一类广义正交矩阵的性质及其应用

维普资讯 http://www.cqvip.com 第２５卷第２期　宝鸡文理学院学报（自然科学版）　ＶｏＬ２５　Ｎ０．２　２００５年６月　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｂａｏｊｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ａｒｔｓ　ａｎｄ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ）　ＪｕＩＩ．２００５　类广义正交矩阵的性质及其应用－　蔺小林　，何广平。，白云霄　，王　莉　（１．陕西科技大学理学院，陕西成阳７１２０８１　ｉ２．宝鸡文理学院数学系，陕西宝鸡７２１００７）　摘　要：对有关正交矩阵及特殊类矩阵的研究内容进行了总结，给出了＿类广义正交矩阵的定义，　讨论了该类广义正交矩阵的性质及其在二次型及微分代数系统中的应用，通过线性变换得到了一类微　分代数系统的通解。　关键词：共轭向量；广义正交矩阵；微分代数系统　中图分类号：Ｏ１５１．２１　文献标识码：Ａ　文章编号：１００７－１２６１（２００５）０２－００８８—０３　Ｏｎｅ　ｋｉｎｄ　ｏｆ　ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ　ｍａｔｒｉｘ　ａｎｄ　ｉｔｓ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ＬＩＮ　Ｘｉａｏ—ｌｉｎ　，ＨＥ　Ｇｕａｎｇ－ｐｉｎｇｚ，ＢＡＩ　Ｙｕｎ－ｘｉａｏ　，ＷＡＮＧ　Ｌｉ　（１　Ｆａｃｕｌｔｙ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｓｈａａｎ￣Ｕｎｉｖ．Ｓｃｉ．＆Ｔｅｃｈ．，Ｘｉａｎｙａｎｇ　７１２００８。Ｓｈａａｎｘｉ，Ｃｈｉｎａ；　２．Ｄｅｐｔ．Ｍａｔｈ．，Ｂａｏｊｉ　Ｕｎｉｖ．Ａｒｔｓ＆Ｓｃｉ、。Ｂａｏｊｉ　７２１００７，Ｓｈａａｎｘｉ，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｃｏｎｃｅｐｔ　ｏｆ　ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ　ｍａｔｒｉｘ　ｉｓ　ｇｉｖｅｎ　ａｎｄ　ｔｈｅｎ　ｔｈｅ　ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ　ｏｆ　ｇｅｎｅｒ—　ａｌｉｚｅｄ　ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ　ｍａｔｒｉｘ　ａｒｅ　ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ａｎｄ，ｔｈｅ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ　ｍａｔｒｉｘ　ｉｎ　ｑｕａｄｒａｔｉｃ　ｆｏｒｍ　ａｎｄ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ—ａｌｇｅｂｒａｉｃ　ｓｙｓｔｅｍ　ｏｃｃｕｒｒｉｎｇ　ｉｎ　ｃｉｒｃｕｉｔ　ｓｙｓｔｅｍｓ　ａｒｅ　ｇｉｖｅｎ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ＣＯｎｊｕｇａｔｅ　ｖｅｃｔｏｒ；ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ　ｍａｔｒｉｘ；ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ—ａｌｇｅｂｒａｉｃ　ｓｙｓｔｅｍ　ＭＳＣ　２０００：１５Ａ０９；６５Ｆ２５　１特殊类矩阵研究概况　性、唯一性及因子个数问题。文［９３定义了准正交　共轭向量、正交矩阵［１　等在线性代数及线　矩阵并得到结论：１）　维欧氏空间的一个正交变　性系统理论中有非常重要的应用。特殊类矩阵的　换关于任意基的矩阵是准正交矩阵；２）对于任意　广泛应用推动了特殊类矩阵理论的深入研究。在　个　阶准正交矩阵，如果　维欧氏空间的一个　普通意义下２阶矩阵和　阶矩阵为正交矩阵的充　线性变换在某基下的矩阵为Ａ，则该线性变换为　分必要条件由文［３３得到。而文［４３对正交矩阵之　正交变换；３）若Ａ为准正交矩阵，则有Ｉ）Ａ的特　和是不是正交矩阵进行了研究并得到了充要条　征根的模为１，ＩＩ）Ａ的行列式等于１或一１，Ⅲ）　件。文［５３给出了次正交矩阵的概念，并研究了次　若．＝【是Ａ的特征根，则．＝【　也是Ａ的特征根，ＩＶ）　正交矩阵的性质，而在文［６，１２３中给出了广义次　Ａ的伴随矩阵Ａ。也是准正交矩阵等。文Ｄｏ］利　对称（反次对称）矩阵和广义次正交矩阵的概念，　用矩阵的奇异值分解基本理论，给出了复正交矩　讨论了它们的性质及它们之间的关系。相对于对　阵的实正交相抵标准形及其全部不变量，得到二　称矩阵和反对称矩阵，文［７３给出了广义对称（反　复正交矩阵实正交相抵的充要条件是它们的实部　对称）矩阵和广义正交矩阵的概念，讨论了它们　有完全相同的奇异值。利用次对称矩阵给出亚正　的性质及相互之间的关系。文［８３探讨了一类特　交矩阵与（反）亚对称矩阵ｎ　的概念是非常重要　殊正交矩阵即镜象矩阵的若干性质及任意　阶正　的发展，它将各类正交矩阵、对称矩阵及广义逆矩　交矩阵都可分解为有限个镜象矩阵的乘积的可能　阵统一了起来，并将正交矩阵的广义Ｃａｙｌｅｙ分解　收稿日期：２００４—１２—０６．Ｅ—ｍａｉｌ：ｌｉｎｘｌ＠ｓｕｓｔ—ｅｄｕ．ｎｅｔ　基金项目：陕西省教育厅专项基金（０４ＪＫ２０４）；陕西科技大学科研基金项目（ＺＸ０４—３８）　作者简介：蔺小林（１９６１一）。男，陕西络川人。教授，在读博士。研究方向：矩阵理论及非线性微分动力系统稳定域计算．　·　’　·　维普资讯 http://www.cqvip.com 第２期　蔺小林等一类广义正交矩阵的性质及其应用　８９　推广到了亚正交矩阵上。关于正交条件下矩阵的　Ｍｏｏｒｅ－Ｐｅｎｒｏｓｅ逆的若干运算性质可参考文献　Ｅ１３３。文［１４３给出了广义Ｆｕｚｚｙ正交矩阵的概　念、性质及判定，讨论了正交向量组与广义Ｆｕｚｚｙ　正交矩阵的关系。线性空间的向量可由其基表示　出来，那么正定矩阵和正交矩阵是否也有基？文　Ｅ１５３给出了正定矩阵基与正交矩阵基，证明了每　个实二次型都可由基本正定二次型唯一线性表　出，以及欧氏空间上的每个线性变换都可由基本　正交变换唯一线性表出。文Ｅ１６３给出是一拟次正　交矩阵的概念，研究了其性质以及拟次正交矩阵　与次对称矩阵、拟对合矩阵间的关系。关于以上　各种特殊类型矩阵的应用问题有：文Ｅ１７３在将雅　可比方法中正交相似变换矩阵一个参数的二阶正　交矩阵改进成２个参数的三阶正交矩阵并利用相　应的参数估计，大大提高了实对称矩阵的特征值　和特征向量数值计算的收敛速度，而文Ｅｉ８３研究　了正交矩阵在认证码中的应用，给出了正交矩阵　的递归生成算法。　本文先给出共轭向量的定义和性质，然后再　给出不同于上述讨论的另一类广义正交矩阵，并　讨论了该类广义正交矩阵的一些性质。最后把广　义正交矩阵应用到二次型及微分代数系统理论　中，通过线性变换得到了一类微分代数系统的通　解。　２共轭向量的定义　定义１设有ｍ个非零的　维向量ａ。，ａ：，　，ａ　和一个　阶对称正定矩阵Ａ，若对任何ｆ，　（　），都有　（　，　，）＝　ＴＡ　＝０（　，Ｊ一１，２，…，，，１）　（１）　则称向量组　。，ａ：，…，ａ　是关于正定矩阵Ａ共轭　的向量组，简称向量组ａ。，ａ：，…，‰为共轭向量　组。　注：１）当Ａ＝Ｉ　时，ａｌ，ａ２，…，ａ　为正交向量　组，故共轭向量组是正交向量组的推广，共轭向量　组包含了正交向量组；２）在定义中，我们要求所　有向量是非零向量，实际上零向量与任何向量共　轭。　３　共轭向量组的性质　性质１（线性无关性）　设ａ。，ａ２，…，ａ　是关　于正定矩阵Ａ共轭的向量组，则向量组ａ。，ａ：，…，　ａ　线性无关。　性质２（共轭性关于线性组合的不变性）　设　ａ。，ａ：’．．·，‰是关于正定矩阵Ａ共轭的向量组，　而ｌ。，ｌ２’．．·，ｌ　为一组非零的数，则ｌ，ａ　（ｆ＝１，２，　…，ｍ）也是关于Ａ共轭的向量组。　注：事实上，：∑ｚ·ａ·与　（．『　Ｊ）是关于正定　矩阵Ａ共轭的向量组，因为对于（∑ｚ·ａ·，Ａ口，）＝　∑ｚ＾ａＴＡａｊ，当（是≠．『）时有，ａＩＡａｉ＝０，故　∑ｚ。ａｒｔＡａ，＝ｏ，从而，∑ｚ。ａ。与ａｊ（．『　Ｊ）是关　于正定矩阵Ａ共轭的向量组。　我们可以得到更广泛的结论，一个关于正定　矩阵Ａ共轭的向量组，其一部分的任意非零组合　与剩余部分的任意非零组合所成的两个向量是关　于正定矩阵Ａ共轭的向量组。　性质３（可共轭化性）‘设有　个线性无关的　向量ａ。，ａｚ，…，ａ，，．，则它们的线性组合可以得到　ｍ个关于正定矩阵Ａ共轭的向量组　－，　，…，　。　证明　令　－＝ａ－，　＝ａ２＋是－』，１（是－为待定　常数），使得　与　。关于Ａ共轭，则有　（　－，　２）＝ＩＪＴＡ（ａ２　４－是－　－）＝　ｚ　４－是－　－＝０　（２）　从而当是－＝一　时可以使　与Ｊ，ｌ关于Ａ　共轭，且　＝ａｚ一　＝一　』，ｌ　（３）　显然　。与　是ａ－、ａ２的线性组合。一般地我们有　（ｐ　ｉ，Ａａｔ）¨Ａ－１＇２（，…．ｍ　（４）　４　广义正交矩阵的定义及性质　定义　设有实的ｍ×　矩阵Ｇ满足　Ｇ　ＡＧ＝Ａ＝ｄｉａｇ（ａｌ，０＂２，…，Ｏ＇ｎ）　（　＞Ｏ）　（５）　其中Ａ为ｍ阶正定矩阵，则称Ｇ为关于Ａ的广义　正交矩阵。　注　（１）当Ａ—Ｉ　且Ｇ为方阵时，这时Ｇ为　正交矩阵，故广义正交矩阵不一定是正交矩阵，而　正交矩阵一定是广义正交矩阵。因此广义正交矩　阵是正交矩阵的推广。　关于广义正交矩阵，我们有如下性质：　性质４（共轭性）Ｇ为关于Ａ的广义正交矩　阵的充分必要条件是Ｇ的列向量组是关于Ａ的共　轭向量组。　维普资讯 http://www.cqvip.com ９０　宝鸡文理学院学报（自然科学版）　２００５年　性质５（非奇异性）　，ｌ阶广义正交矩阵是非　奇异矩阵。　性质６（可逆的正交性）　若Ｔｎ阶方阵Ｇ是关　于Ａ的广义正交矩阵，则（　）　是关于Ａ　的广　义正交矩阵。　５　广义正交矩阵的应用　广义正交矩阵有许多应用，下面我们就广义　正交矩阵在二次型理论及微分代数方程理论方面　的应用进行讨论。　（１）广义正交矩阵在二次型方面的应用　对于二次型　Ｆ（　）一ｘｒＡｘ一∑∑ａ　（６）　ｆ－１　－１　其中Ａ为，ｌ阶实对称矩阵。对于Ａ若存在广义正　交矩阵Ｇ，我们作线性变换　一　则有　Ｆ（ｙ）一ｙｒＧｒＡＧｙ一∑　ｉｊ　（７）　一１　其中　＞０（ｉ一１，２，…，，１）为矩阵Ａ的特征值。若　Ａ有，１个不同的特征值　（　一１，２，…，７１），则Ｇ的　列向量为Ａ的特征值　（　一１，２，…，，１）所对应的　特征向量，且矩阵Ｇ可取为正交矩阵；若Ａ有重的　特征值，则可以用Ｅｚ３中的方法来求　对应的特　征向量，从而得到广义正交矩阵Ｇ。．　（２）广义正交矩阵在微分代数系统中的应用　在电路系统中我们经常遇到如下类型的微分　方程［１９，２０］　，｜　（　）＋．，（　）一　（￡）　（８）　或其更一般的形式　ｑ（　）一，（　，￡）　（９）　显然（９）式不是一般的微分方程，实际上它是微　分代数方程　翌·ｄ　主（￡）一，（’　　，￡）　（１ｏ）　其中　是Ｊａｃ０ｂｉ矩阵，（１ｏ）式的一个较简单的形　式是　（￡）＋　（￡）一，（￡）　（１１）　如果Ａ和　都为对称矩阵，则可通过正交变　换并利用广义正交矩阵在下列两种情况下求出　（１１）的通解。　如果Ａ为对称正定矩阵，则令　一　（其中Ｇ　为Ａ的特征矩阵）从而（１１）变为　（ｔ）＋Ｇｒｉｍｙ（ｔ）：ＧＴ，（￡）　（１２）　其中Ａ—ｄｉａｇ（２－，　２，…，　），此时（１２）为普通的　常系数线性微分方程组。　如果Ｂ为对称正定矩阵，则令　—Ｑｙ（其中Ｑ　为Ｂ的特征矩阵）从而（１１）变为　Ｑ　ＡＱ　（￡）＋ｙ（￡）一Ｑ　，（￡）　（１３）　此时　ＡＱ为对称矩阵其Ｊｏｒｄａｎ标准型为　Ｃ　、　Ｊ一（　Ｎ）　（１４）　其中ｃ为特征值不为零的Ｊｏｒｄａｎ块，．Ｎ为指数为五　的幂零矩阵　（即　＝０，而　≠０，（　一１，２，　…，五一１）），故令ｙ—Ｗｚ，则（１４）式对应的微分　方程为　ｆ　ｌ（￡）＋ｚｌ（￡）一ｒ（＂　ｌⅣｚ２（￡）＋ｚ２（￡）一ｓ（￡）　此处ｚ一（ｚｌ，ｚ２）　，　Ｑ　，（￡）一（ｒ（￡），ｓ（￡））　，　（１５）的第一个方程是普通的一阶线性微分方程　组，通解容易求出来，（１５）的第二个方程的解利　用幂零矩阵的定义可得：　ｚ（￡）一一．Ｎ卜　ｓ‘卜　’（￡）一．Ｎ卜。ｓ‘卜０’（ｆ）一　Ｎｓｎ’（￡）一ｓ（ｆ）　（１６）　因此可以求出方程（１５）的通解。　广义正交矩阵理论有非常广泛的应用，在矩　阵方程求解　。ｈ。　，线性代数迭代解理论以及微分　方程稳定域的计算　。。　等方面都有应用价值。　参考文献：　［１］张可村．工程优化算法与分析［Ｍ］．西安：西安交通　大学出版社，１９８５．　［２］程云鹏．矩阵论［Ｍ］．第２版．西安：西北工业大学出　版社，２０００．　［３］李先崇．正交矩阵的两个特征性质［Ｊ］．数学通报，　１９９７，（８）：３１－３２．　［４］任富田，汪永新，杨士林．关于正交矩阵之和是正交　矩阵的充要条件［Ｊ］．数学通报，１９９９，（５）：４６－４７．　［５］刘丽萍．次正交矩阵及其性质［Ｊ］．山西财经大学学　报，２０００，２２（ｓｕｐ）：２０５．　［６］郭伟．广义次对称矩阵及广义次正交矩阵［Ｊ］．西　南师范大学学报（自然科学版），２０００，２５（１）：１８－２２．　［７］马龙，刘晓冀，张纯根．广义对称矩阵及广义正交矩　阵［Ｊ］．铁道师范学院学报（自然科学版），２０００，１７　（３）：１９－２３．　［８３　曲　茹，王淑华．正交矩阵的正交分解［Ｊ］．高师理科　学刊，２００１，２１（２）：１９·２２．　［９３魏晓丽，富成华．准正交矩阵［Ｊ］．辽宁师专学报（自　然科学版），２００１，３（３）：３－６．　［１Ｏ］　张锦川．复正交矩阵的实正交相抵标准形［Ｊ］．泉州．　师范学院学报，２００１，１９（４）：１－４．　（下转第１０８页）　‘　维普资讯 http://www.cqvip.com １０８　宝鸡文理学院学报（自然科学版）　２００５钽　ｔｔ　一　ｃ　卜ｃ　川，　口　＋　一（口＋　一２０＃一３　所以　其中　≥１。　ｔ‘　ｌ—Ｕｋｔ‘抖２一÷（一１）　Ｘ　５一（一１）　。　髁令口一　１．－４ｇ￣，１　Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ　ｚ再由Ｕ　一ｔ‘，ｒｌ＋ｔ‘，ｒ２得　数列｛Ｕ　｝　≥１的通项公式为　ｔ‘抖ｌ（ｔ‘抖２一ＵＩ）一ＵＩ　抖２＝（一１）　，　即　Ｕ　一圭（ｎ—　口”一　。口　一　）　　（１）　ｔ‘Ｈ．１ｔ‘Ｈ．２：＝＝ＵＩｔ‘抖２＋ｔ‘Ｉｔ‘抖ｌ＋（一１）　。　且口，卢满足：　因ＵＩｔ‘抖１ｔ‘抖２≠Ｏ，上式两边同除以ＵＩｔ‘抖ｌｔ‘　ａ＋卢一１，ａＩ９一一１。　便得　下面用通项公式（１）证明定理：　一　－．＋ｊ－．＋（一１）　一一ｔ‘Ｉ　ｔ‘抖１　ｔ‘抖２　ｔ‘Ｉｔ‘抖ｌｔ‘抖２　定理的证明：由ｔｔ　一　（　一　）得　定理证完　由定理的证明，可以得到一些熟知的结论，　“　·一“　“抖ｚ一［专（　一　）］　一　如：　去ｃａＩ一　去ｃ口　一　一÷ｃ口川一　推论１　设｛“　）　≥１是Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列，则　ｔ‘　ｌ—Ｕ　ｔ‘计２一（一１）　。　）。一÷（ａ　一　）（口抖　一　）一　推论２　设｛“　）　≥１是Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列，则　ｔ‘　ｌｔ‘计２一“ｎ“　一“ｎ“计ｌ＝（一１）　。　（口２　一２ａ抖　＋　）一　１（口２抖２参考文献：　［１］胡久稔．关于Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数的两个表达式［Ｊ］．数学研　抖。口　一　口抖。＋　抖。）一一詈口抖　＋　究与评论，１９９８，（２）：２２８．　［２］曹汝成．组合数学［Ｍ］．广州：华南理工大学出版社，　口　抖。＋ｉ１　ａ抖２一号［一２（ａＩ９）抖　＋　２０００．　’　［３］卢开澄，卢华明．组合数学（第３版）［Ｍ］．北京：清华　（ａＩ９）　（　＋ａ。）］一÷（一１）　（口　＋　＋２）。　大学出版社，２００２．　由口＋卢　１，　一一１，得　（编校：李哲峰）　（上接第９Ｏ页）　［１８］温巧燕，肖国镇．正交矩阵的递归生成算法［Ｊ］．西　［１１］　袁晖坪．亚正交矩阵与亚对称矩阵Ｄ］．高等数学研　安电子科技大学学报，１９９９，２６（１）：１２４－１２５．　究，２００１，１４（４）：３２－３８．　［１９］ＪＩＡＮＧ　Ｙ　Ｌ，ＷＩＮＧ　０．Ｍｏｎｏｔｏｎｅ　ｗａｖｅｆｏｒｉＤ＿ｒｅｌａｘ－　［１２］　戴立辉，王泽文，刘龙章．正交矩阵的若干性质［Ｊ］．　ａｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ａｌｇｅｂｒａｉｃ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　华东地质学院学报，２００２，２５（１３）：２６７—２６７．　［Ｊ］．ＳＩＡＭ．，ＮｕｍｅｒＡｎａｌ，２０００，３８（１）：１７０－１８５．　［１３］刘道海．基于正交矩阵的Ｍｏｏｒｅ－Ｐｅｎｒｏｓｅ逆［Ｊ］．湖　［２Ｏ］　ＥＲＤＭＡＮ　Ｄ　Ｊ，ＲＯＳＥ　Ｄ　Ｊ．Ｎｅｗｔｏｎ　ｗａｖｅｆｏｒｍ　ｒｅ—　北师范学院学报（自然科学版），２００２，２２（４）：８３－　ｌａｘａｔｉｏｎ　ｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓ　ｆｏｒ　ｔｉｇｈｔｌｙ　ｃｏｕｐｌｅｄ　ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］．　８５．　１ＥＥＥ　Ｔｒａｍ　ｏｎ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ－Ａｉｄｅｄ　Ｄｅｓｉｇｎ，１９９２，１１　［１４］王平．广义Ｆｕｚｚｙ正交矩阵口］．四川Ｉ师范大学学　（５）：５９８－６０６．　报（自然科学版），２００３，２６（４）：３６５—３６９．　［２１］蔺小林，何玉辉．一类矩阵方程的简便解法［Ｊ］．西　［１５］　张景晓．正定矩阵基与正交矩阵基及其应用［Ｊ］．山　北轻工业学院学报，２００３，２１（２）：１０７－１０９．　东师范大学学报（自然科学版），２００３，１８（３）：１５－　［２２］蔺小林，矩阵方程Ａ×Ｂ＋Ｃ×Ｄ—Ｅ的解法研究　１９．　［Ｊ］，陕西科技大学学报，２００３，２１（５）：１３－１５．　［１６］　张君敏，吴捷云．　一拟次正交矩阵［Ｊ］．惠州学院学　［２３］蔺小林．叠加微分系统零解稳定条件下参数变化　报，２００３，２３（６）：７—１２．　区域的研究［Ｊ］．陕西科技大学学报，２００３，２１（６）：　［１７］左大海．利用三阶正交矩阵提高雅可比方法的收　１１３—１１７．　敛速度［ｊ］．西北纺织工学院学报，１９９７，２５：２４０—　（编校：李哲峰）　２４３．