

那么，两次分配的结果差是16＋6＝22（本），分配差是6－4＝2（本）

结果差÷分配差＝人数

解： 6－4＝2（本） 2×2＋2＝6（本） 8－6＝2（本） 18－2＝16（本）

（16＋6）÷（6－4）

＝22÷2

＝11（人）

4×11＋6＝50（本）

答：学生有11人，练习本有50本。

5、一工人加工一批机器零件，限期完成，他计划每小时做10个，还差3个零件完成任务，每小时做11个，恰好限期内完成了任务。他加工的零件是多少个？限几小时完成？

分析：

每小时做10个，差3个，每小时做11个，恰好完成，那么，两次分配的结果差是3个，两次分配的数差是11－10＝1（个）。根据，结果差÷分配差＝限时数

解： 3÷（11－10）

＝3÷1

＝3（小时）

10×3＋3＝33（个）

答：他加工的零件是33个，限3小时完成。

解法二：设限X小时完成，根据第一种分法和第二种分法零件个数相等，列方程得

11X＝10X＋3

11X－10X＝3

X＝3

11×3＝33（个） 答：（略）

6．环保小组的同学上山植树，如果每人种3棵，则还剩3棵；如果每人种4棵，则还差2棵。环保小组有多少人？一共植树多少棵？

分析与解：这是一道典型的盈亏应用题。盈，就是多余；亏，就是不足、少的意思。

比较两种植树方式，第一种多了3棵，第二种少了2棵，一多一少共相差3＋2=5(棵)。显然，相差5棵的原因是第二种植树方式每人种的棵数比第一种多了4-3=1(棵)。根据“相差的总数÷相差的每份数＝份数”得出，环保小组的人数是5÷1=5(人)，一共植树3×5＋3=18(棵)，或4×5-2＝18(棵)。

从中得出：解盈亏问题，要先比较“盈”与“亏”两种情况，求出两种情况下总数之间的差，像上题是一盈一亏，差＝盈＋亏；再找出出现这个差的原因是每份数不同，求出两个每份数之间的差；最后根据“差——差”对应求出份数以及总数。

盈亏问题还有另外两种情况：两盈与两不足。有些题还要通过转化，先找出“盈亏”数。

例7.工程队修一条路，如果每天修150米，则可以提前2天完成任务；如果每天修180米，则可以提前5天完成任务。这条路全长多少米？

分析与解：这道题没有直接给出“盈亏”数，但由题意可知，第一种情况如果再修2天，还可以修150×2＝300(米)；第二种情况如果再修5天，还可以修180×5＝900(米)。这300米与900米就是两个“盈”数。因此，可以把条件转化为：如果每天修150米，可以多修300米；如果每天修180米，可以多修900米。显然，这道题是“两盈”类盈亏问题，相差的总数是(900-300)米，相差的每份数是(180-150)米，所以计划修的天数是()(900-300)÷（180-150)＝20(天)，这条路全长150×（20-2)＝2700(米)，或180×（20-5)＝2700(米)。

例8.小强每天早晨7点30分从家出发去上学。如果每分钟走60米，就会迟到5分钟；如果每分钟走75米，就可以提前2分钟到校。小强家距离学校有多少米？(首届创新

杯中小学数学邀请赛决赛·五年级试题)

分析与解：由题意可知，第一种行走方式还差60×5＝300(米)，第二种行走方式可以多走75×2＝150(米)，所以小强去学校要走(300＋150)÷（75-60)＝30(分钟)，小强家距离学校有60×（30＋5）＝2100(米)。

例9.有红、白球若干个。若每次拿出1个红球和1个白球，拿到没有红球时，还剩下50个白球；若每次拿走1个红球和3个白球，则拿到没有白球时，红球还剩下50个。那么这堆红球、白球共有__________个。(2000年小学数学奥林匹克竞赛预赛试题·A卷)

分析与解：从第二种拿球方式得知，若每次拿走1个红球和3个白球，到红球拿完时，白球缺3×50＝150(个)。这样，就把“盈亏”数统一到了白球上。根据“一盈一亏”问题的解法得，拿球的次数是(50＋150)÷（3-1）＝100(次)，即红球的个数为100个，所以这堆红球、白球共有100×（1＋1）＋50＝250(个)。

例10 三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动.如果每人搬4块砖，还剩7块；如果每人搬5块，则少2块砖.这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块？

分析 比较两种搬砖法中各个量之间的关系：

每人搬4块，还剩7块砖；每人搬5块，就少2块.这两次搬砖，每人相差5-4=1（块）。

第一种余7块，第二种少2块，那么第二次与第一次总共相差砖数：7+2=9（块）

每人相差1块，结果总数就相差9块，所以有少先队员9÷1=9（人）。

共有砖：4×9＋7＝43（块）。

解：（7+2）÷（5-4）=9（人）

4×9+7=43（块）或 5×9-2=43（块）

答：共有少先队员9人，砖的总数是43块。

如果把例1中的“少2块砖”改为“多1块砖”，你能计算出有多少少先队员，有多少块砖吗？

由本题可见，解这类问题的思路是把盈余数与不足数之和看作采用两种不同搬法产生的总差数，被每人搬砖的差即单位差除，就可得出单位的个数，对这题来说就是搬砖的人数.

例11 妈妈买回一筐苹果，按计划吃的天数算了一下，如果每天吃4个，要多出48个苹果；如果每天吃6个，则又少8个苹果.那么妈妈买回的苹果有多少个？计划吃多少天？ 分析 题中告诉我们每天吃4个，多出48个苹果；每天吃6个，少8个苹果.观察每天吃的个数与苹果剩余个数的变化就能看出，由每天吃4个变为每天吃6个，也就是每天多吃2个时，苹果从多出48个到少8个，也就是所需的苹果总数要相差48＋8＝56（个）.从这个对应的变化中可以看出，只要求56里面含有多少个2，就是所求的计划吃的天数；有了计划吃的天数，就不难求出共有多少个苹果了。

解：（48+8）÷（6-4）

=56÷2

=28（天）

6×28-8=160（个）或 4×28＋48=160（个）

答：妈妈买回苹果160个，计划吃28天。

如果条件“每天吃4个，多出48个”不变，另一条件改为“每天吃6个，则还多出8个”，问苹果应该有多少个，计划吃多少天？

分析 改题后每天吃的苹果个数没有变，也就是说每天多吃2个条件没变，苹果总数由原来多出48个变为多出8个.那么所需苹果总数要相差：48-8=40（个）

解：（48-8）÷（6-4）

=40÷2

＝20（天）

4×20＋48=128（个）或 6×20＋8=128（个）

答：有苹果128个，计划吃20天.

例12 学校规定上午8时到校，小明去上学，如果每分种走60米，可提早10分钟到校；如果每分钟走50米，可提早8分钟到校，求小明几时几分离家刚好8时到校？由家到学校的路程是多少？

分析 小明每分钟走60米，可提早10分钟到校，即到校后还可多走60×10=600（米）；如果每分钟走50米，可提早8分钟到校，即到校后还可多走50×8=400（米），第一种情况比第二种情况每分钟多走60-50＝10（米），就可以多走600-400=200（米），从而可以求出小明由家到校所需时间。

解：①10分种走多少米？60×10＝600（米）

② 8分种走多少米？50×8＝400（米）

③需要多长时间？

（600+400）÷（60-50）=20（分钟）

④由家到校的路程：

60×（20-10）=600（米）

或：50×（20-8）=600（米）

答：小明7点40分离家去上学刚好8时到校；小明的家离校有600米。

例13学校为新生分配宿舍.每个房间住3人，则多出23人；每个房间住5人，则空出3个房间.问宿舍有多少间？新生有多少人？

分析 每个房间住3人，则多出23人，每个房间住5人，就空出3个房间，这3个房间如果住满人应该是5×3＝15（人）.由此可见，每一个房间增加5-3=2（人）.两次安

排人数总共相差23+15＝38（人），因此，房间总数是：

38÷2=19（间），学生总数是：3×19+23＝80（人），或者5×19-5×3=80（人）。

解：（23+5×3）÷（5-3）

＝（23＋15）÷2

＝38÷2

＝19（间）

3×19+23=80（人）或 5×19-5×3＝80（人）。

答：有19间宿舍，新生有80人。

例14 少先队员去植树.如果每人种5棵，还有3棵没人种；如果其中2人各种4棵，其余的人各种6棵，这些树苗正好种完.问有多少少先队员参加植树，一共种多少树苗？

分析 这是一道较难的盈亏问题，主要难在对第二个已知条件的理解上：如果其中2人各种4棵，其余的人各种6棵，就恰好种完.这组条件中包含着两种种树的情况——2人各种4棵，其余的人各种6棵。如果我们把它统一成一种情况，让每人都种6棵，那么，就可以多种树（6-4）×2＝4（棵）.因此，原问题就转化为：如果每人各种5棵树苗，还有3棵没人种；如果每人种6棵树苗，还缺4棵.问有多少少先队员，一共种多少树苗？

解：[3+（6-4）×2]÷（6-5）＝7（人）

5×7+3＝38（棵）

或6×7-4＝38（棵）

答：有7个少先队员，一共种38棵树。

例15红山小学学生乘汽车到香山春游.如果每车坐65人，则有5人不能乘上车；如果每车多坐5人，恰多余了一辆车，问一共有几辆汽车，有多少学生？

分析 每车多坐5人，实际是每车可坐5+65＝70（人），恰好多余了一辆车，也就是还差一辆汽车的人，即70人.因而原问题转化为：如果每车坐65人，则多出5人无车乘坐；如果每车坐70人，还少70人，求有多少人和多少辆车？

解：（5+5+65）÷5=15（辆） 65×15＋5=980（人）或（5＋65）×（15-1）=980（人）

答：一共有15辆汽车，980名学生。