数字电路是以数字量为研究对象的电子电路。本章要紧讨论数字电子技术的基础理论知识，包括计数体制，逻辑代数及其化简。同时，还给出了逻辑函数的概念、表示方法及相互转换。
1.1 数 字 电 路 概 述 1.1.1 数字信号与数字电路
电子电路中的信号可分为两类，一类在时刻和幅度上差不多上连续的，称为模拟信号，如图1.1所示，例如电压、电流、温度、声音等信号。传送和处理模拟信号的电路称为模拟电路；
图1.1 模拟信号
另一类在时刻和幅度上差不多上离散的，称为数字信号，如图1.2所示，例如计时装置的时基信号、灯光闪耀等信号都属于数字信号。传送和处理数字信号的电路称为数字电路。
图1.2 数字信号
数字电路的特点
（1） 信号是离散的数字信号。数字信号常用0、1二元数值表示。
（2） 半导体器件均工作在开关状态，即工作在截止区和饱和区。 （3） 研究的要紧问题是输入、输出之间的逻辑关系。 （4） 要紧分析工具是逻辑代数。
1.2 数 制 和 码 制 1.2.1 数 制
数制即指计数的方法，日常生活中最常用的是十进制计数，而在数字电路和运算机中最常用的是二进制、八进制和十六进制。 1. 十 进 制 数
十进制数的每一位都采纳0～9共10个数码中的任何一个来表示，十进制的计数基数是10，超过9就必须用多位数来表示。其相邻的低位和高位间的运算关系是“逢十进一”，即9＋1＝10
2. 二进制数
二进制计数体制中只有0和1两个数码，其基数是2，运算规律是“逢二进一”，即1＋1＝10
3. 八进制数
八进制数有0～7共8个数码，计数基数是8，运算规律是“逢八进一”，即7＋1＝10
4. 十六进制数
十六进制中有0～9，A(10)，B(11)，C(12)，D(13)，E(14)，F(15)共16个不同的数码，计数基数是16，运算规律是“逢十六进一”，即F＋1＝10
1.2.2 数制转换
1. 十进制数与二进制数的相互转换 （1） 二进制数转换成十进制数
二进制数转换成十进制数的方法是按权展开，再求加权系数之和。 （2）十进制数转换为二进制数
十进制数转换为二进制数时，对整数部分可采纳“除2取余、逆序排列”法，对小数部分可采纳“乘2取整、顺序排列”法。
2. 十进制数与其他进制数的相互转换
当十进制数转换为其他进制数时，可将十进制数分为整数和小数两部分进行。整数部分的转换采纳“除基取余，逆序排列”法。小数部分的转换采纳“乘基取整，顺序排列”法。
当其他进制数转换为十进制数时，可将其他进制数按加权系数展开式展开，求得的和即为相应的十进制数。 3. 二进制数与八进制数的相互转换 （1） 二进制数转换为八进制数
二进制数转换为八进制数时，可将二进制数由小数点开始，整数部分向左，小数部分向右，每3位分成一组，不够3位补零，则每组二进制数便是一位八进制数。
（2） 八进制数转换为二进制数
八进制数转换为二进制数时，只要将每位八进制数用3位二进制数表示即可。
4. 二进制数与十六进制数的相互转换 （1） 二进制数转换为十六进制数
二进制数转换为十六进制数时，只要将二进制数的整数部分自右向左每4位一组，不足4位时在左边补零；小数部分则自左向右每4位一组，最后不足4位时在右边补零。再把每4位二进制数对应的十六进制数写出来即可。 （2）十六进制数转换为二进制数
十六进制数转换为二进制数时正好与（1）所述相反，只要将每位的十六进制数对应的4位二进制写出来就行了。
在数制使用时，常将各种数制用简码来表示：如十进制数用D表示或省略；二进制用B来表示；八进制用O来表示；十六进制数用H来表示。如：十制数123表示为123D或者123；二进制数1011表示为1011B；八进制数173表示为173O；十六进制数3A4表示为3A4H。
1.2.3 码制
数码不但能够用来表示数量的大小，还能够用来表示不同的事物。当用数码
作为代号表示事物的不同时，称其为代码。一定的代码有一定的规则，这些规则称为码制。给不同事物给予一定代码的过程称为编码。 1. 8421码 2. 2421码 3. 5421码 4. 余3码
5. 格雷（Gray）码
1.3 逻辑函数及其表示方法 1.3.1 逻辑代数
逻辑代数又叫布尔代数或开关代数，是由英国数学家乔治·布尔于1847年创立的。逻辑代数与一般代数都由字母来代替变量，但逻辑代数与一般代数的概念不同，它不表示数量大小之间的关系，而是描述客观事物一样逻辑关系的一种数学方法。
逻辑变量的取值只有两种，即逻辑0和逻辑1，它们并不表示数量的大小，而是表示两种对立的逻辑状态，如开关的通与断、电位的高与低、灯的亮与灭等。0和1称为逻辑常量。
例如，在图1.3所示的指示灯操纵电路中，我们用字母Y表示指示灯，用A、B表示两个开关。指示灯Y的亮与灭两种状态取决于开关A、B的通断状态。我们将A、B称为输入逻辑变量，将Y称为输出逻辑变量。
图1.3 指示灯操纵电路
逻辑代数有两种逻辑体制，其中，正逻辑体制规定，高电平为逻辑1，低电平为逻辑0；负逻辑体制规定，低电平为逻辑1，高电平为逻辑0。 1.3.2 三种差不多逻辑运算
在逻辑代数中有三种差不多的逻辑运算：与运算、或运算、非运算。
1. 与运算
只有当决定一件情况的所有条件都具备时，这件情况才会发生，这种因果关系称为“与”逻辑运算。
在逻辑代数中，与逻辑运算又叫逻辑乘，两变量的与运算可用逻辑表达式表示为：Y=A·B
读作“Y等于A与B”。意思是：若A、B均为1，则Y为1；否则Y为0。与运算规则能够归纳为“有0出0，全1为1”。
数字电路中，实现与逻辑关系的逻辑电路称为与门，其逻辑电路符号如图1.4所
图1.4 与逻辑电路符号
2. 或运算
当决定事件发生的条件具备一个或一个以上时，事件就发生；只有当所有条件均不具备时，事件才可不能发生。这种因果之间的关系确实是“或”逻辑的运算关系。例如，在图1.5所示的电路中，只要开关A、B中任意一个接通或者两个都接通，灯就亮；只有当开关A、B均断开时，灯才不亮。
图1.5 或逻辑关系电路
在逻辑代数中，或逻辑运算又叫逻辑加，两变量的或运算可用逻辑表达式表示为：Y=A+B
读作“Y等于A或B”，意思是：若A、B均为0，则Y为0；否则Y为1。或运算规则能够归纳为“全0出0，有1为1”。
在数字电路中，实现或逻辑关系的逻辑电路称为或门，其逻辑电路符号如图
1.6所示。
图1.6 或逻辑电路符号图
3. 非运算
非运算关系是，当条件具备时，事件不发生；当条件不具备时，事件能发生。即某事件发生与否，仅取决于一个条件，而且是对该条件的否定。
例如，在图1.7所示电路中，当开关A接通时，灯Y不亮；而当开关A断开时，灯Y亮。
图1.7非逻辑关系电路
在逻辑代数中，非逻辑运算又称逻辑反。非逻辑关系的表达式为：Y=A 读作“Y等于A非”，意思是：若A为0，则Y为1；若A为1，则Y为0。非逻辑运算规则能够归纳为“有0出1，是1为0”。非逻辑电路符号如图1.8所示。
图1.8 非逻辑电路
1.3.3 常用的复合逻辑运算
复合逻辑是指由与、或、非3种差不多逻辑关系组合而成的逻辑关系。常用的复合逻辑运算要紧包括：与非、或非、与或非、异或、同或等。 1. 与非
与非逻辑运确实是由与、非两种差不多运算按照“先与后非”的顺序复合而成
的。
图1.9 与非逻辑符号 2. 或非
或非逻辑运确实是由或、非两种差不多运算按照“先或后非”的顺序复合而成的。
图1.10 或非逻辑符号 3. 与或非
与或非逻辑运确实是由与、或、非3种差不多运算按照“先与后或再非”的顺序复合而成的。
图1.11与或非逻辑符号 4. 异或
异或是一种二变量逻辑运算，当两个变量不同时，输出为1；当两个变量相同时，输出为0，即“不同为1，相同为0”。
图1.12 异或逻辑符号 5. 同或
同或也是一种二变量逻辑运算，当两个变量相同时，输出为1；当两个变量不同时，输出为0，即“相同为1，不同为0”。
图1.13 同或逻辑符号
1.3.4 逻辑函数的表示方法及相互转换
逻辑函数常用的表示方法有5种：逻辑真值表，逻辑函数表达式，逻辑图，波形图和卡诺图。 1. 逻辑真值表
逻辑真值表是将输入变量的各种可能取值和相应的函数值排列在一起组成的表格，一个确定的逻辑函数只有一个逻辑真值表，具有惟一性。
逻辑真值表能够直观明了地反映变量取值和函数值的对应关系，但输入变量较多时，列写起来比较繁琐，它是将实际问题抽象为逻辑问题的首选描述方法。 2. 逻辑函数表达式
逻辑函数的表达式不是惟一的，能够有多种形式，同时能互相转换。逻辑函数的特点是：简洁、抽象，便于化简和转换。 3. 逻辑图
与、或、非等运算关系用相应的逻辑符号表示出来，确实是函数的逻辑图。例如，异或逻辑关系也可用如图1.14所示的逻辑图来表示。
优点是：逻辑图与数字电路的器件有明显的对应关系，便于制作实际电路。缺点是不能直截了当进行逻辑推演和变换。
图1.14 异或逻辑关系的逻辑图
4. 波形图
反映输入和输出波形变化规律的图形，称为波形图，也称为时序图。异或逻辑关系中，当给定A、B的输入波形后，可画出函数Y的波形，如图1.15所示。
图1.15 异或逻辑关系的波形图
波形图的优点是，能直观反映变量与时刻的关系和函数值变化的规律，它与实际电路中的电压波形相对应。 5. 各种表示方法之间的相互转换
同一逻辑函数能够用几种不同的方式来表示，这几种表示方法之间必定能够相互转换 。
由真值表写出逻辑函数的一样步骤如下。
（1） 找出真值表中使输出Y=1的那些输入变量的组合。
（2） 每组输入变量的取值组合对应一个乘积项，其中变量取值为1的用原变量表示，取值为0的用反变量表示。
（3） 将这些乘积项相加，得到的即为真值表对应的逻辑函数表达式。
1.4 逻辑代数的差不多定律和规则 1.4.1 逻辑代数的差不多定律
逻辑代数中有10个差不多定律。 反演律也叫摩根（Morgon）定律，是数字逻辑变换中经常要用到的定律，应重点把握。反演律说明了如何利用非运算实现与、或运算之间的变换，该定律还能够推广为多变量的形式 。 1.4.2 逻辑代数的差不多规则
逻辑代数有3个重要的规则：代入规则、对偶规则和反演规则。 1. 代入规则
在任何一个逻辑等式中，假如以某个逻辑变量或逻辑函数同时取代等式两端的任何一个逻辑变量，则等式依旧成立。那个规则称为代入规则。例如，在反演律中用BC去代替等式中的B，则新的等式仍成立。 2. 对偶规则
若将逻辑函数Y中的“·”变为“＋”，“＋”变为“·”；“0”变为“1”，“1”变为“0”；而变量保持不变，那么得到的新逻辑函数表达式称为函数Y的对偶式，用Y′表示，也能够说Y和Y′互为对偶式。
对偶规则的内容是：假如两个逻辑函数表达式相等，它们的对偶式也一定相等。 3. 反演规则
假如将逻辑函数表达式Y中的“·”变为“＋”，“＋”变为“·”；“0”变为“1”，“1”变为“0”；原变量变为反变量，反变量变为原变量，那么新得到的逻辑函数表达式确实是函数Y的反函数Y，这一规则称为反演规则。利用反演规则能够方便地求得一个函数的反函数 使用反演规则时，应注意以下两点。
（1） 要保持原函数中的运算符号的优先顺序不变，即要先括号，然后与，最后或。
（2） 不属于单个变量上的非号要保留不变。 1.5 逻辑函数的公式化简法 1.5.1 逻辑函数的不同表达方式
同一逻辑函数能够有多种不同的表达方式，它们之间能互相转换。
1.5.2 逻辑函数的公式化简法
在逻辑电路设计中，对逻辑函数化简具有十分重要的意义。逻辑函数表达式越简单，实现该函数所用的逻辑元件就越少，电路的可靠性就越高。一样情形下，都将逻辑函数化为最简与或表达式。最简与或表达式应遵循乘积项最少，且每个乘积项的变量数最少的原则。
1.6 逻辑函数的卡诺图化简法
在应用公式法对逻辑函数进行化简时，不仅要求对公式能熟练应用，而且对最后结果是不是最简要进行判定，遇到较复杂的逻辑函数时，此方法有一定难度。下面介绍的卡诺图化简法，只要把握了其要领，化简逻辑函数专门方便。
1.6.1逻辑函数的最小项及其表达式 1. 最小项的定义与性质
在n变量的逻辑函数中，若其与或表达式的每个乘积项都包含有n个因子，而且每个因子仅以原变量或反变量的形式在该乘积项中显现一次，如此的乘积项称为n变量逻辑函数的最小项。每个乘积项差不多上最小项形式的表达式称为逻辑函数的最小项表达式。
最小项的性质：
（1） 关于输入变量的任何一组取值，有且只有一个最小项的值为1。 （2） 关于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0。 （3） 全体最小项之和为1。
注意：不说明变量数目的最小项是没有意义的 。 2. 逻辑函数的最小项表达式
任何一个逻辑函数表达式都能够转化为最小项之和的形式。方法是，先将逻辑函数写成与或表达式，然后在不是最小项的乘积项中乘以(X+X)补齐所缺变量因子即可。
1.6.2 逻辑函数的卡诺图表示法 1. 最小项的卡诺图
图1.20 三变量的卡诺图
图1.21 四变量的卡诺图
注意：为了确保卡诺图中小方格所表示的最小项在几何上相邻时，在逻辑上也有
相邻性，两侧标注的数码不能从小到大依次排列。
除几何相邻的最小项有逻辑相邻的性质外，图中每一行或每一列两端的最小项也具有逻辑相邻性，因此，卡诺图可看成是一个上下左右闭合的图形。
卡诺图形象、直观地反映了最小项之间的逻辑相邻关系，但变量增多时，卡诺图会变得更为复杂。当变量的个数在5个或5个以上时，就不能仅用二维空间的几何相邻来代表其逻辑相邻，故一样较少使用。 2. 逻辑函数的卡诺图表示
既然任何逻辑函数式都能够表达成最小项形式，而最小项又能够表示在卡诺图中，故逻辑函数可用卡诺图表示。方法是：把逻辑函数式转换成最小项表达式，然后在卡诺图上与这些最小项对应的方格内填1，其余填0（也能够不填），就得到了表示那个逻辑函数的卡诺图。任一逻辑函数的卡诺图是惟一的。
1.6.3 用卡诺图化简逻辑函数 1. 化简依据
相邻最小项的合并规律是：两个相邻的最小项可合并为一项，消去一个变量；4个相邻的最小项可合并为一项，消去两个变量；8个相邻的最小项可合并为一项，并消去3个变量。消去的是包围圈中发生过变化的变量，而保留下的是包围圈内保持不变的变量，如图1.23所示。
图1.23 最小项的合并规律
2. 化简步骤
用卡诺图化简逻辑函数的步骤如下。
（1） 将逻辑函数化成最小项之和的形式（有时能够跃过）。 （2）用卡诺图表示逻辑函数。
（3） 对能够合并的相邻最小项（填1的方格）画出包围圈。
（4） 消去互补因子，保留公共因子，写出每个包围圈合并后所得的乘积项。
用卡诺图化简时，为了保证结果的最简化和正确性，在选取可合并的最小项即画包围圈时，应遵循以下几个原则。
（1）每个包围圈只能包含2n个填1的小方格，而且必须是矩形或正方形。 （2） 包围圈能大勿小。包围圈越大，消去的变量就越多，对应乘积项的因子就越少，化简的结果越简单。
（3） 包围圈个数越少越好。因个数越少，乘积项就越少，化简后的结果就越简单。
（4） 画包围圈时，最小项能够被重复包围，但每个包围圈中至少应有一个最小项是单独属于自己的，以保证该化简项的独立性。 （5） 包围圈应把函数的所有最小项都圈完。
1.7 具有无关项的逻辑函数及其化简 1.7.1 逻辑函数中的约束项
在有些逻辑函数中，输入变量的取值不是任意的，对某些取值要加以限制。这种主观上不承诺显现或客观上可不能显现的变量取值组合所对应的最小项称为约束项。
另一种情形是，关于输入变量的某些取值，函数值为1或为0均可，不阻碍电路的功能。例如，在用二进制码来表示十进制数时，ABCD=0000～1001代表0～9，而ABCD=1010～1111没有采纳，当ABCD的取值一旦为1010～1111时，人们对函数值为1依旧为0并不关怀，这种对电路功能无阻碍的最小项称为任意项。
约束项和任意项统称为无关项。无关是指这些最小项对函数的最终结果无关紧要，能够写入逻辑函数，也能够不写入。
1.7.2 利用无关项化简逻辑函数
由于无关项要么不在逻辑函数中显现，要么显现时取值是1依旧为0对逻辑
函数的结果没有阻碍，因此对具有无关项的逻辑函数化简时，无关项既可取0，也可取1，化简时的具体步骤如下。
（1） 将函数式中最小项在卡诺图对应的小方格内填1，无关项在对应的小方格内填×，其余位置补0或空着。
（2） 画包围圈时，无关项看成是1依旧0，以使包围圈的个数最少、圈最大为原则。
（3） 圈中必须至少有一个有效的最小项，不能全是无关项。
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