极限思想在高中数学解题中的应用

摘要：极限思想在函数、方程、不等式、三角函数﹑数列、立体几何等众多问题中都

可巧妙运用。在高中数学解题中,教师应渗透有关极限思想的教学,让极限思想进入学生数学思维领域，其次学生需善于总结发现运用极限思想解决相关题型。下面就如何让极限思想应用于解高中几大类型题目,展开叙述。

关键词：极限思想；解题；应用； 一、在日常教学中渗透,逐步形成认知

在高中阶段,许多知识和方法和“无限趋近”相关﹐如区间的无穷远处、数列的项数﹑柱锥台之间的关系、函数图像的渐进线、曲边图形的面积及曲线的切线等。因此,教师要在日常教学中进行渗透,让学生逐步形成对它的认知。教科书这样呈现区间表示:实数集可以用区间表示为

,

,

的实数的集合分别表示为

,

,

。我们可以把满足

,

。

,

二、在概念教学中渗透,深化理解与认识

教科书虽然没有正面提及极限的概念,但是在导数的定义中,已经很紧密地把导数和极限概念关联在一起了。当为

在点的导数,记作

时，

( 为常数),把称

。在这里,“无限趋近”的实质就是高等数学中的

极限概念﹐实际教学中教师通常是借助导数的几何意义来帮助学生理解“无限趋近”,让学生直观地体验“无限趋近”,然后引导学生逐步认识“无限趋近”在解题中的作用。

三、在优化解题中渗透,体验巧妙解题的魅力

数学思想的魅力在于能巧妙运用,优化解题思路，提升解题效率。极限思想也不例外,它在函数、方程、不等式、三角函数﹑数列、立体几何等众多问题中都可巧妙运用。尤其在解决带参数的超越函数的零点问题上,可利用参变量分离

方法和极限思想对所构造超越函数的图像进行定位,从而避开繁杂的讨论,大大优化解题过程。

1. 极限思想在立体几何中的应用

立体几何很考验同学们的空间想象和计算能力，同学们一般会花费大量时间解答这类题,但如果能够恰当地运用极限思想,就可以将复杂图形简单化,计算也随之变得容易。

例1、圆台的上底面和下底面的半径分别是和,作一个平行于圆台底面的截面将圆台分为体积相等的两部分,则截面圆的半径为（）。

A.

B.

C.

D.

解析：解答此题的常规思路是设出截面的半径，再结合题目中的条件将两部分的体积表示出来,最后构建等式求解,这样一来,无疑大大增加了计算的难度,而采用极限思想解题就能有效降低解题的难度。设上底面的半径极限为,则选项为,而、选项为,显然截出的两部分体积不相等,进而得出答案为。

2.极限思想在数列中的应用

数列是高中数学中的难点知识,很多问题常常让同学们找不到解题的突破口,对解题能力的要求较高,而将极限思想运用在数列题中往往能够起到删繁就简、快速解题的奇效。

例2：已知数列

满足

（1）若数列是递增数列，且，，成等差数列，求的值；

（2）若（1）略

，且是递增数列，是递减数列，求数列的通项公式

（2）因为由于

时

，，所以时，.

是递增数列，

，

且

是递减数列，所以存在常数使得

. （1）

令， （2）

则 ，

由（1）式解得，所以.

又，所以，所以.

将，代入（2），得到.

3.极限思想在解析几何中的应用

解析几何也是很重要的内容﹐它包括幂函数﹑指数函数﹑对数函数、三角函数﹑椭圆曲线等知识点,内容较多,题型较多,需要掌握的解题方法也比较多。在解答此类问题时,极限思想有时虽然不能直接用来解题,但是可以帮助我们理清解题思路,将这些初见没有解题思路的题目梳理成定点求值问题等简单易求解的问题。

例3：已知点斜率之积为

.

的坐标分别是，，直线相交于，且它们的

（1）求点轨迹的方程 （2）若过点之间），试求

的直线与（1）中的轨迹交于不同的两点与

面积之比的取值范围（为坐标原点）.

（在，

解析：（1）设点M的坐标为

整理得这就是动点M的轨迹方程.

（2）因为与等高，所以设.

以下转化为求的取值范围，当

取得最小值

两点接近重合时，，

取得最大值

；当，故

.

分别的最小

为椭圆的左右顶点时，值趋近于

，即

.又点不能为椭圆的上下顶点，此时易得

综上可得

.

且.所以与面积之比的取值范围是

此题第2问一般思路是:设直线方程，将面积之比转化为E,F两点纵坐标之比或横坐标的表达式,将直线方程与椭圆方程联立,利用韦达定理和“设而不求”的思想,最终转化为函数求值域，运算量很大,看似简单,容易入手,学生最终完成需要较强的观察能力、化归转化思想且对学生的运算能力有较高的要求.比较可知,用极限思想非常简便,其实这种思路的获得途径也是很直接的,将比值的范围转化为分别求分子分母的最值,用极限思想求解.说明在平时做题时不能仅凭经验,

只要认真审题,把未知问题化归转化为我们熟悉的问题,从多角度思考,就能少走弯路。

总结：极限思想的合理且有效应用也能反映出学生在个性化处理中的不同理解,以及他

们所反映出来的不同层次、不同深度的理性思维水平.极限思想是一种比较简单的解题思路，能够将数学问题中的运算过程进行简化，对一些解题的方案进行优化，在数列、解析几何以及排列等方面的解答有很大的作用。要详细的阅读题目内容，从而制定相应的解题方案，以此提升我们的解题效率，从而提升自己的知识运用能力。

参考文献

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作者简介：李广川（1999.9-）；男；汉族；重庆云阳人；硕士在读；重庆三峡学院，

数学与统计学院；研究方向：学科教学（数学）